Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Формулы и выражения
Тригонометрический круг Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Одночлены Многочлены Свойства степеней Степени Формулы тригонометрии Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения
Планиметрия
Элементы планиметрии Виды треугольников Тригонометрия в геометрии Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Средняя линия Теорема Пифагора Треугольники. Площади Простейшие расстояния на плоскости Квадрат Прямые и углы на плоскости Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса Подобие фигур Окружнoсть и круг Симметрия Скалярное произведение векторов Метод координат на плоскости Комбинации с окружностью Серединный перпендикуляр Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Векторы Отношения в геометрии Трапеция Движения Площади четырёхугольников Равенство фигур Теорема Менелая и теорема Чевы Площадь круга и сектора круга Медиана Многоугольники Параллелограммы Ромб Высота
Уравнения
Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы и совокупности уравнений с одной переменной Методы решения уравнений Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Логарифмические уравнения Уравнения с модулем Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства
Числа и действия с ними
Модуль Координатная прямая Округление дробей Делимость Правила счёта Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Смешанные дроби и действия с ними
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Стереометрия
Перпендикулярность прямых и плоскостей Метод координат в пространстве Двугранный угол Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Теорема о трёх перпендикулярах Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Призмы Пирамиды Параллельность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Расстояние от точки до плоскости Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Тела вращения Векторы в пространстве
Анализ функций
Экстремумы Кусочная функция Линейная функция Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Свойства функций Первообразная Функции Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной Квадратичная функция Смысл производной Правила дифференцирования Координатная плоскость Интеграл Взаимное расположение графиков линейной функции Графики тригонометрических функций
Реальная математика
Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на доли и дроби Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Ценные бумаги Множества Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Вероятность Сложные проценты Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Метод математической индукции Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на производительность Комбинаторика Основы математической статистики Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Прикладные задачи

Движения


ОТОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ НА СЕБЯ

Отображение – понятие в математике, схожее с функцией. С разницей в том, что применяется не к числам, а к геометрическим точкам.

Например, плоскость α отображается на плоскость β, если каждой точке плоскости α соответствует единственная точка плоскости β (то же определение функции, только вместо чисел – точки, а вместо множеств – плоскости, состоящие их этих точек):

Если каждой точке, лежащей на плоскости, соответствует единственная точка на этой же плоскости, такое отображение называется отображением плоскости на себя или наложение:

Таким образом можно сказать, что любая симметрия – это частный случай наложения. Каждая симметрия имеет определенную закономерность в зависимости от вида, например, точки могут отражаться симметрично относительно прямой (осевая симметрия) или симметрично относительно точки (центральная симметрия).

ДВИЖЕНИЕ

Если на плоскости существует несколько точек и они отображаются на эту же плоскость, сохраняя расстояние между этими точками, тогда такое отображение называется движением. Например:

Точки a и b отображаются на плоскость α как a1 и b1 так, что расстояние между исходными точками равно расстоянию между отображенными:

\(AB = A_{1}B_{1}\)

Получается, что движение – это наложение, при котором сохраняется расстояние между точками. В таком случае точка отображается на точку, при этом если точек несколько, то расстояние между ними сохраняется, тогда любая фигура отображается на равную себе же при движении.

Луч отображается в равный луч, отрезок в равный отрезок, треугольник в равный треугольник.

При определении треугольников как равных используют утверждение, что «равные треугольники при наложении совпадают», что следует из определения наложения.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС

Параллельный перенос – это движение, при котором сохраняется расстояние между точками, при этом каждый отображенный отрезок параллелен исходному.

Мы используем параллельный перенос для совершения арифметических действий с векторами, чтобы сохранить их длину и направление. Мы как бы поднимаем вектор и не вращая его, переносим в определённую точку:

ПОВОРОТ

Поворот – это движение, при котором сохраняется расстояние между точками, при этом каждый отображенный отрезок не параллелен исходному.

Например, если бы мы отобразили отрезок так, как будто это тот же отрезок, просто «повернутый» на плоскости:

Отрезок \(\text{AB}\) отобразился в \(AB_{1}\), таким образом, что отрезок \(AB_{1}\) – это поворот отрезка \(\text{AB}\) на угол α.