Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств
Числа и действия с ними
Правила счёта Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Округление дробей Делимость Модуль Координатная прямая НОК и НОД
Формат ЕГЭ
Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ
Планиметрия
Комбинации с окружностью Четыре замечательные точки треугольника Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Многоугольники Ромб Теорема синусов и теорема косинусов Тригонометрия в геометрии Медиана Окружнoсть и круг Параллелограммы Виды треугольников Элементы планиметрии Высота Движения Серединный перпендикуляр Скалярное произведение векторов Метод координат на плоскости Площадь круга и сектора круга Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора Треугольники. Площади Прямоугольник Теорема Менелая и теорема Чевы Биссектриса Подобие фигур Равенство фигур Средняя линия Трапеция Простейшие расстояния на плоскости Отношения в геометрии Симметрия Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Векторы Площади четырёхугольников Квадрат
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по прямой Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Оптимизация Вероятность Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Вклады Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Сложные проценты Основы математической статистики Прикладные задачи Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на производительность Арифметическая прогрессия Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Диаграммы, графики и таблицы Множества Текстовые задачи на отношения Комбинаторика Геометрическая прогрессия
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Движения в пространстве Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Параллельность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Тела вращения Двугранный угол Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Расстояние от прямой до плоскости Призмы
Анализ функций
Экстремумы Координатная плоскость Интеграл Графическое применение производной Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Графики тригонометрических функций Смысл производной Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Первообразная Функции Линейная функция Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Квадратичная функция Правила дифференцирования
Уравнения
Показательные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Однородные уравнения Уравнения высших степеней Простейшие тригонометрические уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Уравнения с модулем Отбор корней с помощью двойного неравенства Дробно-рациональные уравнения Логарифмические уравнения Линейные уравнения
Формулы и выражения
Формулы сокращённого умножения Одночлены Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Разложение на множители. Группировка Степени Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции

Тела вращения

Тела вращения – это геометрические тела, образованные вращением геометрической фигуры вокруг оси.

ЦИЛИНДР

Цилиндр – геометрическое тело, образованное двумя кругами, расположенными в параллельных плоскостях, и совмещаемые параллельным переносом.

Образующая – перпендикуляр между окружностями.

Образующие в совокупности составляют боковую поверхность цилиндра. Все образующие цилиндра равны между собой и перпендикулярны основаниям.

Цилиндр можно построить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эта сторона прямоугольника станет осью будущего цилиндра, а противоположная и равная ей – станет его образующей:

Разверткой цилиндра является прямоугольник (боковая поверхность цилиндра) и две окружности (его основания):

Площадь поверхности цилиндра равна произведения длины окружности основания на высоту:

Полная площадь поверхности цилиндра равна сумме площади поверхности цилиндра и площадей основания:

\(S_{полн.} = 2\pi r^{2} + 2\pi rh = 2\pi r(r + h)\)

Объем цилиндра равен произведению площади основания на образующую:

\(V = \pi r^{2}h\)

КОНУС

Конус – геометрическое тело, состоящее из круга, точки, не лежащей в его плоскости, соединенной с каждой точкой его окружности.

Образующая конуса – это отрезок между вершиной конуса и точкой на окружности основания. Все образующие конуса равны.

Конус можно построить вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета, которая станет осью для будущего конуса:

Развертка конуса – это сектор большей окружности (боковая поверхность) и окружность поменьше (основание конуса).

Высота конуса – перпендикуляр между вершиной конуса и центром основания.

Площадь боковой поверхности конуса равна трети произведения длины окружности основания на образующую:

\(S_{бок.} = \text{πrl}\)

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади его боковой поверхности и площади основания:

\(S_{полн.} = \pi\text{rl} + \pi r^{2}\)

Объем конуса равен трети произведения площади его основания на высоту:

\(V = \frac{1}{3}\pi r^{2}H\)

ШАР

Шар – это геометрическое тело, ограниченное сферой.

Сфера – совокупность точек, равноудаленных от центра.

Сфера образована вращением полукруга вокруг диаметра. Диаметр этой окружности становится осью шара:

Развертка шара сложнее, чем у других геометрических тел, потому что у шара совсем нет плоских частей, например оснований. Можно представить развертку шара как перенос изображения нашей планеты с объемного глобуса на плоскую карту. Для этого используют меридианы на глобусе. Если мысленно «разрезать» глобус по каждому меридиану и развернуть его, то мы получим плоскую карту. Так и получают разверту любого шара:

Площадь поверхности шара (или площадь сферы) равна:

\(S_{пов.} = 4\pi r^{2}\)

Объем шара равен:

\(V = \frac{4}{3}\pi r^{3}\)

ШАРОВОЙ СЕГМЕНТ, СЛОЙ И СЕКТОР

Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая проведенной через этот шар плоскостью.

Основание шарового сегмента – это окружность, образованная секущей плоскостью при пересечении со сферой.

Высота шарового сегмента – это часть радиуса шара между основанием сегмента и сферой.

Объем сегмента шара с радиусом R равен:

\(V = \pi h^{2}\left( R\ –\ \frac{1}{3}h \right)\)

Шаровой слой – это часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями.

Основания шарового слоя – это окружности, образованные секущими плоскостями при пересечении со сферой.

Высота шарового слоя – расстояние между секущими плоскостями.

Объем слоя шара можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов.

Сектор шара – это геометрическое тело, полученное при вращении шарового сегмента вокруг одно из радиусов шара под углом < 90°.

Сектор шара состоит из шарового сегмента и конуса, основания которых совпадают, при этом высота сектора шара равна высоте шарового сегмента, из которого он состоит:

Объем сектора шара с радиусом R равен:

\(V = \frac{2}{3}\pi R^{2}h\)