Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Анализ функций
Первообразная Преобразование графиков функции Графическое применение производной Взаимное расположение графиков линейной функции Кусочная функция Интеграл Правила дифференцирования Функция квадратного корня Функция обратной пропорциональности Графики тригонометрических функций Функции Экстремумы Квадратичная функция Координатная плоскость Линейная функция Смысл производной Свойства функций
Уравнения
Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Системы уравнений с двумя переменными Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Линейные уравнения Однородные уравнения Уравнения высших степеней Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга
Параметр
Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения
Формат ЕГЭ
Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ
Планиметрия
Четыре замечательные точки треугольника Теорема Менелая и теорема Чевы Скалярное произведение векторов Симметрия Движения Комбинации с окружностью Элементы планиметрии Окружнoсть и круг Теорема Пифагора Трапеция Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса Средняя линия Прямые и углы на плоскости Многоугольники Тригонометрия в геометрии Метод координат на плоскости Подобие фигур Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Отношения в геометрии Треугольники. Площади Ромб Высота Равенство фигур Площадь круга и сектора круга Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Серединный перпендикуляр Параллелограммы Виды треугольников Площади четырёхугольников Прямоугольник Простейшие расстояния на плоскости Векторы Медиана Квадрат
Стереометрия
Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Перпендикулярность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Угол между плоскостями Призмы Векторы в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Угол между прямой и плоскостью Пирамиды
Реальная математика
Множества Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Вероятность Единицы измерения Комбинаторика Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Основы математической статистики Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на проценты Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на отношения Прикладные задачи Метод математической индукции Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Текстовые задачи на движение по воде
Неравенства
Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства
Числа и действия с ними
НОК и НОД Округление дробей Делимость Модуль Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Степени Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Многочлены Тригонометрический круг Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Свойства степеней

Однородные уравнения

На этом уроке мы рассмотрим довольно сложные уравнения, которые называются однородными на примерах тригонометрических и показательных уравнений.

Знакомство с однородными уравнениями мы начнем с рассмотрения следующих примеров:

\(4^{x} - 3^{x} = 0\)

\(5\sin x + 3\cos x = 0\)

Подобные уравнения называют однородными.

Однородное уравнение – это уравнение с двумя переменными без свободного коэффициента, а в каждом из слагаемых наблюдается одинаковая сумма степеней.

Способ решения – деление на одну из функций с учетом, что она не равна нулю.

\(f\left( x \right) + g(x) = 0/:f(x) \neq 0\)

Посмотрим на данное тригонометрическое уравнение.

Задание №1.

\(2\sin x + 3\cos x = 0\)

Решение.

Давайте его проанализируем. Имеем две разные тригонометрические функции.

Чтобы решить уравнение, мы должны свести его к одной функции. Существует множество формул, позволяющие комбинировать разные типы функций между собой, но нам они не понадобятся, так как будем пользоваться особым способом: поделим левую и правую часть уравнения на одну из этих функций, например, на косинус.

\(2\sin x + 3\cos x = 0\ /:cosx \neq 0\)

Но давайте поразмыслим, почему мы можем взять и поделить на косинус, ведь исходя из равносильности преобразований, мы не можем делить на выражения, содержащие переменную. Предположим, что косинус равен нулю, и подставим в уравнение ноль.

\(2\sin x + 3 \bullet 0 = 0\)

\(2\sin x = 0\)

Получим, что синус будет равен тоже нулю. Но такое невозможно, так как одновременно и косинус, и синус при одном значении угла равны нулю. В таком случае Основное тригонометрическое тождество не выполняется.

Поэтому мы в данном случае и можем делить на одну из функций.

Продолжим, синус, деленный на косинус, это тангенс.

\(\frac{2\sin x}{cosx} + \frac{3\cos x}{cosx} = 0\)

Во втором слагаемом косинусы сокращаются, получаем просто тройку. Заметим, что теперь у нас фигурирует только тангенс, то есть мы свели к одной тригонометрической функции.

\(2\text{tg}x + 3 = 0\ \)

Имеем значение тангенса, поэтому найдем угол, воспользовавшись обратной функцией. И запишем ответ

\(\text{tg}x = - \frac{3}{2}\ \)

\(x = arctg\left( - \frac{3}{2} \right) + \pi n,\ n\epsilon Z\)

Ответ: \(x = arctg\left( - \frac{3}{2} \right) + \pi n,\ n\epsilon Z\).

Подобные тригонометрические уравнения, в которых есть 2 разные функции в первой степени и которые не имеют свободного коэффициента, называются однородными первой степени.

Метод решения однородных тригонометрических уравнений – деление на одну из функций, к примеру косинус. Не забываем добавлять, что косинус не равен нулю.

\(a\sin x + bcos\ x = 0\)

\(a\sin x + b\cos x = 0\ /:cosx \neq 0\)

Далее рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение, но уже второй степени. Однородные уравнения второй степени содержат 3 слагаемых, два из которых – это – 2 разные функции во второй степени, а третье – произведение этих разных функций первой степени, то есть в итоге каждое слагаемое будет иметь вторую степень.

Способ решения точно такой же – делим уравнение, но уже на квадрат функции.

\(f^{2}(x) + f\left( x \right) \bullet g(x) + g^{2}(x) = 0/:f^{2}(x) \neq 0\)

Рассмотрим следующее задание.

Задание №2.

\(\sin^{2}x + 3\sin x\cos x + 2\cos^{2}x = 0\)

Решение.

Теперь у нас первое и третье слагаемое второй степени, а второе содержит синус и косинус первой степени. В такой ситуации поступают почти аналогичным образом – делят на косинус, но уже во второй степени, который не равен нулю.

\(\sin^{2}x + 3\sin x\cos x + 2\cos^{2}x = 0\ /:\cos^{2}x \neq 0\)

Заметим, что у нас получится снова уравнение, содержащее только одну функцию – тангенс. Правда, если мы произведем замену и введем новую переменную вместо тангенса, то получим квадратное уравнение относительно переменной, например, t.

\(\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} + \frac{3\sin x\cos x}{\cos^{2}x} + \frac{2\cos^{2}x}{\cos^{2}x} = 0\)

\(\text{tg}^{2}x + 3\text{tg}x + 2 = 0\)

\(t^{2} + 3t + 2 = 0\)

\(\text{tg}x = t\)

Решить квадратное уравнение нам поможет второе следствие из теоремы Виета, которое гласит, что если сумма коэффициентов a и c равна коэффициенту b, то первый корень равен -1, а второй минус c, деленный на a. Таким образом значения тангенса будут -1 и -2.

\(\text{tg}x = - 1\ и\ tgx = - 2\)

Осталось найти сами корни:

\(x = - \frac{\pi}{4} + \pi n,\ n\epsilon Z\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = arctg( - 2) + \pi n,\ n\epsilon Z\)

Вот и вся работа! Вместо большого и сложного уравнения мы решили квадратное и два простейших тригонометрических. Хотя однородные уравнения и могут выглядеть неприятно на первый взгляд, но решать их легко, если знать как.

Ответ: \(x = - \frac{\pi}{4} + \pi n,\ n\epsilon Z\ и\ x = arctg( - 2) + \pi n,\ n\epsilon Z\)

Продолжим работу с похожими, но уже показательными однородными уравнениями.

Задание №3.

\(3 \bullet 16^{x} - 5 \bullet 36^{x} + 2 \bullet 81^{x} = 0\)

Решение.

Проблема данного показательного уравнения состоит в том, что мы теперь не можем поделить до красивого сокращения, как делали в тригонометрии ранее, поскольку результат деления нам даст три разных слагаемых, и не получится единый вид.

\(3 \bullet \frac{16^{x}}{16^{x}} - 5 \bullet \frac{36^{x}}{16^{x}} + 2 \bullet \frac{81^{x}}{16^{x}} = 0\)

Значит, нам следует изначально преобразовать исходное уравнение. Пользуясь свойствами степеней, мы способны изменить каждое слагаемое и привести к новому виду:

\(3 \bullet 4^{2x} - 5 \bullet 4^{x} \bullet 9^{x} + 2 \bullet 9^{2x} = 0\)

Показательная функция не равняется нулю, значит мы сейчас можем поделить на \(4^{2x}\) или \(9^{2x}\) , при этом корни мы не потеряем.

\(3 \bullet 4^{2x} - 5 \bullet 4^{x} \bullet 9^{x} + 2 \bullet 9^{2x} = 0/:\ 4^{2x}\)

Получим следующий вид:

\(3 \bullet \frac{4^{2x}}{4^{2x}} - 5 \bullet 4^{x} \bullet \frac{9^{x}}{4^{2x}} + 2 \bullet \frac{9^{2x}}{4^{2x}} = 0\)

\(3 - 5 \bullet \frac{9^{x}}{4^{x}} + 2 \bullet \frac{9^{2x}}{4^{2x}} = 0\)

Теперь произведем стандартный прием замены.

\({(\frac{9}{4})}^{x} = t,\ t > 0\)

И получим обыкновенное квадратное уравнение.

\(2 \bullet t^{2} - 5 \bullet t + 3 = 0\)

Решив уравнение, получим \(t = \frac{3}{2}\ и\ t = 1\). Оба корня подходят под ограничения.

Проводим обратную замену для обоих значений.

\({(\frac{9}{4})}^{x} = \frac{3}{2}\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ {(\frac{9}{4})}^{x} = 1\)

Решаем показательные простейшие уравнения

\({(\frac{3}{2})}^{2x} = \frac{3}{2}\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = 0\)

\(2x = 1\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = 0\)

\(x = 0,5\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = 0\)

На это решение однородного показательного уравнения закончилось, и мы получили ответ. Сначала мы чуть-чуть преобразовали исходное уравнение, затем поделили на функцию и произвели замену, а далее все стандартно.

Ответ:\(\ x = 0,5\ \ \ x = 0\).

Подведем итог, в данном разделе мы рассмотрели, что же такое однородное уравнение; основные признаки однородных уравнений: в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями (то есть две разные функции), все одночлены имеют одинаковую степень (для этого считаем сумму слагаемых), а свободный член равен нулю; разобрали 2 вида уравнений: тригонометрические и показательные. Основная идея решения таких уравнений – деление на функции, при этом не теряя корней, об этом не стоит забывать!