Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Уравнения
Логарифмические уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Показательные уравнения Линейные уравнения Однородные уравнения Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения в целых числах
Неравенства
Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства
Формулы и выражения
Разложение на множители. Группировка Многочлены Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Формулы сокращённого умножения Иррациональные выражения Одночлены Тригонометрический круг Свойства степеней Степени Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция
Планиметрия
Четыре замечательные точки треугольника Медиана Скалярное произведение векторов Трапеция Виды треугольников Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Прямые и углы на плоскости Площади четырёхугольников Комбинации с окружностью Метод координат на плоскости Биссектриса Тригонометрия в геометрии Теорема Менелая и теорема Чевы Ромб Прямоугольник Площадь круга и сектора круга Квадрат Теорема синусов и теорема косинусов Равенство фигур Средняя линия Движения Подобие фигур Отношения в геометрии Многоугольники Окружнoсть и круг Симметрия Параллелограммы Высота Элементы планиметрии Теорема Пифагора Треугольники. Площади Простейшие расстояния на плоскости Серединный перпендикуляр
Анализ функций
Графики тригонометрических функций Смысл производной Экстремумы Функция квадратного корня Графическое применение производной Интеграл Первообразная Функции Правила дифференцирования Координатная плоскость Линейная функция Преобразование графиков функции Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Квадратичная функция Свойства функций
Реальная математика
Множества Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на сплавы и смеси Сложные проценты Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Экономические показатели Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Вероятность Текстовые задачи на производительность Единицы измерения Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Оптимизация Метод математической индукции Экономические задачи. Кредиты Комбинаторика Основы математической статистики Геометрическая прогрессия
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Числа и действия с ними
НОК и НОД Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Делимость Правила счёта Модуль Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Формат ЕГЭ
Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ
Стереометрия
Пирамиды Движения в пространстве Сечения в телах вращения Двугранный угол Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Угол между прямой и плоскостью Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Призмы Тела вращения Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Метод координат в пространстве Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей

Однородные уравнения

На этом уроке мы рассмотрим довольно сложные уравнения, которые называются однородными на примерах тригонометрических и показательных уравнений.

Знакомство с однородными уравнениями мы начнем с рассмотрения следующих примеров:

\(4^{x} - 3^{x} = 0\)

\(5\sin x + 3\cos x = 0\)

Подобные уравнения называют однородными.

Однородное уравнение – это уравнение с двумя переменными без свободного коэффициента, а в каждом из слагаемых наблюдается одинаковая сумма степеней.

Способ решения – деление на одну из функций с учетом, что она не равна нулю.

\(f\left( x \right) + g(x) = 0/:f(x) \neq 0\)

Посмотрим на данное тригонометрическое уравнение.

Задание №1.

\(2\sin x + 3\cos x = 0\)

Решение.

Давайте его проанализируем. Имеем две разные тригонометрические функции.

Чтобы решить уравнение, мы должны свести его к одной функции. Существует множество формул, позволяющие комбинировать разные типы функций между собой, но нам они не понадобятся, так как будем пользоваться особым способом: поделим левую и правую часть уравнения на одну из этих функций, например, на косинус.

\(2\sin x + 3\cos x = 0\ /:cosx \neq 0\)

Но давайте поразмыслим, почему мы можем взять и поделить на косинус, ведь исходя из равносильности преобразований, мы не можем делить на выражения, содержащие переменную. Предположим, что косинус равен нулю, и подставим в уравнение ноль.

\(2\sin x + 3 \bullet 0 = 0\)

\(2\sin x = 0\)

Получим, что синус будет равен тоже нулю. Но такое невозможно, так как одновременно и косинус, и синус при одном значении угла равны нулю. В таком случае Основное тригонометрическое тождество не выполняется.

Поэтому мы в данном случае и можем делить на одну из функций.

Продолжим, синус, деленный на косинус, это тангенс.

\(\frac{2\sin x}{cosx} + \frac{3\cos x}{cosx} = 0\)

Во втором слагаемом косинусы сокращаются, получаем просто тройку. Заметим, что теперь у нас фигурирует только тангенс, то есть мы свели к одной тригонометрической функции.

\(2\text{tg}x + 3 = 0\ \)

Имеем значение тангенса, поэтому найдем угол, воспользовавшись обратной функцией. И запишем ответ

\(\text{tg}x = - \frac{3}{2}\ \)

\(x = arctg\left( - \frac{3}{2} \right) + \pi n,\ n\epsilon Z\)

Ответ: \(x = arctg\left( - \frac{3}{2} \right) + \pi n,\ n\epsilon Z\).

Подобные тригонометрические уравнения, в которых есть 2 разные функции в первой степени и которые не имеют свободного коэффициента, называются однородными первой степени.

Метод решения однородных тригонометрических уравнений – деление на одну из функций, к примеру косинус. Не забываем добавлять, что косинус не равен нулю.

\(a\sin x + bcos\ x = 0\)

\(a\sin x + b\cos x = 0\ /:cosx \neq 0\)

Далее рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение, но уже второй степени. Однородные уравнения второй степени содержат 3 слагаемых, два из которых – это – 2 разные функции во второй степени, а третье – произведение этих разных функций первой степени, то есть в итоге каждое слагаемое будет иметь вторую степень.

Способ решения точно такой же – делим уравнение, но уже на квадрат функции.

\(f^{2}(x) + f\left( x \right) \bullet g(x) + g^{2}(x) = 0/:f^{2}(x) \neq 0\)

Рассмотрим следующее задание.

Задание №2.

\(\sin^{2}x + 3\sin x\cos x + 2\cos^{2}x = 0\)

Решение.

Теперь у нас первое и третье слагаемое второй степени, а второе содержит синус и косинус первой степени. В такой ситуации поступают почти аналогичным образом – делят на косинус, но уже во второй степени, который не равен нулю.

\(\sin^{2}x + 3\sin x\cos x + 2\cos^{2}x = 0\ /:\cos^{2}x \neq 0\)

Заметим, что у нас получится снова уравнение, содержащее только одну функцию – тангенс. Правда, если мы произведем замену и введем новую переменную вместо тангенса, то получим квадратное уравнение относительно переменной, например, t.

\(\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} + \frac{3\sin x\cos x}{\cos^{2}x} + \frac{2\cos^{2}x}{\cos^{2}x} = 0\)

\(\text{tg}^{2}x + 3\text{tg}x + 2 = 0\)

\(t^{2} + 3t + 2 = 0\)

\(\text{tg}x = t\)

Решить квадратное уравнение нам поможет второе следствие из теоремы Виета, которое гласит, что если сумма коэффициентов a и c равна коэффициенту b, то первый корень равен -1, а второй минус c, деленный на a. Таким образом значения тангенса будут -1 и -2.

\(\text{tg}x = - 1\ и\ tgx = - 2\)

Осталось найти сами корни:

\(x = - \frac{\pi}{4} + \pi n,\ n\epsilon Z\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = arctg( - 2) + \pi n,\ n\epsilon Z\)

Вот и вся работа! Вместо большого и сложного уравнения мы решили квадратное и два простейших тригонометрических. Хотя однородные уравнения и могут выглядеть неприятно на первый взгляд, но решать их легко, если знать как.

Ответ: \(x = - \frac{\pi}{4} + \pi n,\ n\epsilon Z\ и\ x = arctg( - 2) + \pi n,\ n\epsilon Z\)

Продолжим работу с похожими, но уже показательными однородными уравнениями.

Задание №3.

\(3 \bullet 16^{x} - 5 \bullet 36^{x} + 2 \bullet 81^{x} = 0\)

Решение.

Проблема данного показательного уравнения состоит в том, что мы теперь не можем поделить до красивого сокращения, как делали в тригонометрии ранее, поскольку результат деления нам даст три разных слагаемых, и не получится единый вид.

\(3 \bullet \frac{16^{x}}{16^{x}} - 5 \bullet \frac{36^{x}}{16^{x}} + 2 \bullet \frac{81^{x}}{16^{x}} = 0\)

Значит, нам следует изначально преобразовать исходное уравнение. Пользуясь свойствами степеней, мы способны изменить каждое слагаемое и привести к новому виду:

\(3 \bullet 4^{2x} - 5 \bullet 4^{x} \bullet 9^{x} + 2 \bullet 9^{2x} = 0\)

Показательная функция не равняется нулю, значит мы сейчас можем поделить на \(4^{2x}\) или \(9^{2x}\) , при этом корни мы не потеряем.

\(3 \bullet 4^{2x} - 5 \bullet 4^{x} \bullet 9^{x} + 2 \bullet 9^{2x} = 0/:\ 4^{2x}\)

Получим следующий вид:

\(3 \bullet \frac{4^{2x}}{4^{2x}} - 5 \bullet 4^{x} \bullet \frac{9^{x}}{4^{2x}} + 2 \bullet \frac{9^{2x}}{4^{2x}} = 0\)

\(3 - 5 \bullet \frac{9^{x}}{4^{x}} + 2 \bullet \frac{9^{2x}}{4^{2x}} = 0\)

Теперь произведем стандартный прием замены.

\({(\frac{9}{4})}^{x} = t,\ t > 0\)

И получим обыкновенное квадратное уравнение.

\(2 \bullet t^{2} - 5 \bullet t + 3 = 0\)

Решив уравнение, получим \(t = \frac{3}{2}\ и\ t = 1\). Оба корня подходят под ограничения.

Проводим обратную замену для обоих значений.

\({(\frac{9}{4})}^{x} = \frac{3}{2}\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ {(\frac{9}{4})}^{x} = 1\)

Решаем показательные простейшие уравнения

\({(\frac{3}{2})}^{2x} = \frac{3}{2}\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = 0\)

\(2x = 1\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = 0\)

\(x = 0,5\ \ \ \ \ \ и\ \ \ \ \ \ x = 0\)

На это решение однородного показательного уравнения закончилось, и мы получили ответ. Сначала мы чуть-чуть преобразовали исходное уравнение, затем поделили на функцию и произвели замену, а далее все стандартно.

Ответ:\(\ x = 0,5\ \ \ x = 0\).

Подведем итог, в данном разделе мы рассмотрели, что же такое однородное уравнение; основные признаки однородных уравнений: в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями (то есть две разные функции), все одночлены имеют одинаковую степень (для этого считаем сумму слагаемых), а свободный член равен нулю; разобрали 2 вида уравнений: тригонометрические и показательные. Основная идея решения таких уравнений – деление на функции, при этом не теряя корней, об этом не стоит забывать!