Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Стереометрия
Метод координат в пространстве Движения в пространстве Угол между плоскостями Призмы Параллельность прямых и плоскостей Тела вращения Двугранный угол Векторы в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Угол между прямой и плоскостью Пирамиды Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Сечения в многогранниках Элементы и аксиомы стереометрии
Анализ функций
Линейная функция Кусочная функция Интеграл Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Графики тригонометрических функций Преобразование графиков функции Свойства функций Функции Координатная плоскость Смысл производной Функция квадратного корня Графическое применение производной Экстремумы Квадратичная функция Правила дифференцирования
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Формат ЕГЭ
Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ
Планиметрия
Прямоугольник Векторы Симметрия Виды треугольников Движения Площади четырёхугольников Четыре замечательные точки треугольника Квадрат Теорема Пифагора Ромб Серединный перпендикуляр Скалярное произведение векторов Отношения в геометрии Треугольники. Площади Подобие фигур Теорема Менелая и теорема Чевы Прямые и углы на плоскости Окружнoсть и круг Простейшие расстояния на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Метод координат на плоскости Равенство фигур Комбинации с окружностью Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Элементы планиметрии Трапеция Высота Тригонометрия в геометрии Многоугольники Биссектриса Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Площадь круга и сектора круга Медиана Средняя линия Параллелограммы
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по окружности Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Вероятность Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Экономические задачи. Вклады Комбинаторика Сложные проценты Метод математической индукции Текстовые задачи на производительность Основы математической статистики Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на сплавы и смеси Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на отношения Диаграммы, графики и таблицы Множества Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Экономические показатели Введение в текстовые задачи Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Ценные бумаги
Уравнения
Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Методы решения уравнений Однородные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы и совокупности уравнений с одной переменной Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Линейные уравнения Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней
Неравенства
Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства
Числа и действия с ними
Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними НОК и НОД Делимость Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Округление дробей Модуль Десятичные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Разложение на множители. Группировка Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Многочлены Тригонометрический круг Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции

Соотношение между сторонами и углами в треугольнике

Свойства треугольника:

1. Сумма углов в треугольнике равна \(\alpha + \beta + \gamma = 180{^\circ}.\)

2. Против большей стороны находится больший угол (против меньшего угла находится меньшая сторона). Отсюда следует, что если \(a\ < b < c\), то \(\alpha < \beta < \gamma\) и наоборот.

Например, существует следующий треугольник с углами 23⁰, 34⁰ и 123⁰ (градусные меры углов указаны в округленном до целого значения виде):

Определим, где расположены эти углы:

\(7 < 10 < 15\)

Значит углы, расположенные напротив этих сторон так же расположены в порядке возрастания:

\({\alpha < \beta < \gamma }{23⁰ < 34⁰ < 123⁰}\)

Следовательно, \(\alpha = 23^{0},\ \ \beta = 34^{0},\ \gamma = 123\)⁰.

3. Для любого треугольника выполняется неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны:

\(a + b > c.\ \)

Если это неравенство не выполняется – треугольник не существует.

\({6 + 9 > 12 }{9 + 12 > 6 }{6 + 12 > 9 }\)

Отношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а. Проведем в этом треугольнике высоту ВН. В треугольнике АВС она будет являться и биссектрисой, и медианой.

Известно, что в равностороннем треугольнике все стороны и углы равны между собой. Тогда каждый угол равен:

\(\angle А = \angle В = \angle С = \frac{180{^\circ}}{3} = 60⁰\)

Рассмотрим треугольник ВНС. Угол \(С = 60⁰,\) угол \(Н = 90⁰\), а угол \(В = 30⁰\), т.к. ВН является биссектрисой.

Т.к. ВН является медианой, то сторона \(НС\ = \frac{АС}{2}\ = \frac{а}{2}\).

ВС – гипотенуза треугольника ВНС, а НС – катет, лежащий против угла в 30⁰.

Отсюда следует свойство катета, лежащего против угла 30⁰:

Катет, лежащий против угла 30⁰, равен половине гипотенузы.

Против большего угла лежит большая сторона треугольника. В прямоугольном треугольнике наибольшим будет угол = 90⁰, следовательно, наибольшей стороной является гипотенуза.