Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Реальная математика
Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Оптимизация Метод математической индукции Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Комбинаторика Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Единицы измерения Сложные проценты Основы математической статистики Вероятность Диаграммы, графики и таблицы Множества Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Кредиты Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств
Формулы и выражения
Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Многочлены Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг
Планиметрия
Равенство фигур Многоугольники Окружнoсть и круг Движения Площади четырёхугольников Комбинации с окружностью Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Отношения в геометрии Теорема Менелая и теорема Чевы Медиана Средняя линия Симметрия Параллелограммы Высота Подобие фигур Четыре замечательные точки треугольника Векторы Серединный перпендикуляр Элементы планиметрии Трапеция Биссектриса Прямоугольник Теорема Пифагора Треугольники. Площади Виды треугольников Тригонометрия в геометрии Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Прямые и углы на плоскости Простейшие расстояния на плоскости Ромб Теорема синусов и теорема косинусов Метод координат на плоскости Площадь круга и сектора круга Скалярное произведение векторов Квадрат
Анализ функций
Квадратичная функция Координатная плоскость Линейная функция Кусочная функция Графическое применение производной Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Функции Правила дифференцирования Смысл производной Преобразование графиков функции Свойства функций Графики тригонометрических функций Экстремумы Функция квадратного корня Интеграл Функция обратной пропорциональности
Уравнения
Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Показательные уравнения Линейные уравнения Однородные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения в целых числах
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Числа и действия с ними
Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Делимость Модуль Десятичные дроби и действия с ними
Стереометрия
Сечения в многогранниках Сечения в телах вращения Призмы Тела вращения Расстояние от точки до плоскости Элементы и аксиомы стереометрии Угол между плоскостями Пирамиды Угол между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Параллельность прямых и плоскостей Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Двугранный угол Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Метод координат в пространстве

Экстремумы

В данной теме разбирается применение производных к исследованию функций. Самые распространенные задачи исследования — это поиск точек экстремума или поиск экстремумов.

  • Точка экстремума (координата, геопозиция)– значение аргумента (x)

  • Экстремум (насколько высокая гора / низкая впадина) – значение функции (y)

Нахождение минимума/максимума

  1. Находим производную.

  2. Находим точки экстремума (приравниваем производную к нулю и решаем уравнение).

  3. Находим знаки производной между точками экстремума, делаем вывод по знакам.

  4. Для нахождения значения функции подставляем найденный x в функцию.

Проверка значений производной:

  • Подставляем наиболее удобные числа.

  • Проверяем минимальное необходимое количество промежутков.

  • Единственную точку экстремума можно не проверять.

Нахождение наибольшего/наименьшего значения на \(\mathbf{\lbrack a;\ b\rbrack}\)

  1. Находим производную, приравниваем к нулю и находим точки экстремума.

  2. Считаем ИСХОДНУЮ функцию в:

  • Начале промежутка

  • Конце промежутка

  • В экстремумах, лежащих в \(\lbrack a;\ b\rbrack\) (если есть).

  1. Выбираем нужное значение. В ответ – значение ФУКНЦИИ.

Альтернативный способ решения

Если функция \(f\left( x \right)\) всегда возрастает, то наибольшее / наименьшее значение функции \(f(g\left( x \right))\) будет достигаться там же, где и наибольшее / наименьшее значение функции \(g\left( x \right)\).

Всегда возрастающие функции: Всегда убывающие функции:
\(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\sqrt{\mathbf{x}}\) \(f\left( x \right) = \log_{x}a,\ при\ 0 < a < 1\)
\(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\mathbf{\log}_{\mathbf{a}}\mathbf{x}\mathbf{,\ при\ a > 1}\) \(f\left( x \right) = a^{x},\ при\ 0 < a < 1\)
\(\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{x}}\mathbf{,\ при\ a > 1}\)

Пример:

Найдите точку минимума функции \(y = x^{3} - 27x + 15\)

Решение:

\({3x}^{2} - 27 = 0\)

\({3x}^{2} = 27\)

\(x^{2} = 9\)

\(x_{1,2} = \pm 3\)

Изображение выглядит как линия Автоматически созданное описание

Нас интересует точка минимума, значит выбираем точку, через которую знак с - меняется на +. Выбираем -3

Ответ: -3