Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Анализ функций
Правила дифференцирования Координатная плоскость Функция квадратного корня Кусочная функция Свойства функций Функции Линейная функция Преобразование графиков функции Интеграл Графики тригонометрических функций Графическое применение производной Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Экстремумы Квадратичная функция Смысл производной
Реальная математика
Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Оптимизация Введение в текстовые задачи Единицы измерения Сложные проценты Множества Основы комбинаторики Комбинаторика Прикладные задачи Текстовые задачи на производительность Основы математической статистики Текстовые задачи на движение по окружности Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Кредиты Геометрическая прогрессия
Уравнения
Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Системы и совокупности уравнений с одной переменной Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Иррациональные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения высших степеней Однородные уравнения Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Уравнения с модулем
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Неравенства
Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства
Числа и действия с ними
НОК и НОД Модуль Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Обыкновенные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Свойства степеней Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Многочлены Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Тригонометрический круг Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Стереометрия
Пирамиды Векторы в пространстве Расстояние от точки до плоскости Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Тела вращения Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол Сечения в многогранниках Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между плоскостями Метод координат в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Призмы
Формат ЕГЭ
Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ
Планиметрия
Параллелограммы Теорема Менелая и теорема Чевы Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Площадь круга и сектора круга Теорема синусов и теорема косинусов Движения Многоугольники Средняя линия Теорема Пифагора Элементы планиметрии Ромб Равенство фигур Площади четырёхугольников Медиана Квадрат Виды треугольников Высота Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Трапеция Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Окружнoсть и круг Симметрия Метод координат на плоскости Подобие фигур Комбинации с окружностью Прямые и углы на плоскости Скалярное произведение векторов Отношения в геометрии Треугольники. Площади Простейшие расстояния на плоскости Биссектриса Тригонометрия в геометрии Векторы Серединный перпендикуляр

Соотношение между сторонами и углами в треугольнике

Свойства треугольника:

1. Сумма углов в треугольнике равна \(\alpha + \beta + \gamma = 180{^\circ}.\)

2. Против большей стороны находится больший угол (против меньшего угла находится меньшая сторона). Отсюда следует, что если \(a\ < b < c\), то \(\alpha < \beta < \gamma\) и наоборот.

Например, существует следующий треугольник с углами 23⁰, 34⁰ и 123⁰ (градусные меры углов указаны в округленном до целого значения виде):

Определим, где расположены эти углы:

\(7 < 10 < 15\)

Значит углы, расположенные напротив этих сторон так же расположены в порядке возрастания:

\({\alpha < \beta < \gamma }{23⁰ < 34⁰ < 123⁰}\)

Следовательно, \(\alpha = 23^{0},\ \ \beta = 34^{0},\ \gamma = 123\)⁰.

3. Для любого треугольника выполняется неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны:

\(a + b > c.\ \)

Если это неравенство не выполняется – треугольник не существует.

\({6 + 9 > 12 }{9 + 12 > 6 }{6 + 12 > 9 }\)

Отношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а. Проведем в этом треугольнике высоту ВН. В треугольнике АВС она будет являться и биссектрисой, и медианой.

Известно, что в равностороннем треугольнике все стороны и углы равны между собой. Тогда каждый угол равен:

\(\angle А = \angle В = \angle С = \frac{180{^\circ}}{3} = 60⁰\)

Рассмотрим треугольник ВНС. Угол \(С = 60⁰,\) угол \(Н = 90⁰\), а угол \(В = 30⁰\), т.к. ВН является биссектрисой.

Т.к. ВН является медианой, то сторона \(НС\ = \frac{АС}{2}\ = \frac{а}{2}\).

ВС – гипотенуза треугольника ВНС, а НС – катет, лежащий против угла в 30⁰.

Отсюда следует свойство катета, лежащего против угла 30⁰:

Катет, лежащий против угла 30⁰, равен половине гипотенузы.

Против большего угла лежит большая сторона треугольника. В прямоугольном треугольнике наибольшим будет угол = 90⁰, следовательно, наибольшей стороной является гипотенуза.