Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Многочлены Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Тригонометрический круг Свойства степеней Показательные выражения и свойства показательной функции
Планиметрия
Векторы Теорема Пифагора Симметрия Теорема синусов и теорема косинусов Тригонометрия в геометрии Комбинации с окружностью Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Серединный перпендикуляр Средняя линия Треугольники. Площади Простейшие расстояния на плоскости Ромб Движения Равенство фигур Скалярное произведение векторов Трапеция Отношения в геометрии Многоугольники Окружнoсть и круг Параллелограммы Площадь круга и сектора круга Медиана Элементы планиметрии Прямые и углы на плоскости Биссектриса Метод координат на плоскости Высота Подобие фигур Прямоугольник Теорема Менелая и теорема Чевы Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Виды треугольников Площади четырёхугольников Четыре замечательные точки треугольника Квадрат
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Призмы Параллельность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Расстояние от прямой до плоскости Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Движения в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Угол между плоскостями Тела вращения Двугранный угол Пирамиды Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Угол между прямой и плоскостью
Уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Методы решения уравнений Однородные уравнения Квадратные уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Числа и действия с ними
Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта НОК и НОД Модуль Координатная прямая
Анализ функций
Правила дифференцирования Графическое применение производной Взаимное расположение графиков линейной функции Функции Квадратичная функция Линейная функция Функция обратной пропорциональности Первообразная Экстремумы Координатная плоскость Смысл производной Кусочная функция Интеграл Свойства функций Графики тригонометрических функций Функция квадратного корня Преобразование графиков функции
Реальная математика
Геометрическая прогрессия Экономические задачи. Оптимизация Метод математической индукции Единицы измерения Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Экономические задачи. Кредиты Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Экономические показатели Сложные проценты Комбинаторика Текстовые задачи на проценты Вероятность Прикладные задачи Множества Текстовые задачи на доли и дроби Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на производительность Основы математической статистики Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на отношения
Неравенства
Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств
Формат ЕГЭ
Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ

Свойства степеней

Для того, чтобы возвести число в степень с натуральным показателем n , нужно умножить число само на себя \(n\) раз:

где a – основание, n – показатель степень.

Для проведения вычислений удобно использовать формулы преобразования выражений со степенями. Они универсальны и работают для любых показателей (целых, рациональных или иррациональных):

  1. Любое число в нулевой степени равно единице.

\(a^{0} = 1\)

  1. Любое число в первой степени равно самому себе.

\(a^{1} = a\)

  1. Единица в любой степени равна единице.

\(1^{n} = 1\)

  1. При перемножении степеней с одинаковыми основаниями их степени складываются. А основание не меняется.

\(a^{n} \bullet a^{m} = a^{n + m}\)

  1. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя, а основание не меняется.

\(\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n\ –\ m}\)

  1. При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание не меняется.

\({{(a}^{n})}^{m} = a^{n \bullet m}\)

  1. Степень произведения равна произведению степеней

\(\left( \text{ab} \right)^{n} = a^{n} \bullet b^{n}\)

  1. Степень частного равна частному степеней.

\(\left( \frac{a}{b} \right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}\)

  1. При возведении в отрицательную степень основание «переворачивается», а знак показателя степени меняется на противоположный.

\(a^{–\ n} = \left( \frac{1}{a} \right)^{n}\)

Применим эти правила для решения следующих задач.

Пример №1:

\(\frac{3^{5}}{3^{3}} = 3^{5\ –\ 3} = 3^{2} = 9\)

Воспользуемся формулой для частного степеней с одинаковыми основаниями (п.5).

Пример №2:

\(\frac{20^{3}}{10^{3}} = \left( \frac{20}{10} \right)^{3} = 2^{3} = 8\)

Так как степень частного равна частному степеней, занесем всю дробь под одну степень (п.8).

Пример №3:

\(\frac{1}{2^{–2}} = \frac{1^{–2}}{2^{–2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{–2} = 2^{2} = 4\)

Для удобства представим \(1 = 1^{- 2}\) (п.3) и занесем всю дробь под одну степень (п.9).

Пример №4:

\(\frac{a^{2} \cdot \left( a^{\frac{5}{2}} \right)^{2}}{a^{7}} = \frac{a^{2} \cdot a^{\frac{5}{2} \cdot 2}}{a^{7}} = a^{2 + 5 - 7} = a^{0} = 1\ \)

Возведем степень в степень, перемножая показатели (п.6). Так как все основания одинаковые, то заменим произведение степеней на сумму показателей (п.4), а частное – на разность (п.5). Основание при этом не меняем. Любое число в нулевой степени равно единице (п.1).