Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Формулы и выражения
Многочлены Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Свойства степеней Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Тригонометрический круг
Планиметрия
Трапеция Высота Равенство фигур Площадь круга и сектора круга Средняя линия Симметрия Ромб Прямоугольник Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Квадрат Элементы планиметрии Многоугольники Теорема синусов и теорема косинусов Тригонометрия в геометрии Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Отношения в геометрии Треугольники. Площади Биссектриса Метод координат на плоскости Векторы Прямые и углы на плоскости Виды треугольников Четыре замечательные точки треугольника Параллелограммы Простейшие расстояния на плоскости Движения Площади четырёхугольников Скалярное произведение векторов Окружнoсть и круг Теорема Пифагора Подобие фигур Комбинации с окружностью Теорема Менелая и теорема Чевы Серединный перпендикуляр Медиана
Реальная математика
Комбинаторика Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на движение по окружности Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Геометрическая прогрессия Множества Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Оптимизация Основы комбинаторики Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Вероятность Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Вклады Прикладные задачи Основы математической статистики
Уравнения
Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Уравнения высших степеней
Параметр
Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем
Стереометрия
Сечения в телах вращения Расстояние от прямой до плоскости Угол между плоскостями Призмы Пирамиды Перпендикулярность прямых и плоскостей Теорема о трёх перпендикулярах Движения в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Тела вращения Векторы в пространстве Расстояние от точки до плоскости Угол между прямой и плоскостью Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол Расстояние между скрещивающимися прямыми
Анализ функций
Экстремумы Квадратичная функция Кусочная функция Графическое применение производной Взаимное расположение графиков линейной функции Линейная функция Функция квадратного корня Функция обратной пропорциональности Функции Правила дифференцирования Преобразование графиков функции Интеграл Графики тригонометрических функций Координатная плоскость Смысл производной Свойства функций Первообразная
Числа и действия с ними
НОК и НОД Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Модуль Координатная прямая Делимость Правила счёта Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ

Отношения в геометрии

Зачастую в геометрических задачах в условии даются отношения отрезков и площадей или отношение отрезков нужно найти. Существует ряд теорем и свойств фигур и их элементов, в которых так или иначе используются отношения.

ОТНОШЕНИЯ ОТРЕЗКОВ:

1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины: \(\text{AO}:\text{AM} = 2:1.\)

2. Средняя линия треугольника равна половине основания: \(MN = \frac{1}{2}\text{BC}\)

3. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна ее половине \(CM = \frac{1}{2}\text{AB}\)

4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Произвольный параллелограмм или ромб:

\(АО = ОС,\ \ BO = \text{OD}\)

Изображение выглядит как объект, антенна, катается на лыжах Автоматически созданное описание

Прямоугольник или квадрат:

\(АО = ОС = BO = \text{OD}\)

Изображение выглядит как объект, фотография, другой, катается на лыжах Автоматически созданное описание

ОТНОШЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ:

1. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника:

\(S_{\text{ACM}} = S_{\text{AMB}} = S\)

2. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников:

\(S_{\text{AKO}} = S_{\text{ALO}} = S_{\text{CKO}} = S_{\text{CMO}} = S_{\text{BMO}} = S_{\text{BLO}} = S\)

3. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна \(\frac{3}{4}S\)

\(S_{\text{AKC}\left( \text{LMB} \right)} = \frac{3}{4}S_{\text{ABM}}\)

ЛЕММЫ О ПЛОЩАДЯХ ТРЕУГОЛЬНИКА:

Лемма 1:

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

\(S_{\text{ABC}}\sim S_{\text{EKF}}\)

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{EKF}}} = \left( \frac{\text{AC}}{\text{EF}} \right)^{2} = k^{2}\)

Изображение выглядит как рисунок Автоматически созданное описание

Лемма 2:

Если стороны треугольников с общей вершиной лежат на одной прямой, то их площади относятся как основания.

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{ABE}}} = \frac{\frac{1}{2}BH \cdot AC}{\frac{1}{2}BH \cdot AE} = \frac{\text{AC}}{\text{AE}}\)

\(\frac{S_{\text{EBC}}}{S_{\text{ABE}}} = \frac{\frac{1}{2}BH \cdot EC}{\frac{1}{2}BH \cdot AE} = \frac{\text{EC}}{\text{AE}}\)

Лемма 3:

Если два треугольника имеют общую сторону, то их площади соотносятся как длины отрезков BE и OE.

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{AOE}}} = \frac{\text{BE}}{\text{OE}}\)

Изображение выглядит как воздушный змей Автоматически созданное описание

Лемма 4:

Если два треугольника имеют общий угол, то их площади соотносятся как произведения соответствующих сторон, прилежащих к этому углу.

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{EBF}}} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin{\angle B}}{\frac{1}{2}EB \cdot BF \cdot \sin{\angle B}} = \frac{AB \cdot BC}{EB \cdot BF}\)

Изображение выглядит как зонт Автоматически созданное описание

Продолжение леммы 4:

Лемма 4 применима даже в том случае, если точки нового треугольника были взяты не на сторонах, а на продолжениях сторон. Пусть точка Е лежит на продолжении стороны AB за вершину В.

\(\sin{\angle FBE} = \sin{\left( 180{^\circ} - \angle ABC \right) = \sin{\angle ABC}}\)

\(\frac{S_{\text{ABC}}}{S_{\text{EBF}}} = \frac{\frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin{\angle ABC}}{\frac{1}{2}EB \cdot BF \cdot \sin{\angle FBE}} = \frac{AB \cdot BC}{EB \cdot BF}\)