Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Планиметрия
Параллелограммы Векторы Трапеция Тригонометрия в геометрии Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Скалярное произведение векторов Квадрат Многоугольники Ромб Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса Движения Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Прямые и углы на плоскости Элементы планиметрии Симметрия Средняя линия Простейшие расстояния на плоскости Высота Подобие фигур Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Медиана Теорема Пифагора Виды треугольников Серединный перпендикуляр Окружнoсть и круг Треугольники. Площади Метод координат на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Отношения в геометрии Равенство фигур Комбинации с окружностью
Уравнения
Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Показательные уравнения Дробно-рациональные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Однородные уравнения Уравнения высших степеней
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Числа и действия с ними
Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Делимость Модуль Десятичные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Многочлены Тригонометрический круг Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Разложение на множители. Группировка Одночлены Свойства степеней Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения
Формат ЕГЭ
Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ
Стереометрия
Сечения в телах вращения Двугранный угол Пирамиды Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Движения в пространстве Угол между прямой и плоскостью Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Параллельность прямых и плоскостей Тела вращения Перпендикулярность прямых и плоскостей Расстояние от прямой до плоскости Призмы Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии
Анализ функций
Экстремумы Линейная функция Интеграл Функция обратной пропорциональности Первообразная Правила дифференцирования Преобразование графиков функции Смысл производной Функция квадратного корня Кусочная функция Графическое применение производной Взаимное расположение графиков линейной функции Квадратичная функция Координатная плоскость Графики тригонометрических функций Функции Свойства функций
Реальная математика
Вероятность Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Экономические задачи. Оптимизация Метод математической индукции Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Основы комбинаторики Единицы измерения Комбинаторика Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на движение по прямой Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по воде Диаграммы, графики и таблицы Множества Основы математической статистики
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q.

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0.

Например, 1, 3, 9, 27…

Если \(q > 0\), то прогрессия считается знакоположительной, при \(q < 0\) – знакопеременной.

Если \(|q| > 1\), прогрессия возрастающая, если \(|q| < 1\) – убывающая. Заметим, что при \(q < 0\) сами члены геометрической прогрессии попеременно меняют знак и убывающей последовательности не образуют, хотя такую прогрессию все равно называют убывающей.

Если \(b_{1}\) — первый член прогрессии (\(b_{1}\ \neq \ 0\)), а q — знаменатель прогрессии (\(q\ \neq \ 0\)), то справедливы следующие формулы:

\(b_{n}\ = \ b_{1} \cdot q^{n - 1}\) - формула n-го члена

Пример: Найдите\(\ {\ b}_{4},\ {\ b}_{11}\) геометрической прогрессии, если \(b_{1} = 3\), \(q = 2\)

Решение:

По формуле найдем:

\(b_{4} = \ b_{1} \cdot q^{4\ - 1} = 3 \cdot 2^{3}\ = \ 24\),

\(b_{11} = \ b_{1} \cdot q^{11 - 1} = 3 \cdot 2^{10}\ = \ 3072\).

\(< О > S_{n} = b_{1}\ \frac{(q^{n} - 1)}{q - 1}\) - формула суммы n первых членов;

Пример: Найдите сумму пяти членов геометрической прогрессии, у которой \(b_{1} = 2\), \(q = 3\)

Решение:

\(S_{5} = b_{1}\ \frac{(q^{5} - 1)}{q - 1} = 2\ \frac{(3^{5} - 1)}{3 - 1} = \ 2\ \frac{(243 - 1)}{2} = 242\)

Каждый член знакоположительной геометрической прогрессии представляет собой среднее геометрическое его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену):

  • \(b_{n} = \ \sqrt{b_{n - 1} \bullet b_{n + 1}}\) - свойство n-го члена.

Если | q | < 1, то имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой находят по формуле \(S = \ \frac{b_{1}}{1 - q}\) .

Формула n-го члена прогрессии:

  • арифметической: \(a_{n} = a_{1} + d \cdot (n\ - 1)\)

  • геометрической: \(b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}\)

Зная одну формулу, легко можно получить другую – надо лишь сложение заменить умножением и умножение заменить возведением в степень, и из формулы для арифметической прогрессии получится формула для геометрической прогрессии.