Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций

Данный метод отбора корней при решении тригонометрических уравнений позволяет наглядно определить подходящие углы без наложений друг на друга периодов (как это случается при работе с тригокругом), однако такой метод предполагает хорошие навыки работы с графиками тригофункций. Также при отборе корней этим методом нам не нужно разделять ответы на серии, достаточно посмотреть на этап решения уравнения, когда тригофункция равна числу, например \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ ТРИГОФУНКЦИЙ

  1. Рисуем соответствующий график тригонометрической функции.

  2. Проводим прямые \(y = a\), параллельные оси Ox, где \(a\) – число, которому равна тригофункция.

  3. Отмечаем на графике промежуток, в котором нужно найти углы.

  4. Находим пересечение прямой \(y = a\) с графиком в точках, которые попадают в отмеченный промежуток. Записываем углы, которые им соответствуют – это будут значения из абсцисс.

Пример №1:

Найдите все корни уравнения

\(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

принадлежащих промежутку \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\).

  1. Нам дано уравнение \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) , тогда построим график функции \(y = \sin x\):

  1. Проведем прямую \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}:\)

  1. Выделим часть графика, попадающий в промежуток \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\):

  1. Нужно отметить точки пересечения прямой с графиком, которые попадают в промежуток \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\).

Таким образом видим две точки, абсциссы которых соответственно равны \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{2\pi}{3}\). Запишем ответ.

Ответ: \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{2\pi}{3}\).

Пример №2:

Найдите все корни уравнения

\(tg\ x = - 1\)

принадлежащих промежутку \(\left\lbrack - \frac{\pi}{2},\ \pi \right\rbrack\).

  1. Нам дано уравнение \(tg\ x = - 1\) , тогда построим график функции \(y = \text{tg\ x}\):

  1. Проведем прямую \(y = - 1\):

  1. Выделим часть графика, попадающий в промежуток \(\left\lbrack - \frac{\pi}{2},\ \pi \right\rbrack\):

  1. Нужно отметить точки пересечения прямой с графиком, которые попадают в промежуток \(\left\lbrack - \frac{\pi}{2},\ \pi \right\rbrack\).

Таким образом видим две точки, абсциссы которых соответственно равны \(- \frac{\pi}{4}\) и \(\frac{\pi}{4}\). Запишем ответ.

Ответ: \(\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\).