Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Реальная математика
Арифметическая прогрессия Вероятность Единицы измерения Комбинаторика Текстовые задачи на доли и дроби Множества Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Оптимизация Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Основы математической статистики Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на проценты Геометрическая прогрессия Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Основы комбинаторики Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на движение по воде Прикладные задачи
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Планиметрия
Окружнoсть и круг Треугольники. Площади Теорема синусов и теорема косинусов Движения Подобие фигур Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Метод координат на плоскости Прямоугольник Медиана Многоугольники Комбинации с окружностью Элементы планиметрии Трапеция Виды треугольников Теорема Менелая и теорема Чевы Средняя линия Параллелограммы Векторы Простейшие расстояния на плоскости Площади четырёхугольников Серединный перпендикуляр Скалярное произведение векторов Площадь круга и сектора круга Отношения в геометрии Ромб Биссектриса Тригонометрия в геометрии Высота Четыре замечательные точки треугольника Равенство фигур Квадрат Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора Симметрия
Анализ функций
Взаимное расположение графиков линейной функции Правила дифференцирования Линейная функция Смысл производной Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Первообразная Свойства функций Графики тригонометрических функций Функции Квадратичная функция Координатная плоскость Интеграл Графическое применение производной Экстремумы Преобразование графиков функции Функция квадратного корня
Уравнения
Иррациональные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Однородные уравнения Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней
Неравенства
Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства
Числа и действия с ними
Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Округление дробей Делимость Правила счёта Модуль НОК и НОД
Формулы и выражения
Формулы тригонометрии Иррациональные выражения Разложение на множители. Группировка Многочлены Тригонометрический круг Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Одночлены Свойства степеней
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Стереометрия
Двугранный угол Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Метод координат в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Угол между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Тела вращения Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Элементы и аксиомы стереометрии Угол между прямой и плоскостью Призмы Параллельность прямых и плоскостей

Смешанные дроби и действия с ними

Смешанные дроби – это дроби, в записи которых есть целые числа. Любую смешанную дробь можно представить неправильной дробью.

Неправильная дробь – это дробь, числитель которой больше знаменателя. В таком случае у дроби выделяется целая часть и её можно записать в виде смешанной.

Например,

\(\frac{7}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = 1\frac{3}{4}\)

1 – целая часть, а \(\frac{3}{4}\) – дробная часть смешанного числа \(1\frac{3}{4}\).

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА НЕПРАВИЛЬНОЙ ДРОБИ В СМЕШАННУЮ:

  1. Разделить числитель на знаменатель в столбик с остатком.

  2. Неполное частное будет целой частью.

  3. Остаток (если он есть) станет числителем дробной части смешанной дроби, а делитель - знаменателем.

Например,

Переведем неправильную дробь \(\frac{48}{9}\) в смешанную:

Неполное частное \(= 5\), остаток \(= 3,\) делитель \(= 9\), тогда эту неправильную дробь можно записать как: \(5\frac{3}{9}\).

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА СМЕШАННОЙ ДРОБИ В НЕПРАВИЛЬНУЮ:

  1. Перемножить целую часть со знаменателем дробной части.

  2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части.

  3. Записать полученную сумму в числитель неправильной дроби, а знаменатель оставить без изменений.

Например,

Переведем смешанную дробь \(4\frac{5}{7}\) в неправильную:

Числитель неправильной дроби будет равен

\((4 \bullet 7) + 5 = 28 + 5 = 33\).

Знаменатель останется прежний и будет равен 7.

Получим: \(4\frac{5}{7} = \frac{33}{7}\)

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ДРОБЕЙ:

При сложении и вычитании смешанных чисел отдельно складывают целые части, отдельно дробные по правилам сложения обыкновенных дробей.

  1. Если суммой дробных частей является неправильная дробь, то из нее выделяют целую часть и прибавляют к сумме целых частей.

Например:

\(5\frac{3}{8} + 2\frac{6}{8} = (5 + 2) + (\frac{3}{8} + \frac{6}{8}) = 7 + \frac{9}{8} = 7 + 1\frac{1}{8} = 8\frac{1}{8}\)

  1. Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то поступают так:

\(7\frac{3}{5}\ –\ 2\frac{4}{5} = (7 + \frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + 1 + \frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + 1\frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + \frac{8}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = 6\frac{8}{5} + 2\frac{4}{5}\)

Таким образом мы выделили из целой части единицу и прибавили её к дробной. Теперь можно считать разность:

\(7\frac{3}{5}\ –\ 2\frac{4}{5} = 6\frac{8}{5} + 2\frac{4}{5} = (6\ –\ 2) + (\frac{8}{5}\ –\ \frac{4}{5}) = 4 + \frac{4}{5} = 4\frac{4}{5}\)

  1. Так же поступают при вычитании смешанной дроби из целого числа.

Например:

\(3\ –\ 1\frac{2}{6} = (2 + \frac{6}{6})\ –\ 1\frac{2}{6} = (2\ –\ 1) + (\frac{6}{6}\ –\ \frac{2}{6}) = 1\frac{4}{6}\)