Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Планиметрия
Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Площадь круга и сектора круга Квадрат Метод координат на плоскости Подобие фигур Комбинации с окружностью Отношения в геометрии Средняя линия Теорема синусов и теорема косинусов Движения Теорема Пифагора Равенство фигур Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Прямоугольник Теорема Менелая и теорема Чевы Прямые и углы на плоскости Многоугольники Параллелограммы Ромб Высота Векторы Окружнoсть и круг Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Тригонометрия в геометрии Площади четырёхугольников Медиана Трапеция Биссектриса Скалярное произведение векторов Элементы планиметрии Треугольники. Площади Виды треугольников Серединный перпендикуляр Четыре замечательные точки треугольника
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Тела вращения Двугранный угол Пирамиды Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Метод координат в пространстве Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Призмы Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Сечения в телах вращения
Реальная математика
Диаграммы, графики и таблицы Множества Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на проценты Арифметическая прогрессия Метод математической индукции Единицы измерения Сложные проценты Прикладные задачи Вероятность Экономические задачи. Кредиты Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Комбинаторика Основы математической статистики
Уравнения
Однородные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Методы решения уравнений Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения с модулем Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Показательные уравнения Дробно-рациональные уравнения
Формат ЕГЭ
Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ
Анализ функций
Свойства функций Функция квадратного корня Кусочная функция Интеграл Смысл производной Преобразование графиков функции Взаимное расположение графиков линейной функции Квадратичная функция Линейная функция Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной Первообразная Графики тригонометрических функций Координатная плоскость Функции Экстремумы Правила дифференцирования
Параметр
Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения
Неравенства
Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства
Числа и действия с ними
Обыкновенные дроби и действия с ними Делимость Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Модуль Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД
Формулы и выражения
Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Свойства степеней Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Многочлены Тригонометрический круг

Параллельность прямых и плоскостей

Рассмотрим конфигурацию (расположение) прямых, прямой и плоскости, и плоскостей, при которых элементы параллельны друг другу.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Параллельные прямые – это прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

\(a,\ b \in \alpha\)

\(a \parallel b\)

ТЕОРЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРЯМЫМИ:

  1. Теорема о параллельных прямых

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

  1. Теорема о трёх прямых в пространстве

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

\(\left. \ \frac{a \parallel c}{b \parallel c} \right\} \Longrightarrow a \parallel b\)

  1. Лемма о пересечении плоскостью параллельными прямыми.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

\(\left. \ \frac{a \cap \alpha}{a \parallel b} \right\} \Longrightarrow b \cap \alpha\)

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Признак параллельности прямой и плоскости:

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

\(\left. \ \frac{a \parallel b}{b \in \alpha} \right\} \Longrightarrow a \parallel \alpha\)

ТЕОРЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПРЯМОЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ:

Теорема 1

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

\(\left. \ \begin{matrix} \ \\ a \in \alpha \\ a\ ||\ \beta \\ a \cap \beta = b \\ \ \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow a||b\)

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, ЛИБО лежит в этой плоскости.

\(\left. \ \frac{a \parallel b}{a \parallel \alpha} \right\} \Longrightarrow b \parallel \alpha\ ИЛИ\ b \in \alpha\)

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Признак параллельности плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

\(\left. \ \begin{matrix} a,\ c \in \alpha \\ b,\ d \in \beta \\ a\ ||\ b \\ с\ ||\ в \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow \alpha\ ||\ \beta\)

Теорема о пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью:

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны.

\(\left. \ \begin{matrix} \alpha \parallel \beta \\ \alpha \cap \gamma = a \\ \beta \cap \gamma = b \\ \end{matrix} \right\} \Longrightarrow a \parallel b\)