Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Планиметрия
Тригонометрия в геометрии Площади четырёхугольников Прямые и углы на плоскости Элементы планиметрии Средняя линия Теорема Пифагора Теорема Менелая и теорема Чевы Серединный перпендикуляр Медиана Отношения в геометрии Параллелограммы Виды треугольников Равенство фигур Окружнoсть и круг Биссектриса Векторы Движения Подобие фигур Комбинации с окружностью Квадрат Площадь круга и сектора круга Симметрия Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Треугольники. Площади Трапеция Ромб Метод координат на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Скалярное произведение векторов Многоугольники Простейшие расстояния на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Высота Прямоугольник
Стереометрия
Двугранный угол Пирамиды Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Перпендикулярность прямых и плоскостей Движения в пространстве Угол между прямой и плоскостью Параллельность прямых и плоскостей Расстояние от точки до плоскости Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Угол между плоскостями Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Сечения в телах вращения Тела вращения Теорема о трёх перпендикулярах Расстояние от прямой до плоскости Призмы
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства
Числа и действия с ними
Правила счёта Модуль Координатная прямая НОК и НОД Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг Многочлены Свойства степеней Степени Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Одночлены
Формат ЕГЭ
Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ
Анализ функций
Квадратичная функция Правила дифференцирования Первообразная Графики тригонометрических функций Функции Экстремумы Координатная плоскость Линейная функция Смысл производной Преобразование графиков функции Взаимное расположение графиков линейной функции Графическое применение производной Функция обратной пропорциональности Кусочная функция Интеграл Свойства функций Функция квадратного корня
Реальная математика
Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на движение по прямой Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Текстовые задачи на проценты Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на сплавы и смеси Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Множества Метод математической индукции Основы комбинаторики Текстовые задачи на производительность Единицы измерения Основы математической статистики Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Ценные бумаги Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Оптимизация Введение в текстовые задачи Вероятность Комбинаторика Экономические задачи. Вклады
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Однородные уравнения Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Показательные уравнения Логарифмические уравнения Простейшие тригонометрические уравнения

НОК и НОД

Рассмотрим выражение:

\(45:9\)

Можем сказать, что 45 – делимое, а 9 – делитель данного выражения.

Мы знаем, что 45 делится нацело на число 9. В таком случае, если мы захотим описать, чем эти числа являются друг другу, то мы скажем, что

9 – делитель числа 45

45 – кратно числу 9

Иногда при решении задач нужно находить общие кратные или общие делители двух чисел.

Наименьший делитель двух чисел – всегда единица. Такой делитель нет смысла искать, поэтому ищут наибольший общий делитель.

А кратных наоборот – бесконечно много, невозможно искать наибольшее из них, поэтому ищут, наименьшее общее кратное.

НОД:

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел – это наибольшее число, на которое каждое из этих чисел можно поделить без остатка.

Пример №1:

Рассмотрим числа 30 и 45.

  1. Найдем все их существующие делители, т.е. числа, на которые каждое из них поделится нацело:

  1. Мы видим, что у этих двух чисел есть несколько общих делителей. Наибольший из них – 15 – является самым большим. Это и есть НОД.

Значит и число 45 и число 30 можно нацело поделить на 15. Записывают это так:

\(НОД\ (30;45) = 15\)

Ответ: 15.

Пример №2:

Найдем \(НОД\ (20;36):\)

  1. Выпишем все делители этих чисел.

Так же делители можно сразу записывать парой. Если 20 нацело делится на 2, то

\(20\ :\ 2 = 10\)

Значит 10 – тоже делитель числа 20. Запишем делители 2 и 10 парой:

  1. Выделим все общие делители и найдем наибольший из них. В данном случае

\(НОД(20;35) = 4.\)

Ответ: 4.

НОК:

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел – это наименьшее число, которое можно поделить на каждое из этих чисел без остатка.

Пример №3:

Найдем \(НОК\ (10;12).\)

  1. Возьмем наименьшее число. В данном случае – 10.

Будем умножать его на натуральные числа по порядку, пока не получим число, кратное 12, то есть такое, на которое нацело поделится и 10, и 12. Оно и будет НОК этих двух чисел. Такой метод называется методом подбора.

\(10 \bullet 1 = 10;\ \ \ \ 10\ НЕ\ кратно\ 12\)

\(10 \bullet 2 = 20;\ \ \ \ 20\ НЕ\ кратно\ 12\)

\(10 \bullet 3 = 30;\ \ \ \ 30\ НЕ\ кратно\ 12\)

\(10 \bullet 4 = 40;\ \ \ \ 40\ НЕ\ кратно\ 12\)

\(10 \bullet 5 = 50;\ \ \ \ 50\ НЕ\ кратно\ 12\)

\(10 \bullet 6 = 60;\ \ \ \ 60\ кратно\ 12\)

  1. Первое число, которое будет кратно обоим числам и является их наименьшим общим кратным.

Общих кратный, в отличии от делителей, бесконечно много, поэтому обычно выбирают наименьший их них.

Ответ: 60.

Также можно находить НОК через разложение на множители:

Пример №4:

Найдём \(НОК\ (6;8):\)

  1. Разложим числа 6 и 8 на простейшие множители, т.е. представим каждое число как произведения простых чисел. Множители большего числа запишем сверху:

8: \(1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 2\)

6: \(1 \bullet 2 \bullet 3\)

  1. Видим, что множители 1 и 2 повторяются у обоих чисел, поэтому для меньшего числа их уберем. Останется:

  1. Перемножим все оставшиеся числа. Их произведение и будет НОК:

\(НОК\ (6;\ 8) = 1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 = 24\)

Ответ: 24.

Пример №5:

Найдем \(НОК\ (10;12)\) разложением на множители:

  1. Разложим оба числа на простые множители. Сверху запишем большее число:

12: 1, 2, 2, 3

10: 1, 2, 5

  1. Для меньшего числа зачеркнем те множители, которые уже есть у большего числа:

  1. Перемножим все оставшиеся числа:

\(НОК\ (10;\ 12) = 1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 \bullet 5 = 60\)

Наш ответ совпал с ответом, где мы использовали метод подбора.

Ответ: 60.

ВЗАИМОСВЯЗЬ НОК И НОД:

Произведение НОК и НОД некоторых чисел равно произведению самих этих чисел:

\(НОК(a;\ b) \bullet НОД(a;\ b) = a \bullet b\)

Докажем эту формулу на примере.

Пример №6:

Рассмотрим пару чисел 24 и 60.

  1. Найдем их НОД:

\(НОД\ (24;60) = 12\)

  1. Найдем их НОК:

\(НОК\ (24;\ 60)\ = \ 1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 \bullet 5 = 120\)

  1. Рассмотрим поближе НОК. Чтобы его получить, мы переменожили все простые множители чисел 60 и 24 за исключением множителей 1, 2, 2, 3. Найдем отдельно их произведение:

\(1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 = 12\)

Если перемножить все простые множители числе 60 и 24 мы получим просто их произведение, при этом оно будет состоять из НОК и числа 12, которое в свою очередь равно НОД: