Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Движения


ОТОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ НА СЕБЯ

Отображение – понятие в математике, схожее с функцией. С разницей в том, что применяется не к числам, а к геометрическим точкам.

Например, плоскость α отображается на плоскость β, если каждой точке плоскости α соответствует единственная точка плоскости β (то же определение функции, только вместо чисел – точки, а вместо множеств – плоскости, состоящие их этих точек):

Если каждой точке, лежащей на плоскости, соответствует единственная точка на этой же плоскости, такое отображение называется отображением плоскости на себя или наложение:

Таким образом можно сказать, что любая симметрия – это частный случай наложения. Каждая симметрия имеет определенную закономерность в зависимости от вида, например, точки могут отражаться симметрично относительно прямой (осевая симметрия) или симметрично относительно точки (центральная симметрия).

ДВИЖЕНИЕ

Если на плоскости существует несколько точек и они отображаются на эту же плоскость, сохраняя расстояние между этими точками, тогда такое отображение называется движением. Например:

Точки a и b отображаются на плоскость α как a1 и b1 так, что расстояние между исходными точками равно расстоянию между отображенными:

\(AB = A_{1}B_{1}\)

Получается, что движение – это наложение, при котором сохраняется расстояние между точками. В таком случае точка отображается на точку, при этом если точек несколько, то расстояние между ними сохраняется, тогда любая фигура отображается на равную себе же при движении.

Луч отображается в равный луч, отрезок в равный отрезок, треугольник в равный треугольник.

При определении треугольников как равных используют утверждение, что «равные треугольники при наложении совпадают», что следует из определения наложения.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

Параллельный перенос – это движение, при котором сохраняется расстояние между точками, при этом каждый отображенный отрезок параллелен исходному.

Мы используем параллельный перенос для совершения арифметических действий с векторами, чтобы сохранить их длину и направление. Мы как бы поднимаем вектор и не вращая его, переносим в определённую точку:

ПОВОРОТ

Поворот – это движение, при котором сохраняется расстояние между точками, при этом каждый отображенный отрезок не параллелен исходному.

Например, если бы мы отобразили отрезок так, как будто это тот же отрезок, просто «повернутый» на плоскости:

Отрезок \(\text{AB}\) отобразился в \(AB_{1}\), таким образом, что отрезок \(AB_{1}\) – это поворот отрезка \(\text{AB}\) на угол α.