Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.
Графики тригонометрических функций
Рассмотрим графики и свойства тригонометрических функций и обратных им.
СИНУС:
Графиком этой функции является синусоида.
ХАРАКТЕРИСТИКИ СИНУСА:
| 1. Область определения: | \(D(y\mathbb{) = R}\) |
|---|---|
| 2. Область значения: | \(E(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\) |
| 3. Ограниченность и непрерывность: | Ограничена сверху и снизу; непрерывна |
| 4. Наибольшее и наименьшее значение функции: | \(y_{наиб.}\) при: \(x \in \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\) \(y_{наим.}\) при: \(x \in \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\) |
| 5. Промежутки знакопостоянства: | \(y\ > \ 0\) при: \(x \in (0;\ \pi) + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\) \(y\ < \ 0\) при: \(x \in (\pi;2\pi) + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\) |
| 6. Монотонность: | Возрастает при: \(x \in \left( –\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right) + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\) Убывает при: \(x \in \left( \frac{\pi}{2};\ \frac{3\pi}{2} \right) + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\) |
| 7. Экстремумы: | \(y_{\max}\) при: \(x \in \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\) \(y_{\min}\) при: \(x \in \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\) |
| 8. Четность: | Нечетная |
| 9. Периодичность: | \(Период = 2\pi\) |
| 10. Пересекает ось Ох | В точках \(x = \text{πk},\ k \in \mathbb{Z}\) |
| 11. Пересекает ось Оу | В точке (\(0;0)\) |
КОСИНУС:
Графиком этой функции является косинусоида.
ХАРАКТЕРИСТИКИ КОСИНУСА:
| 1. Область определения: | \(D(y\mathbb{) = R}\) |
|---|---|
| 2. Область значения: | \(E(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\) |
| 3. Ограниченность и непрерывность: | Ограничена сверху и снизу; непрерывна |
| 4. Наибольшее и наименьшее значение функции: | \(y_{наиб.}\ \)при: \(x \in 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\) \(y_{наим.}\) при: \(x \in \pi + \pi k\), k\(\in\)ℤ |
| 5. Промежутки знакопостоянства: | \(y > 0\) при: \(x \in (–\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}) + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\) \(y < 0\) при: \(x \in (\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}) + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\) |
| 6. Монотонность: | Возрастает при: \(x \in (\pi;\ 2\pi) + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\) Убывает при: \(x \in \left( 0;\pi \right) + 2\pi k,\ \ k \in \mathbb{Z}\) |
| 7. Экстремумы: | \(y_{\max}\) при: \(x \in 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\) \(y_{\min}\) при: \(x \in \pi + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\) |
| 8. Четность: | Четная |
| 9. Периодичность: | \(Период\ = \ 2\pi\) |
| 10. Пересекает ось Ох | В точках \(x\ = \ \frac{\pi}{2} + \ \text{πk},\ k \in \mathbb{Z}\) |
| 11. Пересекает ось Оу | В точке \((0;1)\) |
ТАНГЕНС:
ХАРАКТЕРИСТИКИ ТАНГЕНСА:
| 1. Область определения: | \(D(y):\ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k,\ k\mathbb{\in Z}\) |
|---|---|
| 2. Область значения: | \(E(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\) |
| 3. Ограниченность и непрерывность: | Неограничена; Имеет асимптоты точках \(\ x = \frac{\pi}{2} + \text{πk},\ k\mathbb{\in Z}\) |
| 4. Наибольшее и наименьшее значение функции: | Нет |
| 5. Промежутки знакопостоянства: | \(y > 0\ \)при: \(x \in (0;\frac{\pi}{2}) + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\) \(y < 0\) при: \(x \in (–\frac{\pi}{2};\ 0) + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\) |
| 6. Монотонность: | Возрастает между всеми асимптотами |
| 7. Экстремумы: | нет |
| 8. Четность: | Нечетная |
| 9. Периодичность: | \(Период\ = \ \pi\) |
| 10. Пересекает ось Ох | В точках \(x = \text{πk},\ k \in \mathbb{Z}\) |
| 11. Пересекает ось Оу | В точке \((0;0)\) |
КОТАНГЕНС:
ХАРАКТЕРИСТИКИ КОТАНГЕНСА:
| 1. Область определения: | \(D(y):\ x \neq \pi k,\ k\mathbb{\in Z}\) |
|---|---|
| 2. Область значения: | \(E(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\) |
| 3. Ограниченность и непрерывность: | Неограничена; Имеет асимптоты в точках \(\ x = \text{πk},\ k\mathbb{\in Z}\) |
| 4. Наибольшее и наименьшее значение функции: | Нет |
| 5. Промежутки знакопостоянства: | \(y\ > \ 0\) при: \(x \in (0;\frac{\pi}{2}) + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\) \(y\ < \ 0\) при: \(x \in (\frac{\pi}{2};\pi) + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\) |
| 4. Монотонность: | Убывает между всеми асимптотами |
| 7. Экстремумы: | нет |
| 5. Четность: | Нечетная |
| 6. Периодичность: | \(Период = \pi\) |
| 7. Пересекает ось Ох | В точках \(\ x = \frac{\pi}{2} + \text{πk},\ k\mathbb{\in Z}\) |
| 8. Пересекает ось Оу | Не пересекает ось |
АРКСИНУС:
ХАРАКТЕРИСТИКИ АРКСИНУСА:
| 1. Область определения: | \(D(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\) |
|---|---|
| 2. Область значения: | \(E(y) = \left\lbrack –\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack\) |
| 3. Ограниченность и непрерывность: | Ограничена со всех сторон; непрерывна |
| 4. Наибольшее и наименьшее значение функции: | \(y_{наиб.}\) при: \(x = 1\) \(y_{наим.}\) при: \(x = \ –1\) |
| 5. Промежутки знакопостоянства: | \(y > 0\) при: \(x \in (0;1)\) \(y < 0\) при: \(x \in (–1;0)\ \) |
| 6. Монотонность: | Возрастает |
| 7. Экстремумы: | нет |
| 8. Четность: | Нечетная |
| 9. Периодичность: | Не периодична |
| 10. Пересекает ось Ох | В точке\(\ (0;0)\) |
| 11. Пересекает ось Оу | В точке \((0;0)\) |
АРККОСИНУС:
ХАРАКТЕРИСТИКИ АРККОСИНУСА:
| 1. Область определения: | \(D(y) = \lbrack–1;\ 1\rbrack\) |
|---|---|
| 2. Область значения: | \(E(y) = (0;\ \pi)\) |
| 3. Ограниченность и непрерывность: | Ограничена со всех сторон |
| 4. Наибольшее и наименьшее значение функции: | \(y_{наиб.\ }\) при: \(x = \ –1\) \(y_{наим.}\) при: \(x = 1\) |
| 5. Промежутки знакопостоянства: | \(y > 0\) при: \(x \in (–1;1)\) |
| 6. Монотонность: | Убывает |
| 7. Экстремумы: | нет |
| 8. Четность: | Ни четная, ни нечетная |
| 9. Периодичность: | Не периодична |
| 10. Пересекает ось Ох | В точке \((1;0)\) |
| 11. Пересекает ось Оу | В точке \((0;\frac{\pi}{2})\) |
АРКТАНГЕНС:
ХАРАКТЕРИСТИКИ АРКТАНГЕНСА:
| 1. Область определения: | \(D(y):\ \mathbb{R}\) |
|---|---|
| 2. Область значения: | \(E(y) = \left\lbrack –\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right\rbrack\) |
| 3. Ограниченность и непрерывность: | Ограничена сверху и снизу; непрерывна |
| 4. Наибольшее и наименьшее значение функции: | Нет |
| 5. Промежутки знакопостоянства: | \(y > 0\ \)при: \(x \in (0; + \infty)\) \(y < 0\) при: \(x \in (–\infty;0)\ \) |
| 6. Монотонность: | Возрастает |
| 7. Экстремумы: | нет |
| 8. Четность: | Нечетная |
| 9. Периодичность: | Не периодична |
| 10. Пересекает ось Ох | В точке \((0;0)\) |
| 11. Пересекает ось Оу | В точке \((0;0)\) |
АРККОТАНГЕНС:
ХАРАКТЕРИСТИКИ АРККОТАНГЕНСА:
| 1. Область определения: | \(D(y):\ \mathbb{R}\) |
|---|---|
| 2. Область значения: | \(E(y) = (0;\ \pi)\) |
| 3. Ограниченность и непрерывность: | Ограничена сверху и снизу; непрерывна |
| 4. Наибольшее и наименьшее значение функции: | Нет |
| 5. Промежутки знакопостоянства: | \(y > 0\) при: \(x \in \mathbb{R}\) |
| 6. Монотонность: | Убывает |
| 7. Экстремумы: | нет |
| 8. Четность: | Ни четная, ни нечетная |
| 9. Периодичность: | Не периодична |
| 10. Пересекает ось Ох | Не пересекает ось |
| 11. Пересекает ось Оу | В точке \((0;\ \frac{\pi}{2})\) |