Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Тела вращения

Тела вращения – это геометрические тела, образованные вращением геометрической фигуры вокруг оси.

ЦИЛИНДР

Цилиндр – геометрическое тело, образованное двумя кругами, расположенными в параллельных плоскостях, и совмещаемые параллельным переносом.

Образующая – перпендикуляр между окружностями.

Образующие в совокупности составляют боковую поверхность цилиндра. Все образующие цилиндра равны между собой и перпендикулярны основаниям.

Цилиндр можно построить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эта сторона прямоугольника станет осью будущего цилиндра, а противоположная и равная ей – станет его образующей:

Разверткой цилиндра является прямоугольник (боковая поверхность цилиндра) и две окружности (его основания):

Площадь поверхности цилиндра равна произведения длины окружности основания на высоту:

Полная площадь поверхности цилиндра равна сумме площади поверхности цилиндра и площадей основания:

\(S_{полн.} = 2\pi r^{2} + 2\pi rh = 2\pi r(r + h)\)

Объем цилиндра равен произведению площади основания на образующую:

\(V = \pi r^{2}h\)

КОНУС

Конус – геометрическое тело, состоящее из круга, точки, не лежащей в его плоскости, соединенной с каждой точкой его окружности.

Образующая конуса – это отрезок между вершиной конуса и точкой на окружности основания. Все образующие конуса равны.

Конус можно построить вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета, которая станет осью для будущего конуса:

Развертка конуса – это сектор большей окружности (боковая поверхность) и окружность поменьше (основание конуса).

Высота конуса – перпендикуляр между вершиной конуса и центром основания.

Площадь боковой поверхности конуса равна трети произведения длины окружности основания на образующую:

\(S_{бок.} = \text{πrl}\)

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади его боковой поверхности и площади основания:

\(S_{полн.} = \pi\text{rl} + \pi r^{2}\)

Объем конуса равен трети произведения площади его основания на высоту:

\(V = \frac{1}{3}\pi r^{2}H\)

ШАР

Шар – это геометрическое тело, ограниченное сферой.

Сфера – совокупность точек, равноудаленных от центра.

Сфера образована вращением полукруга вокруг диаметра. Диаметр этой окружности становится осью шара:

Развертка шара сложнее, чем у других геометрических тел, потому что у шара совсем нет плоских частей, например оснований. Можно представить развертку шара как перенос изображения нашей планеты с объемного глобуса на плоскую карту. Для этого используют меридианы на глобусе. Если мысленно «разрезать» глобус по каждому меридиану и развернуть его, то мы получим плоскую карту. Так и получают разверту любого шара:

Площадь поверхности шара (или площадь сферы) равна:

\(S_{пов.} = 4\pi r^{2}\)

Объем шара равен:

\(V = \frac{4}{3}\pi r^{3}\)

ШАРОВОЙ СЕГМЕНТ, СЛОЙ И СЕКТОР

Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая проведенной через этот шар плоскостью.

Основание шарового сегмента – это окружность, образованная секущей плоскостью при пересечении со сферой.

Высота шарового сегмента – это часть радиуса шара между основанием сегмента и сферой.

Объем сегмента шара с радиусом R равен:

\(V = \pi h^{2}\left( R\ –\ \frac{1}{3}h \right)\)

Шаровой слой – это часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями.

Основания шарового слоя – это окружности, образованные секущими плоскостями при пересечении со сферой.

Высота шарового слоя – расстояние между секущими плоскостями.

Объем слоя шара можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов.

Сектор шара – это геометрическое тело, полученное при вращении шарового сегмента вокруг одно из радиусов шара под углом < 90°.

Сектор шара состоит из шарового сегмента и конуса, основания которых совпадают, при этом высота сектора шара равна высоте шарового сегмента, из которого он состоит:

Объем сектора шара с радиусом R равен:

\(V = \frac{2}{3}\pi R^{2}h\)