Метод координат на плоскости

Метод координат на плоскости

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ ПО ДВУМ НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ

ЛЕММА О КОЛЛИНЕАРНЫХ ВЕКТОРАХ:

Если векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны и $\overrightarrow{a} \neq 0$, то существует такое число k, что $\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a}$

Эта лемма связана со свойствами умножения вектора на число. С помощью нее доказывается следующая теорема.

ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ ВЕКОРОВ:

На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем с единственными коэффициентами разложения.

Например,

Рассмотрим три вектора: $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{m}$.

1. Расположим векторы так, будто вектор $\overrightarrow{m}$ находится по правилу параллелограмма:

2. Проведем через конец вектора $\overrightarrow{m}$ две прямые, параллельные векторам $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$

3. Чтобы $\overrightarrow{m}$ являлся суммой векторов, правило параллелограмма должно выполняться верно. Тогда продлим вектора $\overrightarrow{a}\ и\ \overrightarrow{b}$ до пересечения с прямыми b и a соответственно:

4. Действительно, сумма векторов $k\overrightarrow{a}$ и $l\overrightarrow{b}$ по правилу параллелограмма равна вектору $\overrightarrow{m}$:

$\overrightarrow{m} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{b}$

Если бы коэффициенты k и l были равны единице, то $\overrightarrow{m} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$, то есть просто сумме векторов.

Таким образом можно разложить любой вектор по любым заданным неколлинеарным векторам.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Используя разложение векторов, можно связать любой вектор с координатной плоскостью. Мы знаем, что координатная плоскость образуется двумя перпендикулярными осями, у которых есть направление и единичные отрезки. Длина и направление – две характеристики любого вектора. Рассмотрим на каждой оси единичные векторы.

Пусть вектор $\overrightarrow{i}$ сонаправлен с осью $Ox$, а вектор $\overrightarrow{j}$ сонаправлен с осью $Оy$, при этом $\left| \overrightarrow{i} \right| = \left| \overrightarrow{j} \right| = 1$.

Получается, что длины этих векторов задают единичные отрезки, а их направления задают направления осей:

Таким образом любой вектор на координатной плоскости можно разложить по единичным векторам $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$:

$\overrightarrow{m} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}$

где x и y – координаты вектора $\overrightarrow{m}$

Разложите по единичным векторам и найдите координаты следующих векторов:

1. Проще всего раскладывать векторы, начало которых находится в точке $(0;0).\$Рассмотрим вектор $\overrightarrow{a}$.

Для того, чтобы представить его как сумму единичных векторов, нужно посчитать, сколько отложили векторов $\overrightarrow{i}$ и $\overrightarrow{j}$, чтобы получить они в сумме дали вектор $\overrightarrow{a}$. Количество отложенных векторов $\overrightarrow{i}$ будет равнять координате x, а количество отложенных $\overrightarrow{j}$ – координате y:

Для получения вектора $\overrightarrow{a}$ мы сложили 4 вектора $\overrightarrow{i}$ и 2 вектора $\overrightarrow{j}$, то есть:

$\overrightarrow{a} = 4\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}$

В таком случае говорят, что вектор $\overrightarrow{a}$ имеет координаты $\left\{ 4;2 \right\}$ и записывают это как:

$\overrightarrow{a}\left\{ 4;2 \right\}$

2. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{b}$ аналогично вектору $\overrightarrow{a}$. В случае, когда начало вектора находится не в начале координат, будем отсчитывать единичные векторы от его начала:

$\overrightarrow{b} = \ –2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{b}\left\{ –2;3 \right\}$

3. Аналогично разложим вектор $\overrightarrow{c}$ и найдем его координаты:

$\overrightarrow{c} = 4\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{c}\left\{ 4;2 \right\}$

Мы видим, что координаты векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{c}$ равны. Действительно, если мы перенесем параллельным переносом вектор $\overrightarrow{c}$ в начало координат – точку, откуда начинается вектор $\overrightarrow{а}$, то эти векторы совпадут. А значит векторы с одинаковыми координатами равны.

ДЕЙСТВИЯ С КООРДИНАТАМИ ВЕКТОРОВ

1. Координаты суммы векторов:

• а) Если существуют векторы с координатами:

$\overrightarrow{a}\left\{ x_{1};y_{1} \right\}$

$\overrightarrow{b}\left\{ x_{2};y_{2} \right\}$

И есть такой вектор $\overrightarrow{c}$, что:

$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

• б) Тогда:

$\ \overrightarrow{a} = x_{1}\overrightarrow{i} + y_{1}\overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{b} = x_{2}\overrightarrow{i} + y_{2}\overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = x_{1}\overrightarrow{i} + y_{1}\overrightarrow{j} + x_{2}\overrightarrow{i} + y_{2}\overrightarrow{j} = (x_{1} + x_{2})\overrightarrow{i} + (y_{1} + y_{2})\overrightarrow{j}$

• в) Значит координаты $\overrightarrow{c}$ равны:

$\overrightarrow{c}\left\{ {(x}_{1} + x_{2});{(y}_{1} + y_{2}) \right\}$

Следовательно каждая координата суммы векторов равна сумме их соответствующих координат.

2. Координаты разности векторов:

• а) Если существуют векторы с координатами:

$\overrightarrow{a}\left\{ x_{1};y_{1} \right\}$

$\overrightarrow{b}\left\{ x_{2};y_{2} \right\}$

И есть такой вектор $\overrightarrow{c}$, что:

$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\ –\ \overrightarrow{b}$

• б) Тогда:

$\ \overrightarrow{a} = x_{1}\overrightarrow{i} + y_{1}\overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{b} = x_{2}\overrightarrow{i} + y_{2}\overrightarrow{j}$

$\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = {(x}_{1}\overrightarrow{i} + y_{1}\overrightarrow{j})\ –\ {(x}_{2}\overrightarrow{i} + y_{2}\overrightarrow{j}) = x_{1}\overrightarrow{i} + y_{1}\overrightarrow{j}\ –\ x_{2}\overrightarrow{i}\ –\ y_{2}\overrightarrow{j} = (x_{1}\ –\ x_{2})\overrightarrow{i} + (y_{1}\ –\ y_{2})\overrightarrow{j}$

• в) Значит координаты $\overrightarrow{c}$ равны:

$\overrightarrow{c}\left\{ {(x}_{1}\ –\ x_{2});{(y}_{1}\ –\ y_{2}) \right\}$

Следовательно каждая координата разности векторов равна разности их соответствующих координат.

3. Координаты произведения вектора на число:

• а) Если существует вектор

$\overrightarrow{a}\left\{ x;y \right\}$ и число k

И есть вектор:

$k\overrightarrow{a}$

• б) Тогда:

$\overrightarrow{a} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}$

$k\overrightarrow{a} = k(x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j}) = \text{kx}\overrightarrow{i} + ky\overrightarrow{j}$

• в) Значит координаты $k\overrightarrow{a}$ равны:

$k\overrightarrow{a}\left\{ kx;ky \right\}$

Следовательно каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число.

КООРДИНАТЫ НАЧАЛА И КОНЦА ВЕКТОРА

При нахождении координат векторов в примере №1 мы использовали визуальный метод. Также, чтобы находить координаты вектора, можно использовать координаты его начала и конца.

Координаты каждого вектора равны ${((x}_{1}\ –\ x_{2});{(y}_{1}\ –\ y_{2})$), где начало вектора имеет координаты $(x_{1};y_{1})$, а конец координаты $(x_{2};y_{2})$.

Найдите координаты вектора $\overrightarrow{\text{AB}}$, если известны координаты точек А(0; 0) В(3; 4).

1. Для начала используем визуализацию, чтобы понять, где находится наш вектор:

2. Чтобы найти координату x данного вектора, посмотрим, сколько единичных векторов $\overrightarrow{i}$ «прошел вектор» от точки А до точки В:

Получается, что мы нашли разность между координатами x конечной и начальной точки вектора.

3. Аналогично найдем и координату y:

Она также равна разнице координат y конца и начала вектора.

4. Получается, координаты вектора $\overrightarrow{\text{AB}}$ равны:

$\overrightarrow{\text{AB}}\left\{ (3\ –\ 0);(4\ –\ 0) \right\}$

$\overrightarrow{\text{AB}}\left\{ 3;4 \right\}$

ФОРМУЛЫ, СВЯЗАННЫЕ С ВЕКТОРАМИ

1. Координаты середины отрезка:

$x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}\ и\ y = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$

где $(x_{1};y_{1})$ – координаты начала отрезка,

2. Длина вектора:

$\left| \overrightarrow{a} \right| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

где $(x;y)\$– координаты вектора $\overrightarrow{a}$

3. Расстояние между двумя точками:

$\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right| = \sqrt{{(x_{2}\ –\ x_{1})}^{2} + {(y_{2}\ –\ y_{1})}^{2}}$

где $(x_{1};y_{1})$ – координаты точки А,

УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ

Используя координатной метод можно вывести уравнения, которые задают расположение прямой и окружности на координатной плоскости.

Уравнением прямой является уравнение первой степени:

$ax + by + c = 0$

где a, b и c – некоторые числа, а x и y – координаты на координатной плоскости

Уравнением окружности радиуса r с центром в точке (x₀; y₀) имеет вид:

${(x\ –\ x_{0})}^{2} + {(y\ –\ y_{0})}^{2} = r^{2}$

Частным случаем является уравнение окружности с радиусом r и центром в начале координат:

$\text{x\ }^{2} + \text{y\ }^{2} = r^{2}$