Движения в пространстве

Движения в пространстве – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояние между точками.

Движения в пространстве в целом имеют тот же смыл, что и движения в плоскости. Существуют следующие движения: центральная симметрия, осевая симметрия и зеркальная симметрия.

Разберем каждый вид движения подробнее.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ:

Центральная симметрия – это движение, при котором любая точка пространства отображается относительно точки.

Это движение имеет прямую аналогию с центральной симметрией на плоскости. Например, любая нечетная функция является симметричной самой себе относительно начала координат, то есть точке $O\left( 0;0 \right)$ . Тогда точки, симметричные относительно начала координат, имеют одинаковые по модулю и разные по знаку координаты.

Также и в пространстве. Если мы имеем в пространстве точку $A(x;y;z)$ , то симметричная ей точка относительно начала координат будет $A_{1}( - x; - y; - z)$ :

Если мы найдем расстояние между началом координат и одной из этих точек, то мы убедимся, что эти расстояния равны:

$\left| \overrightarrow{\text{OA}} \right| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

$\left| \overrightarrow{OA_{1}} \right| = \sqrt{{( - x)}^{2} + {( - y)}^{2} + {( - z)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

$\left| \overrightarrow{\text{OA}} \right| = \left| \overrightarrow{OA_{1}} \right|$

Значит, при симметричном относительно точки $O$ отображении точки $A$ в $A_{1}$ сохраняется расстояние до точки симметрии.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ:

Осевая симметрия – это движение, при котором любая точка пространства отображается относительно прямой. Эта прямая и называется осью симметрии.

Мы знаем, что на плоскости любая четная функция симметричная относительно оси. Когда мы отображаем точку на плоскости относительно оси $\text{Ox}$ , мы получаем точку с противоположной координатой $y$ , а координата $x$ остается неизменной.

Точно так же и в пространстве:

Если отобразить точку $A(x;y;z)\$ относительно оси $\text{Ox}$ , получим точку $A_{1}(x; - y; - z)$ ;

Если отобразить точку $B\left( x;y;z \right)$ относительно оси $\text{Oy}$ , получим точку $B_{1}( - x;y; - z)$ ;

Если отобразить точку $C(x;y;z)$ относительно оси $\text{Oz}$ , получим точку $C_{1}( - x; - y;z)$ .

Знак НЕ поменяет та координата, относительно оси которой отображается точка.

ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ:

Зеркальная симметрия – это движение, при котором любая точка пространства отображается относительно плоскости.

Принцип нахождения координат точки, зеркально симметричной данной относительно плоскости остаётся таким же – не меняются знаки тех координат, через оси которых проходит плоскость симметрии.