Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Стереометрия
Векторы в пространстве Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Тела вращения Двугранный угол Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Призмы Пирамиды Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями
Анализ функций
Экстремумы Квадратичная функция Координатная плоскость Кусочная функция Графическое применение производной Правила дифференцирования Преобразование графиков функции Интеграл Первообразная Графики тригонометрических функций Функции Функция квадратного корня Функция обратной пропорциональности Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Линейная функция Смысл производной
Уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения высших степеней Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Однородные уравнения Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Показательные уравнения Методы решения уравнений Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными
Параметр
Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения
Формулы и выражения
Разложение на множители. Группировка Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Одночлены Свойства степеней Степени Формулы тригонометрии Иррациональные выражения Многочлены Тригонометрический круг
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Планиметрия
Теорема Менелая и теорема Чевы Треугольники. Площади Тригонометрия в геометрии Высота Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Элементы планиметрии Виды треугольников Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Параллелограммы Простейшие расстояния на плоскости Трапеция Равенство фигур Площади четырёхугольников Прямоугольник Комбинации с окружностью Серединный перпендикуляр Скалярное произведение векторов Прямые и углы на плоскости Ромб Подобие фигур Симметрия Многоугольники Средняя линия Четыре замечательные точки треугольника Квадрат Биссектриса Метод координат на плоскости Площадь круга и сектора круга Векторы Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Теорема Пифагора Теорема синусов и теорема косинусов Движения
Реальная математика
Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Диаграммы, графики и таблицы Множества Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Вероятность Единицы измерения Экономические задачи. Ценные бумаги Комбинаторика Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Основы математической статистики Экономические задачи. Вклады Геометрическая прогрессия Прикладные задачи Арифметическая прогрессия
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем
Числа и действия с ними
Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая НОК и НОД Делимость Правила счёта Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними

Экстремумы

Тема дифференциалы все усложняется. Сейчас посмотри уже 12 задание, где графическое решение будет только маленьким кусочком решения.

  • Точка экстремума (координата, геопозиция)– значение аргумента (x)

  • Экстремум (насколько высокая гора / низкая впадина) – значение функции (y)

Задание № 12

Найти точку экстремума (x) или экстремум (y).

Найти наибольшее/наименьшее значение функции на \(\lbrack a;b\rbrack.\)

Нахождение минимума/максимума

  1. Находим производную.

  2. Находим точки экстремума (приравниваем производную к нулю и решаем уравнение).

  3. Находим знаки производной между точками экстремума, делаем вывод по знакам.

  4. Для нахождения значения функции подставляем найденный x в функцию.

Проверка значений производной:

  • Подставляем наиболее удобные числа.

  • Проверяем минимальное необходимое количество промежутков.

  • Единственную точку экстремума можно не проверять.

Нахождение наибольшего/наименьшего значения на \(\mathbf{\lbrack a;\ b\rbrack}\)

  1. Находим производную, приравниваем к нулю и находим точки экстремума.

  2. Считаем ИСХОДНУЮ функцию в:

  • Начале промежутка

  • Конце промежутка

  • В экстремумах, лежащих в \(\lbrack a;\ b\rbrack\) (если есть).

  1. Выбираем нужное значение. В ответ – значение ФУКНЦИИ.

Альтернативный способ решения

Если функция \(f\left( x \right)\) всегда возрастает, то наибольшее / наименьшее значение функции \(f(g\left( x \right))\) будет достигаться там же, где и наибольшее / наименьшее значение функции \(g\left( x \right)\).

Всегда возрастающие функции: Всегда убывающие функции:
\(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{x}}\) \(f\left( x \right) = \log_{x}a,\ при\ 0 < a < 1\)
\(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{x}\mathbf{,\ при\ a > 1}\) \(f\left( x \right) = a^{x},\ при\ 0 < a < 1\)
\(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{,\ при\ a > 1}\)

Пример:

Найдите точку минимума функции \(y = x^{3} - 27x + 15\)

Решение:

Найдем производную и приравняем к 0:

\({3x}^{2} - 27 = 0\)

\({3x}^{2} = 27\)

\(x^{2} = 9\)

\(x_{1,2} = \pm 3\)

\(\text{\ x}\)

-3 3

Нас интересует точка минимума, значит выбираем точку, через которую знак с - меняется на +. Выбираем -3

Ответ: -3