Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Анализ функций
Линейная функция Функция квадратного корня Графическое применение производной Взаимное расположение графиков линейной функции Интеграл Экстремумы Графики тригонометрических функций Квадратичная функция Правила дифференцирования Координатная плоскость Смысл производной Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Первообразная Свойства функций Преобразование графиков функции Функции
Параметр
Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения
Числа и действия с ними
Делимость Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Модуль Координатная прямая Округление дробей
Формулы и выражения
Многочлены Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Показательные выражения и свойства показательной функции Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг Формулы тригонометрии
Уравнения
Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Показательные уравнения Дробно-рациональные уравнения Однородные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Уравнения в целых числах Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства
Формат ЕГЭ
Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ
Планиметрия
Элементы планиметрии Трапеция Площади четырёхугольников Четыре замечательные точки треугольника Отношения в геометрии Площадь круга и сектора круга Векторы Теорема Пифагора Биссектриса Серединный перпендикуляр Симметрия Треугольники. Площади Подобие фигур Равенство фигур Скалярное произведение векторов Квадрат Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Прямые и углы на плоскости Многоугольники Средняя линия Виды треугольников Высота Комбинации с окружностью Теорема Менелая и теорема Чевы Тригонометрия в геометрии Простейшие расстояния на плоскости Ромб Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Прямоугольник Медиана Окружнoсть и круг Параллелограммы Теорема синусов и теорема косинусов Метод координат на плоскости Движения
Стереометрия
Двугранный угол Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Движения в пространстве Угол между прямой и плоскостью Призмы Угол между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Расстояние от точки до плоскости Расстояние от прямой до плоскости Угол между плоскостями Тела вращения Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве
Реальная математика
Основы комбинаторики Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Геометрическая прогрессия Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси Комбинаторика Множества Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Основы математической статистики Экономические задачи. Вклады Вероятность Единицы измерения Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Введение в текстовые задачи

Тела вращения

Тела вращения – это геометрические тела, образованные вращением геометрической фигуры вокруг оси.

ЦИЛИНДР

Цилиндр – геометрическое тело, образованное двумя кругами, расположенными в параллельных плоскостях, и совмещаемые параллельным переносом.

Образующая – перпендикуляр между окружностями.

Образующие в совокупности составляют боковую поверхность цилиндра. Все образующие цилиндра равны между собой и перпендикулярны основаниям.

Цилиндр можно построить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эта сторона прямоугольника станет осью будущего цилиндра, а противоположная и равная ей – станет его образующей:

Разверткой цилиндра является прямоугольник (боковая поверхность цилиндра) и две окружности (его основания):

Площадь поверхности цилиндра равна произведения длины окружности основания на высоту:

Полная площадь поверхности цилиндра равна сумме площади поверхности цилиндра и площадей основания:

\(S_{полн.} = 2\pi r^{2} + 2\pi rh = 2\pi r(r + h)\)

Объем цилиндра равен произведению площади основания на образующую:

\(V = \pi r^{2}h\)

КОНУС

Конус – геометрическое тело, состоящее из круга, точки, не лежащей в его плоскости, соединенной с каждой точкой его окружности.

Образующая конуса – это отрезок между вершиной конуса и точкой на окружности основания. Все образующие конуса равны.

Конус можно построить вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета, которая станет осью для будущего конуса:

Развертка конуса – это сектор большей окружности (боковая поверхность) и окружность поменьше (основание конуса).

Высота конуса – перпендикуляр между вершиной конуса и центром основания.

Площадь боковой поверхности конуса равна трети произведения длины окружности основания на образующую:

\(S_{бок.} = \text{πrl}\)

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади его боковой поверхности и площади основания:

\(S_{полн.} = \pi\text{rl} + \pi r^{2}\)

Объем конуса равен трети произведения площади его основания на высоту:

\(V = \frac{1}{3}\pi r^{2}H\)

ШАР

Шар – это геометрическое тело, ограниченное сферой.

Сфера – совокупность точек, равноудаленных от центра.

Сфера образована вращением полукруга вокруг диаметра. Диаметр этой окружности становится осью шара:

Развертка шара сложнее, чем у других геометрических тел, потому что у шара совсем нет плоских частей, например оснований. Можно представить развертку шара как перенос изображения нашей планеты с объемного глобуса на плоскую карту. Для этого используют меридианы на глобусе. Если мысленно «разрезать» глобус по каждому меридиану и развернуть его, то мы получим плоскую карту. Так и получают разверту любого шара:

Площадь поверхности шара (или площадь сферы) равна:

\(S_{пов.} = 4\pi r^{2}\)

Объем шара равен:

\(V = \frac{4}{3}\pi r^{3}\)

ШАРОВОЙ СЕГМЕНТ, СЛОЙ И СЕКТОР

Шаровой сегмент – это часть шара, отсекаемая проведенной через этот шар плоскостью.

Основание шарового сегмента – это окружность, образованная секущей плоскостью при пересечении со сферой.

Высота шарового сегмента – это часть радиуса шара между основанием сегмента и сферой.

Объем сегмента шара с радиусом R равен:

\(V = \pi h^{2}\left( R\ –\ \frac{1}{3}h \right)\)

Шаровой слой – это часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями.

Основания шарового слоя – это окружности, образованные секущими плоскостями при пересечении со сферой.

Высота шарового слоя – расстояние между секущими плоскостями.

Объем слоя шара можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов.

Сектор шара – это геометрическое тело, полученное при вращении шарового сегмента вокруг одно из радиусов шара под углом < 90°.

Сектор шара состоит из шарового сегмента и конуса, основания которых совпадают, при этом высота сектора шара равна высоте шарового сегмента, из которого он состоит:

Объем сектора шара с радиусом R равен:

\(V = \frac{2}{3}\pi R^{2}h\)