Текстовые задачи на сплавы и смеси

МЕТОД РЫЧАГА:

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ МЕТОДОМ РЫЧАГА:

1. Чертим отрезок, на краях которого расположены данные смешиваемых сплавов или смеси. Слева располагаем ту жидкость или сплав, концентрация которого меньше. Проценты подписываем сверху, массу (или объем) подписываем снизу.

2. Получившийся из них сплав или смесь располагаем между исходными жидкостями или сплавами.

3. По рычагу составляем уравнение:

\(m_{1}\%_{1} + m_{2}\%_{2} = (m_{1} + m_{2})\%\)

4. Выразить и найти неизвестное. Записать ответ в соответствии с вопросом задачи.

В сосуд, содержащий 8 литров 20-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 8 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. Составим рычаг, по краям которого будет расположена информаций о некотором растворе и воде. Если с раствором все понятно – объем равен 8 л, процент равен 20, то с водой могут возникнуть вопросы.

Любой раствор – это смесь воды с некоторым веществом. В данном случае вещества в воде нет, поэтому процентное содержание воды равно 0. А объем воды равен 8 л по условию.
Получаем такой рычаг:

2. О получившемся растворе в условии ничего не сказано, но мы знаем, что его масса (или объем) равна массе смешиваемых жидкостей. Процентное содержание получившегося раствора обозначим за x, его нам и нужно найти:

3. Составим уравнение по рычагу:

\(8 \bullet 0 + 20 \bullet 8 = 16 \bullet x\)

4. Выразим процентное содержание получившегося раствора:

\(x = \frac{20 \bullet 8}{16} = 10\)

Получается, что концентрация получившегося раствора равна 10%

Ответ: 10.

В этом примере объем итогового раствора равен сумме масс исходных, а его концентрация равна среднему арифметическому их концентраций.

Так получилось только потому, что изначальный объем смешиваемых жидкостей был одинаков.

Если в нашей формуле рычага

\(m_{1}\%_{1} + m_{2}\%_{2} = \left( m_{1} + m_{2} \right)\%\)

m₁ = m₂, то пусть m₁ = m₂ = m:

\(m\%_{1} + m\%_{2} = 2m\%\)

\(m(\%_{1} + \%_{2}) = 2m\%\)

\({\%_{1} + \%_{2} = 2\% }{\% = \frac{\%_{1} + \%_{2}}{2}}\)

То есть итоговая концентрация равна среднему арифметическому исходных концентраций при равенстве масс (или объёмов) исходных растворов.

Если массы или объем НЕ равны, то использовать среднее арифметическое не получится. Решаем задачу через формулу рычага.

В сосуд, содержащий 10 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

1. Составим рычаг, исходя из условия. Аналогично концентрация вещества в обычной воде равна 0%:

2. Запишем итоговый раствор. Его объем равен сумме объемов исходных:

3. Составим и решим уравнение рычага:

\(0 \bullet 5 + 24 \bullet 10 = x \bullet 15\)

\(x = \frac{24 \bullet 10}{15} = \frac{8 \bullet 3 \bullet 2 \bullet 5}{3 \bullet 5} = 8 \bullet 2 = 16\)

Ответ: 16.

Имеется два сосуда. Первый содержит 60 кг, а второй — 20 кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 30% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 45% кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом сосуде?

1. Здесь присутствуют два смешивания. При этом неизвестна концентрация исходных растворов. Обозначим их за x и y. Составим рычаг по каждому смешиванию:

2. Во втором случае смешали одинаковое количество растворов. Мы знаем, что при таком смешивании концентрация получившегося раствора равна среднему арифметическому концентрации исходных. Тогда мы можем взять любую массу исходных растворов, главное, чтобы на была одинаковой. Пусть они буду равны по 1кг:

3. В каждом из этих смешиваний концентрация исходных растворов остается неизменной, меняется лишь их масса. Составим систему уравнений рычагов и решим её:

\(\left\{ \begin{matrix} 60x + 20y = 80 \bullet 30 \\ x + y = 2 \bullet 45 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} 60\left( 90–y \right) + 20y = 2400 \\ x = 90\ –\ y \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow\)

\(\left\{ \begin{matrix} 5400\ –\ 60y + 20y = 2400 \\ x = 90\ –\ y \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} 40y = 3000 \\ x = 90\ –\ y \\ \end{matrix} \right.\ \)

\(\Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 75 \\ x = 90\ –\ 75 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 75 \\ x = 15 \\ \end{matrix} \right.\ \)

4. Мы узнали, что концентрация первого раствора равна 15%, а второго 75%. Нас просили найти концентрацию первого. Запишем её в ответ.

Ответ: 15.