Вероятность

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ:

Вероятность – это отношение количества благоприятных событий на количество всевозможных.

Благоприятные события – это подходящие для нас варианты исхода события. Если мы бросаем монетку и хотим, чтобы выпал орел, то выпадение орла и есть так называемое благоприятное событие.

Всевозможные события – это количество всех возможных вариантов исхода действия. Когда мы кидаем монетку, у нас есть два исхода: выпадает орел или выпадает решка.

\(Вероятность = \frac{количество\ благоприятных\ событий}{количество\ возможных\ событий}\)

Пример №1:

Давайте посчитаем вероятность выпадения орла при броске монеты. Назовем событие выпадения орла событием А. Тогда вероятность события А – это Р(А).

Как мы и сказали, благоприятным действием является выпадение орла. Такой исход всего один.

Всевозможных события два – орел или решка. Таким образом выпадение орла:

\(Р(А) = \frac{1}{2}\)

Вероятность может выражаться как правильной дробью, так и процентами.

\(Р(А) = \frac{1}{2} \bullet 100\% = 50\%\)

Можем сказать, что вероятность выпадения орла равна 50%, или 0,5.

Ответ: 0,5.

Пример №2:

Теперь посчитаем вероятность выпадения решки. Пусть событие выпадения решки – это событие В. Тогда вероятность этого события – это Р(В).

Существует одно благоприятное событие и два возможных, тогда

\(Р(В) = \frac{1}{2} = 0,5\)

Ответ: 0,5.

Получается, что при броске монетки вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решки. Так получается, потому

Сумма всех вероятностей всевозможных событий равна 1 (или 100%).

\(Р(А) + Р(В) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)

Если мы будем подкидывать очень много раз монетку и записывать, сколько раз выпал орел, то для более наглядного описания того, как часто орел выпадает, будет использоваться такое понятие как частота.

Частота – это отношение количества появления благоприятного события на количество испытаний.

Пример №3:

В урне 12 шаров. 3 из них – белые, 9 – черные.

а) Какова вероятность Р(А) того, что наугад из урны достанут белый шар?

б) Какова вероятность Р(В), что наугад из урны достанут черный шар?

в) Какова вероятность Р(С), что наугад из урны достанут серый шар?

а) Всего можно достать 3 белых шара, то есть у нас есть 3 благоприятных события. А всевозможных событий у нас 12 – это количество всех шаров, тогда:

\(Р(А) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)

б) Аналогично можем посчитать вероятность Р(В). Но мы знаем, что в сумме вероятности Р(А) и Р(В) равны единице. Тогда мы можем из единицы вычесть неблагоприятные события, чтобы получить благоприятные:

\(Р(В) = 1\ –\ Р(А) = 1\ –\ \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)

в) Если в урне нет серых шаров, тогда количество благоприятных событий равна 0. В таком случае:

\(Р(С) = \frac{0}{12} = 0\)

Ответ: 0,25; 0,75; 0.

Иногда, когда у нас есть комбинации результатов, приходится считать количество всевозможных комбинаций. Нахождение благоприятных и возможных событий усложняется.

Пример №4:

Найдите вероятность того, что при броске двух игральных костей выпадет сумма чисел:

а) кратная трём;

б) не кратная трем.

Для начала нам нужно понять, какие вообще комбинации могут выпасть. У нас есть два кубика. На каждом может выпасть число от 1 до 6. На каждое число, выпавшее на одном кубике, может выпасть одно из шести чисел на втором. Представим возможные события в таблице.

Сразу видно, что всевозможных бросков у нас

\(6 \bullet 6 = 36\).

2. Найдем благоприятные события. Пусть сумма выпавших очков на костях кратна 3 – это событие А. Будем записывать в пересечение строк и столбцов сумму соответствующих очков:

Из всевозможных сумм выделим те, которые кратны числу 3.

Таких событий всего 12.

4. Теперь можем посчитать вероятность Р(А) по формуле вероятности:

\(Р(А) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\)

б) Чтобы найти все остальные события, также используем сумму всех вероятностей. Пусть выпадение суммы на костях не кратное трем, это событие В, тогда:

\(Р(В) = 1\ –\ Р(А) = 1\ –\ \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)

Ответ: \(\frac{1}{3}\); \(\frac{2}{3}\).

ВЕРОЯТНОСТЬ НЕСКОЛЬКИХ СОБЫТИЙ:

Когда у нас есть вероятность нескольких событий и нам нужно посчитать, какая у них будет общая вероятность, мы используем сложение и умножение вероятностей.

1. Сложение вероятностей:

\(\mathbf{P(A) + P(B)}\)

Если возможно, что произойдет одно ИЛИ другое событие, тогда вероятности этих событий складываются. В примере №3 мы могли вытащить ИЛИ черный шар ИЛИ белый. Вытащить два шара сразу у нас не получится. Такие события называются взаимоисключающие.

Пример №5:

Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-ого размера, равна 0,12, 45-ого – 0,04, 46-ого и больше – 0,01. Какова вероятность, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-ого размера.

1. Может быть куплена только одна из пар обуви не меньше 44-ого размера. То есть 44-ый размер ИЛИ 45 ИЛИ 46 и больше. Тогда вероятности будут складываться:

\(Р(А) = 0,12 + 0,04 + 0,01 = 0,17\)

Ответ: 0,17.

2. Произведение вероятностей:

Если возможно, что произойдет одно И другое событие вместе, тогда вероятности этих событий умножаются. Если бы мы вытягивали шары из одной корзины И из другой одновременно, тогда вероятности вынимания конкретных цветов перемножаются. Такие события называются независимыми, они происходят независимо друг от друга.

\(P\left( A \right) \cdot P(B) = P(AB)\)

Пример №6:

Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудия соответственно равны Р(А) = 0,7; Р(В) = 0,6. Какова вероятность, что стрелок сделает по одному выстрелу из каждого орудия и два раза попадет в цель?

1. Стрелок будет стрелять И из первого орудия И из второго. Тогда вероятности будут перемножаться:

\(Р(С) = Р(А) \bullet Р(В) = 0,7 \bullet 0,6 = 0,42\)

Ответ: 0,42.

ТЕОРЕМЫ, ОБЪЕДИНЯЮЩИЕ ВЕРОЯТНОСТИ НЕСКОЛЬКИХ СОБЫТИЙ:

Стоит отметить разницу между суммами вероятностей взаимоисключающих и независимых событий:

Сумма взаимоисключающих событий:

\(P(A) + P(B)\)

Сумма независимых событий:

\(P(A + B)\)

Теорема №1:

Сумма вероятностей двух событий равна сумме вероятности произведения этих событий и вероятности суммы этих событий.

\(P(A) + P(B) = P(A \cdot B) + P(A + B)\)

Теорема №2:

Вероятность суммы двух независимых событий равна разности суммы вероятностей этих событий и произведения вероятностей этих событий.

\(P\left( A + B \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\ –\ P\left( A \right) \cdot P(B)\)

Пример №7:

Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка по отдельности равна 0,8 и 0,3 соответственно. Найдите вероятность того, что мишень:

а) будет поражена хотя бы один раз;

б) будет поражена ровно один раз.

1. Пусть попадание в мишень первого стрелка – это событие А. Попадание в мишень второго стрелка – событие В. Тогда \(Р(А) = 0,8,\ \ Р(В) = 0,3.\ А\) и В – независимые события.

а) Мишень будет поражена хотя бы один раз, если в цель попадет первый ИЛИ второй стрелок. Значит будем искать сумму вероятностей событий. Т.к. это события независимые, будем искать \(Р(А\ + \ В)\) по т. №2:

\(P(A + B) = P(A) + P(B)\ –\ P(A)P(B) = 0,8 + 0,3\ –\ 0,24 = 1,1\ –\ 0,24 = 0,86\)

б) Мишень будет поражена ровно один раз, если один стрелок попадет в цель, а второй нет. Можем представить это как такую ситуацию:

В мишень попал первый ИЛИ второй стрелок (\(Р(А + В)\) как в пункте а). Но т.к. эта вероятность включает в себя событие, когда в мишень попадают оба стрелка сразу, её нужно исключить, потому что нам нужно ровно одно попадание из двух. Если А и В – независимые события, тогда вероятность, что произойдут оба из этих событий равна \(Р(АВ)\). Получаем:

\(P(A + B)\ –\ P(AB) = 0,86\ –\ 0,24 = 0,62\)

Ответ: 0,86; 0,62.

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

Вероятность