Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Планиметрия
Виды треугольников Метод координат на плоскости Высота Медиана Трапеция Ромб Векторы Четыре замечательные точки треугольника Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Биссектриса Площади четырёхугольников Комбинации с окружностью Площадь круга и сектора круга Прямые и углы на плоскости Параллелограммы Теорема синусов и теорема косинусов Подобие фигур Равенство фигур Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Пифагора Тригонометрия в геометрии Движения Квадрат Треугольники. Площади Элементы планиметрии Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Теорема Менелая и теорема Чевы Серединный перпендикуляр Многоугольники Средняя линия Прямоугольник Скалярное произведение векторов
Стереометрия
Расстояние от точки до плоскости Метод координат в пространстве Движения в пространстве Призмы Пирамиды Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Сечения в телах вращения Двугранный угол Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от прямой до плоскости Параллельность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии Угол между плоскостями Тела вращения Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью
Реальная математика
Прикладные задачи Множества Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на сплавы и смеси Комбинаторика Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Геометрическая прогрессия Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Единицы измерения Основы математической статистики Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Вероятность
Уравнения
Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Логарифмические уравнения Линейные уравнения Уравнения в целых числах Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Однородные уравнения Уравнения высших степеней
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Тригонометрический круг Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Многочлены Показательные выражения и свойства показательной функции
Формат ЕГЭ
Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ
Анализ функций
Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Квадратичная функция Линейная функция Функция квадратного корня Первообразная Экстремумы Графическое применение производной Свойства функций Графики тригонометрических функций Функции Координатная плоскость Интеграл Правила дифференцирования Смысл производной Преобразование графиков функции Кусочная функция
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства
Числа и действия с ними
Делимость Модуль Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Обыкновенные дроби и действия с ними

Текстовые задачи на производительность

Задачи на производительность включают в себя задачи, в которых фигурирует какой-либо рабочий процесс и его характеристики: работа, время и производительность. Эти параметры связаны через формулу совместной работы:

\(A = Pt,\)

где \(A\) – работа, \(t\) – время, \(P\) – производительность.

Через эту формулу можно выразить производительность и время:

\(P = \frac{A}{t}\)

\(t = \frac{A}{P}\)

С помощью этих формул можно выражать одни характеристики работы через другие. Рассмотрим пример.

Пример №1:

За 5 дней работы рабочие на заводе произвели 35 деталей для автомобилей. Сколько деталей в день изготавливалось на заводе?

  1. Для того, чтобы найти производительность, зная работу и время, нужно поделить работу на время:

\(P = \ \frac{A}{t} = \frac{35}{5} = 7\ деталей/день\)

Ответ: 7.

ЗАДАЧИ НА ОБЩУЮ РАБОТУ

Часто в задачах на производительность можно увидеть вопрос на общую работу, когда нам известно время работы отдельных заводов или людей, а нужно найти совместное время, производительность или работу. В таком случае мы не сможем сложить время, т. к. при совместной работе время не увеличивается. А наоборот уменьшается за счет увеличения производительности. Рассмотрим на примере, как находить общее время работы.

Пример №2:

Для производства инструментов нужно сделать 600 деталей. Первый завод сделает эту работу за 10 дней, а второй завод за 15. За сколько дней будут готовы все детали, если их будут делать сразу два завода?

  1. Мы знаем работу и время производства деталей в первом заводе. Найдем их производительность:

\(P_{1} = \frac{600}{10} = 60\ \)

\(деталей\ в\ день\ делает\ первый\ завод\)

  1. Также найдем производительность для второго завода:

\(P_{2} = \frac{600}{15} = 40\ \)

\(деталей\ в\ день\ делает\ второй\ завод\)

  1. Тогда за один день два завода вместе сделают:

\(P_{общ} = 60\ + \ 40\ = \ 100\ деталей\ в\ день\)

Это производительность является общей для заводов.

  1. С такой производительностью они сделают 600 деталей за:

\(t_{общ} = \frac{600}{100} = 6\ дней\)

Мы узнали, за какое время заводы сделаю 600 деталей, если каждый день будут работать вместе. Запишем ответ.

Ответ: 6.

ЗАДАЧИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

Это такие задачи, где мы знаем, разницу между одной характеристикой нескольких рабочих или заводов. Тогда дополнительное условие позволяется связать нам данные и составить уравнение. Рассмотрим на примере.

Пример №3:

Заказ на 110 деталей второй рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем первый. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий, если известно, что второй за час изготавливает на 1 деталь больше.

  1. Составим таблицу. Вместо искомого поставим переменную 𝑥. В данном случае это производительность первого рабочего, т. к. спрашивают, сколько деталей он делает за час. Тогда производительность второго рабочего на единицу больше:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. При этом рабочие выполняют одинаковую работу – по 110 деталей, тогда заполним колонку работы:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. Тогда, зная производительность и работу каждого, выразим время для обоих рабочих:

\(t_{1} = \frac{110}{x}\)

\(t_{2} = \frac{110}{x + 1}\)

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. Теперь, когда мы знаем все характеристики работы рабочих, можем использовать дополнительное условие, которое заключается в том, что второй выполняет этот объем работы на час быстрее, значит, составим уравнение, которое объединяет время работы обоих рабочих:

\(\frac{110}{x + 1} + 1 = \frac{110}{x}\)

  1. Теперь работаем только с уравнением. Приведем обе части уравнения к одному знаменателю, в данном случае к знаменателю \((x + 1)x\). Преобразуем получившееся уравнение, перенесем все в одну сторону и раскроем скобки:

\(\frac{110x}{(x + 1)x} + \frac{(x + 1)x}{(x + 1)x} = \frac{110(x + 1)}{x(x + 1)}\)

\(\frac{110x}{(x + 1)x} + \frac{(x + 1)x}{(x + 1)x}\ –\ \frac{110(x + 1)}{x(x + 1)} = 0\)

\(\frac{110x + x^{2} + x\ –\ 110x\ –\ 110}{(x + 1)x} = 0\)

  1. Дробь будет равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель его НЕ равен, т. е. \(x \neq \ –1\) и \(x \neq 0\):

\(110x + x^{2} + x\ –\ 110x\ –\ 110 = 0\)

\(x^{2} + x\ –\ 110 = 0\)

  1. По т. Виета:

\({x_{1} + x_{1} = \ –1 }{x_{1}x_{1} = \ –110}\)

Тогда:

\(\left\lbrack \frac{x_{1} = 10}{x_{2} = \ –11} \right.\ \)

  1. Проверим корни на адекватность. Оба решения являются корнями уравнения, но вернемся к тому, что мы искали. Мы приняли за x производительность первого рабочего, а такая реальная характеристика, как выполненная за час работа не может быть отрицательной. Таким образом ответом данной задачи будет являться первый корень уравнения. Запишем ответ.

Ответ: 10.