Показательные и логарифмические неравенства

Показательная функция может либо возрастать, либо убывать в зависимости от основания.

\(y = a^{x}\)

\((a > 0,\ a \neq 1)\)

Если функция возрастает, то большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть можно сказать, что они изменяются в одну сторону.

Поэтому, если основание больше единицы, то при решении неравенств вида \(a^{f\left( x \right)} > a^{g\left( x \right)}\ \) можно просто основание убрать.

Если функция убывает, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, или, другими словами, изменение происходит в разные стороны.

В этом случае при переходе от показательного неравенства к обыкновенному знак неравенства поменяется на противоположный.

Неравенства вида \(\mathbf{a}^{\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)}\mathbf{>}\mathbf{a}^{\mathbf{g}\left( \mathbf{x} \right)}\ \)

1. Основание больше единицы – знак не меняется.

\(a^{f\left( x \right)} > a^{g\left( x \right)}\ \Longleftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right),\ a > 1\)

Пример.

\(2^{2x + 2} > 2^{x + 7}\)

\(2 > 1\)

\(2x + 2 > x + 7\)

\(2x - x > 7 - 2\)

\(x > 5\)

2. Основание меньше единицы и больше нуля – знак меняется.

\(a^{f\left( x \right)} > a^{g\left( x \right)}\ \Longleftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right),\ 0 < \ a < 1\)

Пример.

\(\frac{2}{3}^{3x + 8} > \frac{2}{3}^{2x - 7}\)

\(0 < \frac{2}{3} < 1\ \)

\(3x + 8 < 2x - 7\)

\(3x - 2x < - 7 - 8\)

\(x < - 15\)

Итак, при решении показательных или показательно-степенных уравнений нужно помнить о том, что показательная функция может быть возрастающей и убывающей в зависимости от основания. Это влияет на знак неравенства при переходе к степеням.

Если же основание может принимать разные значения, необходимо рассмотреть все возможные случаи. Таким образом, мы используем еще один равносильный переход для показательно-степенных неравенств.

\(\left( \varphi\left( x \right) \right)^{f\left( g \right)} \geq \left( \varphi\left( x \right) \right)^{g\left( x \right)} \Longleftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \left\{ \begin{matrix} \ \\ f(x) \geq g(x) \\ \varphi\left( x \right) > 1 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} \ \\ g(x) \geq f(x) \\ 0 < \varphi\left( x \right) < 1 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} \ \\ \varphi\left( x \right) = 1 \\ x \in ОДЗ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Пример.

\(\left( x + 3 \right)^{2x - 1} > \left( x + 3 \right)^{x - 7} \rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \left\{ \begin{matrix} \ \\ 2x - 1 > x - 7 \\ x + 3 > 1 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} \ \\ 2x - 1 < x - 7 \\ 0 < x + 3 < 1 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} \ \\ x + 3 = 1 \\ 1^{2x - 1} > 1^{x - 7} \\ x + 3 > 0 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Решим каждую из систем в отдельности.

Первая система:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ 2x - 1 > x - 7 \\ 0 < x + 3 < 1 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow \left\{ \begin{matrix} \ \\ 2x - x > - 7 + 1 \\ x > 1 - 3 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow \left\{ \begin{matrix} \ \\ x > - 6 \\ x > - 2 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow x > - 2\)

Вторая система:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ 2x - 1 < x - 7 \\ 0 < x + 3 < 1 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow \left\{ \begin{matrix} \ \\ 2x - x < - 7 + 1 \\ - 3 < x < 1 - 3 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow \left\{ \begin{matrix} \ \\ x < - 6 \\ - 3 < x < - 2 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow x \in \varnothing\)

Третья система:

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ x + 3 = 1 \\ 1 > 1 \\ x + 3 > 0 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \rightarrow \varnothing\)

Конечным ответом является объединение решений всех систем. В данном случае решение имеет только первая система, значит, её решение и будет ответом.

Ответ: \(( - 2;\ - \infty)\)

Логарифмические неравенства

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция, как и показательная, имеет два варианта графика функции - может либо возрастать, либо убывать в зависимости от основания.

\(y = \log_{a}x\)

\((a > 0,\ a \neq 1,\ x > 0)\)

Аналогично показательной функции, если основание больше единицы, знак неравенства не меняется, т.к. для большего х, мы получаем большее значение функции. Если основание меньше единицы, знак неравенства должен поменяться, т.к. при увеличении х значение функции уменьшается.

При решении логарифмических неравенств обязательно учитывать ОДЗ, которая включает в себя условие для основания и условие для подлогарифмического выражения.

Логарифмические неравенства вида \(\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}{\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}}\mathbf{>}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}{\mathbf{g}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}}\)

1. Основание больше единицы – знак не меняется + ОДЗ

\(\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}{\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}}\mathbf{>}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{g(x)}\mathbf{\Longleftrightarrow f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{> g}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{,\ a > 1}\)

Пример.

\(\log_{3}\left( 3x + 5 \right) > \log_{3}{(2x + 1)}\)

\(3 > 1\)

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ 3x + 5 > 2x + 1 \\ 3x + 5 > 0 \\ 2x + 1 > 0 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ 3x - 2x > 1 - 5 \\ 3x > - 5 \\ 2x > - 1 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ x > - 4 \\ x > - \frac{5}{3} \rightarrow x \in ( - 0,5; + \infty) \\ x > - 0,5 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

2. Основание меньше единицы и больше нуля – знак меняется + ОДЗ

\(\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}{\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}}\mathbf{>}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{g(x)}\mathbf{\Longleftrightarrow f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{< g}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{,0 < \ a < 1}\)

Пример.

\(\log_{0,2}\left( x + 3 \right) > \log_{0,2}\left( 2x - 1 \right)\)

\(0 < 0,2 < 1\)

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ x + 3 < 2x - 1 \\ x + 3 > 0 \\ 2x - 1 > 0 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ x - 2x < - 1 - 3 \\ x > - 3 \\ 2x > 1 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ - x < - 4 \\ x > - 3 \\ x > 0,5 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ x > 4 \\ x > - 3\ \rightarrow x \in (4; + \infty) \\ x > 0,5 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Логарифмические неравенства вида: \(\mathbf{\log}_{\mathbf{\varphi}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}}{\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}}\mathbf{\leq}\mathbf{\log}_{\mathbf{\varphi}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}}{\mathbf{g}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}}\)

У логарифма в основании тоже может быть функция. В таком случае следует воспользоваться следующим равносильным переходом:

\(\mathbf{\log}_{\mathbf{\varphi}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}}{\mathbf{f}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{)}}\mathbf{\leq}\mathbf{\log}_{\mathbf{\varphi(x)}}\mathbf{g(x)}\mathbf{\Longleftrightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} \mathbf{\ } \\ \left\{ \begin{matrix} \mathbf{\ } \\ \mathbf{\varphi}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{> 1} \\ \mathbf{f(x) \leq g(x)} \\ \mathbf{\ } \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} \mathbf{\ } \\ \mathbf{0 < \varphi}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{< 1} \\ \mathbf{f(x) \geq g(x)} \\ \mathbf{\ } \\ \end{matrix} \right.\ \\ \mathbf{\ } \\ \end{matrix} \right.\ \)

Этот равносильный переход основывается всего на двух вещах: ОДЗ + поведение функций.

Пример.

\(\log_{x + 1}{(2x - 3)} \leq \log_{x + 1}\left( x + 2 \right) \Longleftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \ \\ \left\{ \begin{matrix} \ \\ x + 1 > 1 \\ 2x - 3 \leq x + 2 \\ 2x - 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} \ \\ 0 < x + 1 < 1 \\ 2x - 3 \geq x + 2 \\ 2x - 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

Первые 2 неравенства в каждой системе – это часть равносильного перехода, последние 2 – ограничения логарифмической функции.

Решим каждую из систем в отдельности:

1. \(\left\{ \begin{matrix} \ \\ x + 1 > 1 \\ 2x - 3 \leq x + 2 \\ 2x - 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ x > 1 - 1 \\ 2x - x \leq 2 + 3 \\ 2x > 3 \\ x > - 2 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ x > 0 \\ x \leq 5 \\ x > 1,5 \\ x > - 2 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \) \(\rightarrow x \in (1,5;5\rbrack\)

2. \(\left\{ \begin{matrix} \ \\ 0 < x + 1 < 1 \\ 2x - 3 \geq x + 2 \\ 2x - 3 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ - 1 < x < 1 - 1 \\ 2x - x \geq 2 + 3 \\ 2x > 3 \\ x > - 2 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(\left\{ \begin{matrix} \ \\ - 1 < x < 0 \\ x \geq 5 \\ x > 1,5 \\ x > - 2 \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \) \(\rightarrow x \in \varnothing\)

Объединим полученные решения:

\(\left\lbrack \begin{matrix} \ \\ x \in (1,5;5\rbrack \\ x \in \varnothing \\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \) \(\rightarrow x \in (1,5;5\rbrack\)