Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Планиметрия
Высота Движения Подобие фигур Комбинации с окружностью Элементы планиметрии Треугольники. Площади Симметрия Параллелограммы Простейшие расстояния на плоскости Виды треугольников Площади четырёхугольников Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Скалярное произведение векторов Биссектриса Прямоугольник Площадь круга и сектора круга Серединный перпендикуляр Квадрат Многоугольники Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Средняя линия Тригонометрия в геометрии Теорема Менелая и теорема Чевы Векторы Трапеция Теорема синусов и теорема косинусов Метод координат на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Ромб Равенство фигур Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора
Реальная математика
Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Метод математической индукции Вероятность Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Экономические показатели Основы математической статистики Диаграммы, графики и таблицы Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Геометрическая прогрессия Экономические задачи. Вклады Множества Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Единицы измерения Комбинаторика Текстовые задачи на движение по воде
Уравнения
Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Показательные уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Системы уравнений с двумя переменными
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Числа и действия с ними
Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Модуль Координатная прямая Делимость Округление дробей Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Многочлены Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Тригонометрический круг Свойства степеней Формулы тригонометрии
Формат ЕГЭ
Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ
Стереометрия
Расстояние между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Призмы Тела вращения Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Метод координат в пространстве Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Теорема о трёх перпендикулярах Элементы и аксиомы стереометрии Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды Векторы в пространстве Сечения в телах вращения
Анализ функций
Координатная плоскость Смысл производной Взаимное расположение графиков линейной функции Интеграл Графическое применение производной Функции Графики тригонометрических функций Квадратичная функция Линейная функция Функция квадратного корня Функция обратной пропорциональности Первообразная Правила дифференцирования Преобразование графиков функции Кусочная функция Свойства функций Экстремумы
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства

Отношения в геометрии

Зачастую в геометрических задачах в условии даются отношения отрезков и площадей или отношение отрезков нужно найти. Существует ряд теорем и свойств фигур и их элементов, в которых так или иначе используются отношения.

ОТНОШЕНИЯ ОТРЕЗКОВ:

1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины: \(\text{AO}:\text{AM} = 2:1.\)

2. Средняя линия треугольника равна половине основания: \(MN = \frac{1}{2}\text{BC}\)

3. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна ее половине \(CM = \frac{1}{2}\text{AB}\)

4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Произвольный параллелограмм или ромб:

\(АО = ОС,\ \ BO = \text{OD}\)

Изображение выглядит как объект, антенна, катается на лыжах Автоматически созданное описание

Прямоугольник или квадрат:

\(АО = ОС = BO = \text{OD}\)

Изображение выглядит как объект, фотография, другой, катается на лыжах Автоматически созданное описание

ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ:

1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника:

\(S_{\text{ACM}} = S_{\text{AMB}} = S\)

2. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников:

\(S_{\text{AKO}} = S_{\text{ALO}} = S_{\text{CKO}} = S_{\text{CMO}} = S_{\text{BMO}} = S_{\text{BLO}} = S\)

3. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна \(\frac{3}{4}S\)

\(S_{\text{AKC}\left( \text{LMB} \right)} = \frac{3}{4}S_{\text{ABM}}\)

ЛЕММЫ О ПЛОЩАДЯХ ТРЕУГОЛЬНИКА:

Лемма 1:

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

\(S_{\text{ABC}}\sim S_{\text{EKF}}\)

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{EKF}}} = \left( \frac{\text{AC}}{\text{EF}} \right)^{2} = k^{2}\)

Изображение выглядит как рисунок Автоматически созданное описание

Лемма 2:

Если стороны треугольников с общей вершиной лежат на одной прямой, то их площади относятся как основания.

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{ABE}}} = \frac{\frac{1}{2}BH \cdot AC}{\frac{1}{2}BH \cdot AE} = \frac{\text{AC}}{\text{AE}}\)

\(\frac{S_{\text{EBC}}}{S_{\text{ABE}}} = \frac{\frac{1}{2}BH \cdot EC}{\frac{1}{2}BH \cdot AE} = \frac{\text{EC}}{\text{AE}}\)

Лемма 3:

Если два треугольника имеют общую сторону, то их площади соотносятся как длины отрезков BE и OE.

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{AOE}}} = \frac{\text{BE}}{\text{OE}}\)

Изображение выглядит как воздушный змей Автоматически созданное описание

Лемма 4:

Если два треугольника имеют общий угол, то их площади соотносятся как произведения соответствующих сторон, прилежащих к этому углу.

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{EBF}}} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin{\angle B}}{\frac{1}{2}EB \cdot BF \cdot \sin{\angle B}} = \frac{AB \cdot BC}{EB \cdot BF}\)

Изображение выглядит как зонт Автоматически созданное описание

Продолжение леммы 4:

Лемма 4 применима даже в том случае, если точки нового треугольника были взяты не на сторонах, а на продолжениях сторон. Пусть точка Е лежит на продолжении стороны AB за вершину В.

\(\sin{\angle FBE} = \sin{\left( 180{^\circ} - \angle ABC \right) = \sin{\angle ABC}}\)

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{EBF}}} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC}}{\frac{1}{2}EB \cdot BF \cdot \sin{\angle FBE}} = \frac{AB \cdot BC}{EB \cdot BF}\)