Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Анализ функций
Преобразование графиков функции Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Функция обратной пропорциональности Линейная функция Функция квадратного корня Смысл производной Кусочная функция Графическое применение производной Квадратичная функция Правила дифференцирования Экстремумы Координатная плоскость Интеграл Свойства функций Графики тригонометрических функций Функции
Уравнения
Методы решения уравнений Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения с модулем Линейные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Разложение на множители. Группировка Свойства степеней Показательные выражения и свойства показательной функции Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Многочлены Тригонометрический круг Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии
Планиметрия
Теорема Менелая и теорема Чевы Медиана Квадрат Окружнoсть и круг Подобие фигур Площади четырёхугольников Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Четыре замечательные точки треугольника Площадь круга и сектора круга Многоугольники Средняя линия Простейшие расстояния на плоскости Метод координат на плоскости Комбинации с окружностью Биссектриса Прямоугольник Прямые и углы на плоскости Параллелограммы Скалярное произведение векторов Отношения в геометрии Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Серединный перпендикуляр Треугольники. Площади Ромб Теорема синусов и теорема косинусов Равенство фигур Виды треугольников Высота Элементы планиметрии Симметрия Тригонометрия в геометрии Движения Векторы Трапеция Теорема Пифагора
Стереометрия
Призмы Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды Сечения в многогранниках Теорема о трёх перпендикулярах Сечения в телах вращения Расстояние от прямой до плоскости Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Движения в пространстве Угол между плоскостями Расстояние между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Угол между прямой и плоскостью Тела вращения Двугранный угол Векторы в пространстве Метод координат в пространстве
Формат ЕГЭ
Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на производительность Вероятность Комбинаторика Множества Экономические задачи. Экономические показатели Метод математической индукции Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Геометрическая прогрессия Экономические задачи. Кредиты Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на доли и дроби Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Оптимизация Единицы измерения Сложные проценты Основы математической статистики Прикладные задачи
Числа и действия с ними
НОК и НОД Округление дробей Делимость Координатная прямая Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними

Экстремумы

Тема дифференциалы все усложняется. Сейчас посмотри уже 12 задание, где графическое решение будет только маленьким кусочком решения.

  • Точка экстремума (координата, геопозиция)– значение аргумента (x)

  • Экстремум (насколько высокая гора / низкая впадина) – значение функции (y)

Задание № 12

Найти точку экстремума (x) или экстремум (y).

Найти наибольшее/наименьшее значение функции на \(\lbrack a;b\rbrack.\)

Нахождение минимума/максимума

  1. Находим производную.

  2. Находим точки экстремума (приравниваем производную к нулю и решаем уравнение).

  3. Находим знаки производной между точками экстремума, делаем вывод по знакам.

  4. Для нахождения значения функции подставляем найденный x в функцию.

Проверка значений производной:

  • Подставляем наиболее удобные числа.

  • Проверяем минимальное необходимое количество промежутков.

  • Единственную точку экстремума можно не проверять.

Нахождение наибольшего/наименьшего значения на \(\mathbf{\lbrack a;\ b\rbrack}\)

  1. Находим производную, приравниваем к нулю и находим точки экстремума.

  2. Считаем ИСХОДНУЮ функцию в:

  • Начале промежутка

  • Конце промежутка

  • В экстремумах, лежащих в \(\lbrack a;\ b\rbrack\) (если есть).

  1. Выбираем нужное значение. В ответ – значение ФУКНЦИИ.

Альтернативный способ решения

Если функция \(f\left( x \right)\) всегда возрастает, то наибольшее / наименьшее значение функции \(f(g\left( x \right))\) будет достигаться там же, где и наибольшее / наименьшее значение функции \(g\left( x \right)\).

Всегда возрастающие функции: Всегда убывающие функции:
\(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{x}}\) \(f\left( x \right) = \log_{x}a,\ при\ 0 < a < 1\)
\(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{x}\mathbf{,\ при\ a > 1}\) \(f\left( x \right) = a^{x},\ при\ 0 < a < 1\)
\(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{,\ при\ a > 1}\)

Пример:

Найдите точку минимума функции \(y = x^{3} - 27x + 15\)

Решение:

Найдем производную и приравняем к 0:

\({3x}^{2} - 27 = 0\)

\({3x}^{2} = 27\)

\(x^{2} = 9\)

\(x_{1,2} = \pm 3\)

\(\text{\ x}\)

-3 3

Нас интересует точка минимума, значит выбираем точку, через которую знак с - меняется на +. Выбираем -3

Ответ: -3