Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Теорема Менелая и теорема Чевы

ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ

На сторонах треугольника АВС (или их продолжениях) отметили точки \(A_{1},B_{1},C_{1}\) таким образом, что они не совпадают с вершинами треугольника:

По теореме Менелая точки \(A_{1}{,\ B}_{1}\ и\ C_{1}\) лежат на одной прямой, если:

\(\frac{AC_{1}}{C_{1}B} \bullet \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \bullet \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1\)

Отрезки в данном отношении располагаются по порядку: от вершины к точке (AC1), от точки к вершине (C1B), и так далее.

ВЕКТОРНАЯ ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ

Данную теорему можно доказать, используя векторный метод. Рассмотрим теорему Менелая, обратную её теорему и её доказательство.

На сторонах треугольника АВС (или их продолжениях) отметили точки \(A_{1},B_{1},C_{1}\) таким образом, что они не совпадают с вершинами треугольника, при этом:

\(\overrightarrow{AC_{1}} = p\overrightarrow{C_{1}B}\)

\(\overrightarrow{\text{BA}_{1}} = q\overrightarrow{A_{1}C}\)

\(\overrightarrow{\text{CB}_{1}} = r\overrightarrow{B_{1}A}\)

где p, q, r – некоторые числа

Тогда, если точки \(A_{1},B_{1},C_{1}\) лежат на одной прямой, то:

\(pqr = \ –1\)

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ

Если \(pqr = \ –1\), то точки \(A_{1},B_{1},C_{1}\) лежат на одной прямой.

Доказательство:

  1. Рассмотрим треугольник, на продолжении сторон которых поставили точки \(A_{1},B_{1},C_{1}\) таким образом, что они находятся на одной прямой. Расположим на координатной плоскости этот треугольник так, чтобы точки \(A_{1},B_{1},C_{1}\) лежали на прямой Оу. В таком случае их абсциссы равны нулю.

  2. Тогда для вершин треугольника обозначим абсциссы, не равные нулю. Для точки А абсцисса равна a, для точки B – b. Для точки С – c.

  1. Докажем, что при

\(\overrightarrow{AC_{1}} = p\overrightarrow{C_{1}B}\)

\(\overrightarrow{\text{BA}_{1}} = q\overrightarrow{A_{1}C}\)

\(\overrightarrow{\text{CB}_{1}} = r\overrightarrow{B_{1}A}\)

произведение \(pqr\ равно\ –1\).

  1. рассмотрим абсциссы векторов \(\overrightarrow{AC_{1}}\ и\ \overrightarrow{C_{1}B}\):

  • абсцисса \(\overrightarrow{AC_{1}}\) равна разнице абсцисс конечной и начальной точки вектора: (0 – a);

  • абсцисса \(\ \overrightarrow{C_{1}B}\) аналогична равна: \((b\ –0);\)

Тогда абсциссы \(\overrightarrow{AC_{1}} = p\overrightarrow{C_{1}B}\) равны:

\(0\ –\ a = p(b\ –\ 0)\)

\(a = \ –pb\)

  1. аналогично рассмотрим абсциссы векторов \(\overrightarrow{\text{BA}_{1}}\ и\ q\overrightarrow{A_{1}C}\):

  • абсцисса \(\overrightarrow{\text{BA}_{1}}\) равна: \((0\ –b)\);

  • абсцисса \(\overrightarrow{A_{1}C}\) равна: \((c\ –0)\);

Тогда абсциссы \(\overrightarrow{\text{BA}_{1}} = q\overrightarrow{A_{1}C}\) равны:

\(0\ –b = q\left( c–0 \right)\)

\(b = \ –qc\)

  1. для \(\overrightarrow{\text{CB}_{1}}\ и\ \overrightarrow{B_{1}A}\):

  • абсцисса \(\overrightarrow{\text{CB}_{1}}\) равна: (0 – с);

  • абсцисса \(\overrightarrow{B_{1}A}\) равна: (a – 0);

Тогда абсциссы \(\overrightarrow{\text{CB}_{1}} = r\overrightarrow{B_{1}A}\):

\(0\ –c = r\left( a–0 \right)\)

\(c\ = \ –ra\)

  1. Выразим абсциссу a через полученные значения:

\(a = \ –pb\)

\(a = \ –p\left( –qc \right)\)

\(a = \ –p\left( –q(–ra) \right)\)

\(a = \ –pqr \bullet a\)

\(a(pqr + 1) = 0\)

Тогда либо \(a = 0\), либо \(\text{pqr} = \ –1\).

Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА ЧЕВЫ

На сторонах треугольника АВС (или их продолжениях) отметили точки \(A_{1},B_{1},C_{1}\) таким образом, что они не совпадают с вершинами треугольника:

По теореме Чевы прямые \(AA_{1},\ BB_{1},\ CC_{1}\) пересекаются в одной точке или попарно параллельны, если:

\(\frac{AC_{1}}{C_{1}B} \bullet \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \bullet \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1\)

Так же, как и в т. Менелая используются те же отношения отрезков по порядку: от вершины к точке, от точки к вершине.

ВЕКТОРНАЯ ТЕОРЕМА ЧЕВЫ

Аналогично теореме Менелая теорему Чевы можно представить и доказать с помощью векторного метода.

На сторонах треугольника АВС (или их продолжениях) отметили точки \(A_{1},B_{1},C_{1}\) таким образом, что они не совпадают с вершинами треугольника, при этом:

\(\overrightarrow{AC_{1}} = p\overrightarrow{C_{1}B}\)

\(\overrightarrow{\text{BA}_{1}} = q\overrightarrow{A_{1}C}\)

\(\overrightarrow{\text{CB}_{1}} = r\overrightarrow{B_{1}A}\)

где p, q, r – некоторые числа

Тогда, если прямые \(AA_{1},\ BB_{1},\ CC_{1}\) пересекаются в одной точке или попарно параллельны, то:

\(pqr = 1\)

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА ЧЕВЫ

Если \(pqr = 1\), то прямые \({АA}_{1},\text{BB}_{1},CC_{1}\) пересекаются в одной точке.

Доказательство:

  1. Расположим на координатной плоскости треугольник и попарно параллельные прямые \({АA}_{1},\text{BB}_{1},CC_{1}\):

  1. Тогда у точек будут следующие абсциссы:

\(A = A_{1} = a\)

\(B = B_{1} = b\)

\(C = C_{1} = c\)

  1. Аналогично теореме Менелая найдем абсциссы каждого вектора:

  1. абсциссы векторов \(\overrightarrow{AC_{1}}\ и\ \overrightarrow{C_{1}B}\):

  • абсцисса \(\overrightarrow{AC_{1}}\) равна: \((c\ –a);\)

  • абсцисса \(\ \overrightarrow{C_{1}B}\) аналогична равна: \((b\ –c)\);

Тогда абсциссы \(\overrightarrow{AC_{1}} = p\overrightarrow{C_{1}B}\) равны:

\(c\ –\ a = p(b\ –\ c)\)

\(p = \frac{c\ –\ a}{b\ –\ c}\)

  1. абсциссы векторов \(\overrightarrow{\text{BA}_{1}}\ и\ q\overrightarrow{A_{1}C}\):

  • абсцисса \(\overrightarrow{\text{BA}_{1}}\) равна: \((a\ –b);\)

  • абсцисса \(\overrightarrow{A_{1}C}\) равна: \((c\ –a);\)

Тогда абсциссы \(\overrightarrow{\text{BA}_{1}} = q\overrightarrow{A_{1}C}\) равны:

\(a\ –b = q\left( c–a \right)\)

\(p = \frac{a\ –\ b}{c\ –\ a}\)

  1. для \(\overrightarrow{\text{CB}_{1}}\ и\ \overrightarrow{B_{1}A}\):

  • абсцисса \(\overrightarrow{\text{CB}_{1}}\) равна: \((b\ –с);\)

  • абсцисса \(\overrightarrow{B_{1}A}\) равна:\(\ (a\ –b);\)

Тогда абсциссы \(\overrightarrow{\text{CB}_{1}} = r\overrightarrow{B_{1}A}\):

\(b\ –c = r\left( a–b \right)\)

\(r = \frac{b\ –\ c}{a\ –\ b}\)

  1. Найдем произведение pqr:

\(pqr = \frac{c\ –\ a}{b\ –\ c} \bullet \frac{a\ –\ b}{c\ –\ a} \bullet \frac{b\ –\ c}{a\ –\ b} = 1\)

Что и требовалось доказать.