Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Неравенства
Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Многочлены Тригонометрический круг Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Иррациональные выражения Одночлены Разложение на множители. Группировка Свойства степеней
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Пирамиды Сечения в многогранниках Движения в пространстве Сечения в телах вращения Расстояние между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Призмы Параллельность прямых и плоскостей Тела вращения
Реальная математика
Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Сложные проценты Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Ценные бумаги Множества Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Комбинаторика Основы математической статистики Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Оптимизация Экономические задачи. Кредиты Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на производительность Единицы измерения
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения с модулем Методы решения уравнений Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения
Числа и действия с ними
Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Модуль НОК и НОД Координатная прямая
Формат ЕГЭ
Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ
Планиметрия
Комбинации с окружностью Четыре замечательные точки треугольника Векторы Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора Трапеция Прямоугольник Квадрат Симметрия Равенство фигур Метод координат на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Окружнoсть и круг Треугольники. Площади Виды треугольников Площади четырёхугольников Отношения в геометрии Биссектриса Высота Подобие фигур Средняя линия Тригонометрия в геометрии Простейшие расстояния на плоскости Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Медиана Элементы планиметрии Параллелограммы Площадь круга и сектора круга Многоугольники Теорема синусов и теорема косинусов Движения Серединный перпендикуляр Скалярное произведение векторов Ромб
Анализ функций
Правила дифференцирования Функция квадратного корня Графическое применение производной Свойства функций Экстремумы Линейная функция Смысл производной Преобразование графиков функции Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Функции Квадратичная функция Координатная плоскость Функция обратной пропорциональности Графики тригонометрических функций Кусочная функция Интеграл

Текстовые задачи на производительность

Задачи на производительность включают в себя задачи, в которых фигурирует какой-либо рабочий процесс и его характеристики: работа, время и производительность. Эти параметры связаны через формулу совместной работы:

\(A = Pt,\)

где \(A\) – работа, \(t\) – время, \(P\) – производительность.

Через эту формулу можно выразить производительность и время:

\(P = \frac{A}{t}\)

\(t = \frac{A}{P}\)

С помощью этих формул можно выражать одни характеристики работы через другие. Рассмотрим пример.

Пример №1:

За 5 дней работы рабочие на заводе произвели 35 деталей для автомобилей. Сколько деталей в день изготавливалось на заводе?

  1. Для того, чтобы найти производительность, зная работу и время, нужно поделить работу на время:

\(P = \ \frac{A}{t} = \frac{35}{5} = 7\ деталей/день\)

Ответ: 7.

ЗАДАЧИ НА ОБЩУЮ РАБОТУ

Часто в задачах на производительность можно увидеть вопрос на общую работу, когда нам известно время работы отдельных заводов или людей, а нужно найти совместное время, производительность или работу. В таком случае мы не сможем сложить время, т. к. при совместной работе время не увеличивается. А наоборот уменьшается за счет увеличения производительности. Рассмотрим на примере, как находить общее время работы.

Пример №2:

Для производства инструментов нужно сделать 600 деталей. Первый завод сделает эту работу за 10 дней, а второй завод за 15. За сколько дней будут готовы все детали, если их будут делать сразу два завода?

  1. Мы знаем работу и время производства деталей в первом заводе. Найдем их производительность:

\(P_{1} = \frac{600}{10} = 60\ \)

\(деталей\ в\ день\ делает\ первый\ завод\)

  1. Также найдем производительность для второго завода:

\(P_{2} = \frac{600}{15} = 40\ \)

\(деталей\ в\ день\ делает\ второй\ завод\)

  1. Тогда за один день два завода вместе сделают:

\(P_{общ} = 60\ + \ 40\ = \ 100\ деталей\ в\ день\)

Это производительность является общей для заводов.

  1. С такой производительностью они сделают 600 деталей за:

\(t_{общ} = \frac{600}{100} = 6\ дней\)

Мы узнали, за какое время заводы сделаю 600 деталей, если каждый день будут работать вместе. Запишем ответ.

Ответ: 6.

ЗАДАЧИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

Это такие задачи, где мы знаем, разницу между одной характеристикой нескольких рабочих или заводов. Тогда дополнительное условие позволяется связать нам данные и составить уравнение. Рассмотрим на примере.

Пример №3:

Заказ на 110 деталей второй рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем первый. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что второй за час изготавливает на 1 деталь больше.

  1. Составим таблицу. Вместо искомого поставим переменную 𝑥. В данном случае это производительность первого рабочего, т. к. спрашивают, сколько деталей он делает за час. Тогда производительность второго рабочего на единицу больше:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. При этом рабочие выполняют одинаковую работу – по 110 деталей, тогда заполним колонку работы:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. Тогда, зная производительность и работу каждого, выразим время для обоих рабочих:

\(t_{1} = \frac{110}{x}\)

\(t_{2} = \frac{110}{x + 1}\)

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. Теперь, когда мы знаем все характеристики работы рабочих, можем использовать дополнительное условие, которое заключается в том, что второй выполняет этот объем работы на час быстрее, значит, составим уравнение, которое объединяет время работы обоих рабочих:

\(\frac{110}{x + 1} + 1 = \frac{110}{x}\)

  1. Теперь работаем только с уравнением. Приведем обе части уравнения к одному знаменателю, в данном случае к знаменателю \((x + 1)x\). Преобразуем получившееся уравнение, перенесем все в одну сторону и раскроем скобки:

\(\frac{110x}{(x + 1)x} + \frac{(x + 1)x}{(x + 1)x} = \frac{110(x + 1)}{x(x + 1)}\)

\(\frac{110x}{(x + 1)x} + \frac{(x + 1)x}{(x + 1)x}\ –\ \frac{110(x + 1)}{x(x + 1)} = 0\)

\(\frac{110x + x^{2} + x\ –\ 110x\ –\ 110}{(x + 1)x} = 0\)

  1. Дробь будет равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель его НЕ равен, т. е. \(x \neq \ –1\) и \(x \neq 0\):

\(110x + x^{2} + x\ –\ 110x\ –\ 110 = 0\)

\(x^{2} + x\ –\ 110 = 0\)

  1. По т. Виета:

\({x_{1} + x_{1} = \ –1 }{x_{1}x_{1} = \ –110}\)

Тогда:

\(\left\lbrack \frac{x_{1} = 10}{x_{2} = \ –11} \right.\ \)

  1. Проверим корни на адекватность. Оба решения являются корнями уравнения, но вернемся к тому, что мы искали. Мы приняли за x производительность первого рабочего, а такая реальная характеристика, как выполненная за час работа не может быть отрицательной. Таким образом ответом данной задачи будет являться первый корень уравнения. Запишем ответ.

Ответ: 10.