НОК и НОД

Рассмотрим выражение:

\(45:9\)

Можем сказать, что 45 – делимое, а 9 – делитель данного выражения.

Мы знаем, что 45 делится нацело на число 9. В таком случае, если мы захотим описать, чем эти числа являются друг другу, то мы скажем, что

9 – делитель числа 45

45 – кратно числу 9

Иногда при решении задач нужно находить общие кратные или общие делители двух чисел.

Наименьший делитель двух чисел – всегда единица. Такой делитель нет смысла искать, поэтому ищут наибольший общий делитель.

А кратных наоборот – бесконечно много, невозможно искать наибольшее из них, поэтому ищут, наименьшее общее кратное.

НОД:

Рассмотрим числа 30 и 45.

1. Найдем все их существующие делители, т.е. числа, на которые каждое из них поделится нацело:

2. Мы видим, что у этих двух чисел есть несколько общих делителей. Наибольший из них – 15 – является самым большим. Это и есть НОД.

Значит и число 45 и число 30 можно нацело поделить на 15. Записывают это так:

\(НОД\ (30;45) = 15\)

Ответ: 15.

Найдем \(НОД\ (20;36):\)

1. Выпишем все делители этих чисел.

Так же делители можно сразу записывать парой. Если 20 нацело делится на 2, то

\(20\ :\ 2 = 10\)

Значит 10 – тоже делитель числа 20. Запишем делители 2 и 10 парой:

2. Выделим все общие делители и найдем наибольший из них. В данном случае

\(НОД(20;35) = 4.\)

Ответ: 4.

НОК:

Найдем \(НОК\ (10;12).\)

1. Возьмем наименьшее число. В данном случае – 10.

Будем умножать его на натуральные числа по порядку, пока не получим число, кратное 12, то есть такое, на которое нацело поделится и 10, и 12. Оно и будет НОК этих двух чисел. Такой метод называется методом подбора.

\(10 \bullet 1 = 10;\ \ \ \ 10\ НЕ\ кратно\ 12\)

\(10 \bullet 2 = 20;\ \ \ \ 20\ НЕ\ кратно\ 12\)

\(10 \bullet 3 = 30;\ \ \ \ 30\ НЕ\ кратно\ 12\)

\(10 \bullet 4 = 40;\ \ \ \ 40\ НЕ\ кратно\ 12\)

\(10 \bullet 5 = 50;\ \ \ \ 50\ НЕ\ кратно\ 12\)

\(10 \bullet 6 = 60;\ \ \ \ 60\ кратно\ 12\)

2. Первое число, которое будет кратно обоим числам и является их наименьшим общим кратным.

Общих кратный, в отличии от делителей, бесконечно много, поэтому обычно выбирают наименьший их них.

Ответ: 60.

Также можно находить НОК через разложение на множители:

Найдём \(НОК\ (6;8):\)

1. Разложим числа 6 и 8 на простейшие множители, т.е. представим каждое число как произведения простых чисел. Множители большего числа запишем сверху:

8: \(1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 2\)

6: \(1 \bullet 2 \bullet 3\)

2. Видим, что множители 1 и 2 повторяются у обоих чисел, поэтому для меньшего числа их уберем. Останется:

3. Перемножим все оставшиеся числа. Их произведение и будет НОК:

\(НОК\ (6;\ 8) = 1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 = 24\)

Ответ: 24.

Найдем \(НОК\ (10;12)\) разложением на множители:

1. Разложим оба числа на простые множители. Сверху запишем большее число:

12: 1, 2, 2, 3

10: 1, 2, 5

2. Для меньшего числа зачеркнем те множители, которые уже есть у большего числа:

3. Перемножим все оставшиеся числа:

\(НОК\ (10;\ 12) = 1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 \bullet 5 = 60\)

Наш ответ совпал с ответом, где мы использовали метод подбора.

Ответ: 60.

ВЗАИМОСВЯЗЬ НОК И НОД:

Произведение НОК и НОД некоторых чисел равно произведению самих этих чисел:

\(НОК(a;\ b) \bullet НОД(a;\ b) = a \bullet b\)

Докажем эту формулу на примере.

Рассмотрим пару чисел 24 и 60.

1. Найдем их НОД:

\(НОД\ (24;60) = 12\)

2. Найдем их НОК:

\(НОК\ (24;\ 60)\ = \ 1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 \bullet 5 = 120\)

3. Рассмотрим поближе НОК. Чтобы его получить, мы переменожили все простые множители чисел 60 и 24 за исключением множителей 1, 2, 2, 3. Найдем отдельно их произведение:

\(1 \bullet 2 \bullet 2 \bullet 3 = 12\)

Если перемножить все простые множители числе 60 и 24 мы получим просто их произведение, при этом оно будет состоять из НОК и числа 12, которое в свою очередь равно НОД: