Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Планиметрия
Прямоугольник Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Многоугольники Ромб Виды треугольников Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Подобие фигур Площади четырёхугольников Треугольники. Площади Трапеция Векторы Метод координат на плоскости Равенство фигур Простейшие расстояния на плоскости Биссектриса Движения Комбинации с окружностью Четыре замечательные точки треугольника Серединный перпендикуляр Скалярное произведение векторов Элементы планиметрии Теорема синусов и теорема косинусов Тригонометрия в геометрии Теорема Менелая и теорема Чевы Площадь круга и сектора круга Средняя линия Теорема Пифагора Параллелограммы Высота Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Симметрия Квадрат Прямые и углы на плоскости
Анализ функций
Линейная функция Функция квадратного корня Взаимное расположение графиков линейной функции Графики тригонометрических функций Экстремумы Преобразование графиков функции Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Правила дифференцирования Координатная плоскость Смысл производной Интеграл Первообразная Функции Квадратичная функция Графическое применение производной Свойства функций
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по прямой Введение в текстовые задачи Геометрическая прогрессия Прикладные задачи Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на движение по воде Метод математической индукции Вероятность Экономические задачи. Вклады Диаграммы, графики и таблицы Множества Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Оптимизация Основы комбинаторики Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Комбинаторика Основы математической статистики
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Формулы и выражения
Свойства степеней Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Многочлены Степени
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Стереометрия
Теорема о трёх перпендикулярах Элементы и аксиомы стереометрии Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол Сечения в многогранниках Движения в пространстве Тела вращения Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Сечения в телах вращения Расстояние от прямой до плоскости Пирамиды Угол между скрещивающимися прямыми Призмы Расстояние между скрещивающимися прямыми Метод координат в пространстве
Уравнения
Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Показательные уравнения Уравнения с модулем Уравнения высших степеней Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Уравнения в целых числах Однородные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Квадратные уравнения Логарифмические уравнения
Неравенства
Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства
Числа и действия с ними
Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Правила счёта Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Делимость Смешанные дроби и действия с ними Модуль

Смешанные дроби и действия с ними

Смешанные дроби – это дроби, в записи которых есть целые числа. Любую смешанную дробь можно представить неправильной дробью.

Неправильная дробь – это дробь, числитель которой больше знаменателя. В таком случае у дроби выделяется целая часть и её можно записать в виде смешанной.

Например,

\(\frac{7}{4} = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = 1\frac{3}{4}\)

1 – целая часть, а \(\frac{3}{4}\) – дробная часть смешанного числа \(1\frac{3}{4}\).

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА НЕПРАВИЛЬНОЙ ДРОБИ В СМЕШАННУЮ:

  1. Разделить числитель на знаменатель в столбик с остатком.

  2. Неполное частное будет целой частью.

  3. Остаток (если он есть) станет числителем дробной части смешанной дроби, а делитель - знаменателем.

Например,

Переведем неправильную дробь \(\frac{48}{9}\) в смешанную:

Неполное частное \(= 5\), остаток \(= 3,\) делитель \(= 9\), тогда эту неправильную дробь можно записать как: \(5\frac{3}{9}\).

АЛГОРИТМ ПЕРЕВОДА СМЕШАННОЙ ДРОБИ В НЕПРАВИЛЬНУЮ:

  1. Перемножить целую часть со знаменателем дробной части.

  2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части.

  3. Записать полученную сумму в числитель неправильной дроби, а знаменатель оставить без изменений.

Например,

Переведем смешанную дробь \(4\frac{5}{7}\) в неправильную:

Числитель неправильной дроби будет равен

\((4 \bullet 7) + 5 = 28 + 5 = 33\).

Знаменатель останется прежний и будет равен 7.

Получим: \(4\frac{5}{7} = \frac{33}{7}\)

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ СМЕШАННЫХ ДРОБЕЙ:

При сложении и вычитании смешанных чисел отдельно складывают целые части, отдельно дробные по правилам сложения обыкновенных дробей.

  1. Если суммой дробных частей является неправильная дробь, то из нее выделяют целую часть и прибавляют к сумме целых частей.

Например:

\(5\frac{3}{8} + 2\frac{6}{8} = (5 + 2) + (\frac{3}{8} + \frac{6}{8}) = 7 + \frac{9}{8} = 7 + 1\frac{1}{8} = 8\frac{1}{8}\)

  1. Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то поступают так:

\(7\frac{3}{5}\ –\ 2\frac{4}{5} = (7 + \frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + 1 + \frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + 1\frac{3}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = (6 + \frac{8}{5})\ –\ 2\frac{4}{5} = 6\frac{8}{5} + 2\frac{4}{5}\)

Таким образом мы выделили из целой части единицу и прибавили её к дробной. Теперь можно считать разность:

\(7\frac{3}{5}\ –\ 2\frac{4}{5} = 6\frac{8}{5} + 2\frac{4}{5} = (6\ –\ 2) + (\frac{8}{5}\ –\ \frac{4}{5}) = 4 + \frac{4}{5} = 4\frac{4}{5}\)

  1. Так же поступают при вычитании смешанной дроби из целого числа.

Например:

\(3\ –\ 1\frac{2}{6} = (2 + \frac{6}{6})\ –\ 1\frac{2}{6} = (2\ –\ 1) + (\frac{6}{6}\ –\ \frac{2}{6}) = 1\frac{4}{6}\)