Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Линейная функция

Линейная функция – это функция \(вида\)

\(\ y = \text{kx} + b,\ где\ k \neq 0\).

Как видно из названия, графиком этой функции является прямая.

В этом виде функции \(k = 1,\ \ b = 0\).

С изменением коэффициентов k и b меняется и внешний вид функции.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:

1. Область определения: \(D(y\mathbb{) = R}\)
2. Область значения: \(E(y\mathbb{) = R}\)
3. Ограниченность и непрерывность: неограниченна, непрерывна
4. Наибольшее и наименьшее значение функции: Отсутствует
5. Промежутки знакопостоянства:

\(y\ > \ 0:\)

Если \(k\ > \ 0\): \(x \in \left( \frac{–b}{k}; + \infty \right)\)

Если \(k < 0\) \(\ x \in \left( –\infty;\frac{–b}{k} \right)\)

\(y\ < \ 0:\)

Если \(k > 0\): \(x \in \left( –\infty;\frac{–b}{k} \right)\)

Если \(k < 0\) \(\ x \in \left( \frac{–b}{k}; + \infty \right)\)

6. Монотонность:

возрастает при \(k > 0;\)

убывает при

\(\ k < 0.\)

7. Экстремумы: нет
8. Четность: нечетная
9. Периодичность: не периодичная
10. Пересекает ось Ох в точке \(\left( –\frac{b}{k};0 \right)\).
11. Пересекает ось Оу в точке \((0;\ b)\)

ВЛИЯНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ НА ВИД ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:

Коэффициент k:

– При увеличении коэффициента \(\left| k \right|\) функция приближается к оси Оу.

– При уменьшении коэффициента \(\left| k \right|\) функция приближается к оси Ох.

– При \(k > 0\) график линейной функции слева направо поднимается (график образует острый угол с осью Ох).

– При\(\ k < 0\ \)график линейной функции слева направо опускается (график образует тупой угол с осью Ох).

Иначе говоря, коэффициент k – это угловой коэффициент.

При \(k > 0\) функция возрастает;
При \(k < 0\ \)функция убывает.

Коэффициент b:

График функции пересекает ось Oy в точке \((0;b).\)

График \(y = 2x + 3\ \)пересекает ось Оу в точке \((0;3)\)

График \(y = \ –2x\ –1\ \)пересекает ось Ох в точке \((0;–1)\)

Таким образом:

– при \(b > 0\ \)график пересекает ось Оу выше оси Ох;
– при \(b < 0\ \)график пересекает ось Оу ниже оси Ох.