Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Реальная математика
Экономические задачи. Ценные бумаги Введение в текстовые задачи Вероятность Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на движение по прямой Комбинаторика Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Основы комбинаторики Единицы измерения Основы математической статистики Множества Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Оптимизация Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Неравенства
Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства
Числа и действия с ними
НОК и НОД Делимость Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Координатная прямая Округление дробей Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Разложение на множители. Группировка Степени Формулы тригонометрии Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции
Планиметрия
Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Прямые и углы на плоскости Тригонометрия в геометрии Равенство фигур Скалярное произведение векторов Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса Треугольники. Площади Метод координат на плоскости Комбинации с окружностью Виды треугольников Многоугольники Средняя линия Параллелограммы Высота Движения Подобие фигур Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Теорема Менелая и теорема Чевы Теорема Пифагора Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Ромб Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Медиана Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Трапеция Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Серединный перпендикуляр Квадрат Элементы планиметрии
Стереометрия
Метод координат в пространстве Движения в пространстве Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Призмы Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол Пирамиды Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения Векторы в пространстве Сечения в телах вращения Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках
Анализ функций
Взаимное расположение графиков линейной функции Экстремумы Координатная плоскость Преобразование графиков функции Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной Графики тригонометрических функций Смысл производной Функция квадратного корня Правила дифференцирования Линейная функция Кусочная функция Свойства функций Первообразная Функции Квадратичная функция Интеграл
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Линейные уравнения Однородные уравнения Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Иррациональные уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Логарифмические уравнения
Формат ЕГЭ
Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q.

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0.

Например, 1, 3, 9, 27…

Если \(q > 0\), то прогрессия считается знакоположительной, при \(q < 0\) – знакопеременной.

Если \(|q| > 1\), прогрессия возрастающая, если \(|q| < 1\) – убывающая. Заметим, что при \(q < 0\) сами члены геометрической прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя такую прогрессию все равно называют убывающей.

Если \(b_{1}\) — первый член прогрессии (\(b_{1}\ \neq \ 0\)), а q — знаменатель прогрессии (\(q\ \neq \ 0\)), то справедливы следующие формулы:

\(b_{n}\ = \ b_{1} \cdot q^{n - 1}\) - формула n-го члена

Пример: Найдите\(\ {\ b}_{4},\ {\ b}_{11}\) геометрической прогрессии, если \(b_{1} = 3\), \(q = 2\)

Решение:

По формуле найдем:

\(b_{4} = \ b_{1} \cdot q^{4\ - 1} = 3 \cdot 2^{3}\ = \ 24\),

\(b_{11} = \ b_{1} \cdot q^{11 - 1} = 3 \cdot 2^{10}\ = \ 3072\).

\(< О > S_{n} = b_{1}\ \frac{(q^{n} - 1)}{q - 1}\) - формула суммы n первых членов;

Пример: Найдите сумму пяти членов геометрической прогрессии, у которой \(b_{1} = 2\), \(q = 3\)

Решение:

\(S_{5} = b_{1}\ \frac{(q^{5} - 1)}{q - 1} = 2\ \frac{(3^{5} - 1)}{3 - 1} = \ 2\ \frac{(243 - 1)}{2} = 242\)

Каждый член знакоположительной геометрической прогрессии представляет собой среднее геометрическое его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену):

  • \(b_{n} = \ \sqrt{b_{n - 1} \bullet b_{n + 1}}\) - свойство n-го члена.

Если | q | < 1, то имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой находят по формуле \(S = \ \frac{b_{1}}{1 - q}\) .

Формула n-го члена прогрессии:

  • арифметической: \(a_{n} = a_{1} + d \cdot (n\ - 1)\)

  • геометрической: \(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\)

Зная одну формулу, легко можно получить другую – надо лишь сложение заменить умножением и умножение заменить возведением в степень, и из формулы для арифметической прогрессии получится формула для геометрической прогрессии.