Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.
Уравнения целых чисел
Также такие уравнения называются диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который изучал такие уравнения еще до нашей эры.
При решении уравнений в целых и натуральных числах можно выделить следующие способы.
1 способ. Метод перебора вариантов.
Решим уравнение \(\left( x - 2 \right)\left( y + 3 \right) = 4\) в целых числах.
Так как x и у целые числа, совершим перебор вариантов:
\(x - 2 = 1;y + 3 = 4\) \(\rightarrow x = 3;y = 1\)
\(x - 2 = 4;y + 3 = 1\) \(\rightarrow x = 6;y = - 2\)
\(x - 2 = - 1;y + 3 = - 4\) \(\rightarrow x = 1;y = - 7\)
\(x - 2 = - 4;y + 3 = - 1\) \(\rightarrow x = - 2;y = - 4\)
\(x - 2 = 2;y + 3 = 2\) \(\rightarrow x = 4;y = - 1\)
\(x - 2 = - 2;y + 3 = - 2\) \(\rightarrow x = 0;y = - 5\)
Ответ: (3; 1), (6; -2), (1; -7), (-2; -4), (4; -1), (0; -5).
Решим уравнение \(10x\ + \ 10y\ = \ 2019\) в целых числах.
Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: решений нет.
Пусть нужно решить уравнение в целых числах: \(5x + 4y = 22\).
Методом перебора находим решение \(x_{1} = 2;y_{1} = 3\).
Получаем систему уравнений:
\(\left\{ \begin{matrix} 5x + 4y = 22 \\ 5 \bullet 2 + 4 \bullet 3 = 22 \\ \end{matrix} \right.\ \ \)
\(5\left( x - 2 \right) + 4\left( y - 3 \right) = 0\)
\(5\left( x - 2 \right) = - 4\left( y - 3 \right)\)
\(x - 2 = \frac{- 4\left( y - 3 \right)}{5}\)
Из полученного равенства видно, что число \((x - 2)\) будет целым тогда и только тогда, когда \((y - 3)\) делится на 5, т.е. \(y - 3 = 5n\), где n какое-нибудь целое число.
Имеем:
\(y = 3 + 5n\)
\(x - 2 = - 4 \bullet \frac{5n}{5} = - 4n\)
\(x = 2 - 4n\)
Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:
(\(2 - 4n;3 + 5n)\), где \(n \in Z\).
Ответ: (\(2 - 4n;3 + 5n)\), где \(n \in Z\).
2 способ. Алгоритм Евклида
Пусть нужно решить уравнение в целых числах: \(5x + 7y = 6\).
Сделаем это с помощью Алгоритма Евклида. Ищем НОД чисел 5 и 7 с помощью него:
\(НОД\ (5,\ 7) = НОД\ (5,\ 7 - 5) = НОД\ (5,\ 2) = НОД\ (5\ - \ 2 \bullet 2,\ 2) = НОД\ (1,\ 2) = 1\)
Запишем этот процесс в обратном порядке:
\(1 = 2 - 1 = 2 - \left( 5 - 2 \bullet 2 \right) = 2 \bullet 3 - 5 \bullet 1 = \left( 7 - 5 \right) \bullet 3 - 5 \bullet 1 = 7 \bullet 3 - 5 \bullet 4\)
То есть:
\(1 = 5 \bullet \left( - 4 \right) + 7 \bullet 3\)
Тогда:
\(1 \bullet 6 = 5 \bullet \left( - 4 \right) \bullet 6 + 7 \bullet 3 \bullet 6\)
\(6 = 5 \bullet \left( - 24 \right) + 7 \bullet 18\)
\(6 = 5x + 7y\)
Тогда \(x = - 24\) и \(y = 18\) является решением уравнения.
Общее решение записывается в виде:
\(x = - 24 + 7n;y = 18 + 5n\), где n – любое целое число.
Выполним проверку:
\(5\left( - 24 + 7n \right) + 7\left( 18 + 5n \right) = 6\)
\(- 120 + 35n + 126 + 35n = 6\)
\(70n = 0\)
\(n\) – любое целое.
Верно.
Это не всевозможные способы решения. Зачастую для решения диофантовых уравнений требуются более тонкие рассуждения, связанные с делимостью, перебором остатков, оценками частей уравнения, тождественными преобразованиями и т.п.
Решим уравнение:
\(3^{x} + 4^{y} = 5^{z}\)
Разложить на множители и выразить переменную мы здесь не можем. Воспользуемся методом перебора остатков.
Если левая часть уравнения в целых числах кратна какому-то числу, то и другая обязательно должна быть кратна этому же числу. Отсюда следует, что и остатки от деления обеих частей уравнения на одно и то же число будут давать одинаковые остатки.
Будем делать выводы о делимости одной части уравнения на какое-либо число (или смотреть, какой остаток от деления при этом получается) и проверять, при каких значениях переменных вторая часть уравнения также делится на это число (либо даёт такой же остаток).
Левая часть кратна 5. И остатки от деления на 5 у обеих частей также будут равны.
Про пятёрку уже сказали, что правая часть делится на неё без остатка, значит и левая тоже должна делиться.
Рассмотрим остатки от деления на 4.
| z | \(5^{z}\) | Остаток при делении на 4 |
|---|---|---|
| 1 | 5 | 1 |
| 2 | 25 | 1 |
| 3 | 125 | 1 |
| 4 | 625 | 1 |
Видим простую закономерность, что 5 в любой степени при делении на 4 будет давать остаток 1.
Теперь левая часть: \(4^{у}\) будет делиться на 4 без остатка.
Рассмотрим остатки от деления на 4 числа \(\ 3^{x}\).
| х | \(3^{x}\) | Остаток при делении на 4 |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 9 | 1 |
| 3 | 27 | 3 |
| 4 | 81 | 1 |
| 5 | 243 | 3 |
И так далее. Закономерность: при чётных х остаток 1, при нечётных остаток 3.
Отсюда делаем вывод, что х - число чётное, значит, мы можем представить его как х=2n.
Теперь рассмотрим остатки при делении обеих частей на 3.
Правая часть:
| z | \(5^{z}\) | Остаток при делении на 3 |
|---|---|---|
| 1 | 5 | 2 |
| 2 | 25 | 1 |
| 3 | 125 | 2 |
| 4 | 625 | 1 |
И так далее. Видим закономерность, что при чётных z остаток равен 1, при нечетных z остаток равен 2.
Рассмотрим левую часть. Число \(3^{x}\) даёт остаток 0 при делении на 3.
Рассмотрим остатки от деления на 3 числа\(\ 4^{y}\):
| y | \(4^{y}\) | Остаток при делении на 3 |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 1 |
| 2 | 16 | 1 |
| 3 | 64 | 1 |
| 4 | 256 | 1 |
| 5 | 1024 | 1 |
Получается, что левая часть при делении на 3 может давать только остаток 1. Значит, и правая тоже. Это происходит при чётных z.
Вернёмся к нашему уравнению \(3^{x} + 4^{y} = 5^{z}\) .
Рассмотрев все остатки от деления, мы делаем выводы, что х и z - чётные числа. Тогда х=2n, z=2m, где m, n натуральные. Подставим в уравнение:
\(3^{2n} + 4^{y} = 5^{2m}\) , заметим также, что\(\ 4^{y} = 2^{2y}\)
Теперь мы можем разложить на множители, используя формулу разности квадратов:
\(2^{2у}\ = \ 5^{2m}\ - \ 3^{2n}\ \)
\(\left( 5^{m}\ - \ 3^{n} \right)\left( 5^{m}\ + \ 3^{n} \right) = \ 2^{2у}\). Получается, что обе скобки должны быть степенями двойки. Мы не можем сделать никаких обоснованных выводов. Наша группировка неудачная. Попробуем иначе:
\(5^{2m}\ - \ 2^{2у}\ = \ 3^{2n}\ \)
\((5^{m}\ - \ 2^{у})\ (5^{m}\ + \ 2^{у})\ = \ 3^{2n}\)
Теперь у нас обе скобки являются произведением троек. Рассмотрим такую ситуацию,
\(а \bullet b = 3^{2n}\), это означает, что и а, и b кратны 3. Либо одно из чисел кратно 3, а другое равно 1.
Рассмотрим случай, когда и а, и b кратны трём. Вспомним основные свойства делимости.
Ключевым признаком здесь будет второй: в нашем случае разность a-b также будет делиться на 3.
Рассмотрим разность скобок:
\(5^{m} + 2^{y} - \left( 5^{m} - 2^{y} \right) = 2 \bullet 2^{y}\) — это число никогда не будет кратно 3. Значит, в нашем произведении один из множителей равен 1, а другой равен 32n. Так как \(5^{m} + 2^{y} > 1\),
\(5^{m} - 2^{y} = 1\), \(5^{m} + 2^{y}\) \(= \ 3^{2n}\).
Итак, мы с вами уже решаем немного другое уравнение, с переменными m и n, которые зависят от х и у. И пришли к выводу, что \(5^{m} - 2^{y} = 1\).
Рассмотрим степени пятёрки и двойки:
| m | \(5^{m}\) | y | \(2^{y}\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 5 | 1 | 2 |
| 2 | 25 | 2 | 4 |
| 3 | 125 | 3 | 8 |
Эта таблица показывает, что \(5^{m} - 2^{y} = 1\) только в одном случае при \(m = 1,\ y = 2\). При их увеличении разница между \(5^{m}\) и \(2^{у}\) будет всё больше, поэтому это единственное решение.
Тогда \(z = 2m = 2,\ x = 2.\)
Ответ: (2, 2, 2)