Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Квадратичная функция

Квадратичная функция – это функция вида

\(y = ax^{2} + \text{bx} + c,\) где \(a \neq 0\).

Графиком этой функции является парабола.

В этом виде функции \(a = 1,\ \ b = 0,\ \ c = 0.\)

В таком случае вершина параболы находится в точке \((0;0)\) и её ветви направлены вверх.

С изменением коэффициентов a, b и c меняется и внешний вид функции. Например:

ХАРАКТЕРИСТИКИ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ:

1. Область определения: \(D(y\mathbb{) = R}\)
2. Область значений: \(E(y\mathbb{) = R}\)
3. Ограниченность и непрерывность: Непрерывна

При \(a > 0\ \)ограничена снизу;

При \(a < 0\) ограничена сверху.

4. Монотонность:

При \(a > 0\):

убывает на \((–\infty;x_{верш})\)

возрастает на \((x_{верш}; + \ \infty)\)

При \(a < 0\):

возрастает на \((–\ \infty;\ x_{верш}) \)убывает на (\(x_{верш}; + \ \infty)\)

\(x_{верш} = \frac{–b}{2a}\)
5. Наибольшее и наименьшее значения

При \(a\ > \ 0:\)

наименьшее значение в точке \((x_{верш};y_{верш})\)

наибольшее значение отсутствует

При \(a < 0\):

наибольшее значение в точке \((x_{верш};y_{верш})\)

наименьшее значение отсутствует

6. Четность:

При \(b = 0\ \)четная

При\(\ b \neq 0\ \)ни четная, ни нечетная

7. Периодичность: не периодичная
8. Пересекает ось Ох в точках \(\left( \frac{–b\ + \sqrt{D}}{2a};0 \right)\) и \(\left( \frac{–b\ –\ \sqrt{D}}{2a};0 \right)\), где \(D = b^{2}\ –4\text{ac}\)
9. Пересекает ось Оу в точке \((0;c)\)

ВЛИЯНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ НА ВИД ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ:

Коэффициент a:

– При увеличении коэффициента a по модулю функция приближается к оси Оу.

– При уменьшении коэффициента a по модулю функция приближается к оси О

– При \(a > 0\) ветви параболы направлены вверх.

– При \(a < 0\) ветви параболы направлены вниз.

Коэффициент b:

По коэффициенту можно определить координаты вершины параболы – точки, где соединяются две её ветви.

\({x_{верш} = \frac{–b}{2a} }{y_{верш} = f(x_{верш})}\)

\(x_{верш} = \frac{–b}{2a} = \frac{–\left( –8 \right)}{4} = 2\)

\(y_{верш} = f(2) = 2 \bullet 2^{2}\ –8 \bullet 2 = 8\ –\ 16 = \ –8\)

Точка вершины с координатами \((2;\ –8)\)

– Если a и b имеют разные знаки, тогда вершина параболы находятся справа от Oy.

– Если a и b и имеют одинаковые знаки, то вершина параболы находится слева от Oy.

Коэффициент c:

График функции пересекает ось Oy в точке \((0;c).\)

График \(y = 2x^{2}\ –\ 8\) пересекает ось Оу в точке (0;0).

График \(y = \ –x^{2} + 3x + 5\) пересекает ось Оy в точке (0;5).

ДИСКРИМИНАНТ:

Дискриминант зависит от всех трёх коэффициентов квадратичной функции и равен:

\(D = b^{2}\ –ac\ \)

От дискриминанта зависит, сколько корней имеет уравнение \(ax^{2} + \text{bx} + c = 0\). Это значит, что эти корни являются точками пересечения параболы с осью Ох (т. к. ось Ох – это прямая \(у = 0\)). Получается, что дискриминант показывает, количество таких пересечений:

– При \(D > 0\) парабола пересекает ось Ох два раза (уравнение имеет два корня);

– При \(D = 0\) парабола пересекает ось Ох один раз – это вершина параболы (уравнение имеет один корень);

– При\(\ D < 0\) парабола не пересекает ось Ох (уравнение не имеет корней).

Рассмотрим три функции и их дискриминанты:

\({1.\ \ y\ = \ –\ x^{2} + 3x + 5 }{D = 9\ + 20 = 29\ > \ 0}\)

\({2.\ \ y = x^{2} + 8x + 16 }{D = 64\ –64 = 0}\)

\({3.\ \ y = 2x^{2} + 3x + 4 }{D = 9\ –32 = \ –23 < 0}\)

Действительно, графики этих функций будут иметь разное количество точек пересечения с осью Ох: