Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Реальная математика
Текстовые задачи на доли и дроби Введение в текстовые задачи Основы математической статистики Множества Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Вероятность Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Геометрическая прогрессия Экономические задачи. Ценные бумаги Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Арифметическая прогрессия Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Единицы измерения Экономические задачи. Вклады Диаграммы, графики и таблицы Комбинаторика Прикладные задачи Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства
Числа и действия с ними
Десятичные дроби и действия с ними Делимость Правила счёта Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Модуль
Планиметрия
Параллелограммы Простейшие расстояния на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Тригонометрия в геометрии Высота Четыре замечательные точки треугольника Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Скалярное произведение векторов Отношения в геометрии Треугольники. Площади Симметрия Комбинации с окружностью Площадь круга и сектора круга Многоугольники Виды треугольников Векторы Окружнoсть и круг Метод координат на плоскости Равенство фигур Ромб Биссектриса Прямые и углы на плоскости Элементы планиметрии Средняя линия Площади четырёхугольников Серединный перпендикуляр Теорема Пифагора Трапеция Движения Подобие фигур Прямоугольник Теорема Менелая и теорема Чевы Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Квадрат
Стереометрия
Расстояние от прямой до плоскости Призмы Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Тела вращения Векторы в пространстве Метод координат в пространстве Угол между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Движения в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Угол между плоскостями
Анализ функций
Координатная плоскость Линейная функция Функция квадратного корня Графики тригонометрических функций Экстремумы Преобразование графиков функции Графическое применение производной Функции Смысл производной Интеграл Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Кусочная функция Свойства функций Квадратичная функция Правила дифференцирования
Уравнения
Однородные уравнения Уравнения высших степеней Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Логарифмические уравнения Системы уравнений с двумя переменными Линейные уравнения Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения
Формулы и выражения
Одночлены Многочлены Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Показательные выражения и свойства показательной функции Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг Формулы тригонометрии
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ

Параллельность прямых и плоскостей

Рассмотрим конфигурацию (расположение) прямых, прямой и плоскости, и плоскостей, при которых элементы параллельны друг другу.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Параллельные прямые – это прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

\(a,\ b \in \alpha\)

\(a \parallel b\)

ТЕОРЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ:

  1. Теорема о параллельных прямых

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

  1. Теорема о трёх прямых в пространстве

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

\(\left. \ \frac{a \parallel c}{b \parallel c} \right\} \Longrightarrow a \parallel b\)

  1. Лемма о пересечении плоскостью параллельными прямыми.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

\(\left. \ \frac{a \cap \alpha}{a \parallel b} \right\} \Longrightarrow b \cap \alpha\)

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Признак параллельности прямой и плоскости:

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

\(\left. \ \frac{a \parallel b}{b \in \alpha} \right\} \Longrightarrow a \parallel \alpha\)

ТЕОРЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПРЯМОЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ:

Теорема 1

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

\(\left. \ \begin{matrix} \ \\ a \in \alpha \\ a\ ||\ \beta \\ a \cap \beta = b \\ \ \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow a||b\)

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, ЛИБО лежит в этой плоскости.

\(\left. \ \frac{a \parallel b}{a \parallel \alpha} \right\} \Longrightarrow b \parallel \alpha\ ИЛИ\ b \in \alpha\)

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Признак параллельности плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

\(\left. \ \begin{matrix} a,\ c \in \alpha \\ b,\ d \in \beta \\ a\ ||\ b \\ с\ ||\ в \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow \alpha\ ||\ \beta\)

Теорема о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью:

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны.

\(\left. \ \begin{matrix} \alpha \parallel \beta \\ \alpha \cap \gamma = a \\ \beta \cap \gamma = b \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow a \parallel b\)