Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от прямой до плоскости Угол между плоскостями Призмы Двугранный угол Пирамиды Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Перпендикулярность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Тела вращения Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Расстояние от точки до плоскости Движения в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Параллельность прямых и плоскостей
Реальная математика
Единицы измерения Комбинаторика Основы математической статистики Прикладные задачи Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Оптимизация Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Экономические задачи. Вклады Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Сложные проценты Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на отношения Вероятность Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Кредиты Множества Текстовые задачи на доли и дроби
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Одночлены Многочлены Свойства степеней Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг Степени
Формат ЕГЭ
Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ
Планиметрия
Серединный перпендикуляр Элементы планиметрии Прямоугольник Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Пифагора Теорема синусов и теорема косинусов Тригонометрия в геометрии Движения Виды треугольников Четыре замечательные точки треугольника Отношения в геометрии Теорема Менелая и теорема Чевы Прямые и углы на плоскости Высота Площадь круга и сектора круга Векторы Биссектриса Скалярное произведение векторов Комбинации с окружностью Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Квадрат Средняя линия Простейшие расстояния на плоскости Подобие фигур Равенство фигур Метод координат на плоскости Площади четырёхугольников Многоугольники Окружнoсть и круг Треугольники. Площади Трапеция Параллелограммы Ромб Симметрия
Анализ функций
Квадратичная функция Линейная функция Преобразование графиков функции Графики тригонометрических функций Функции Функция квадратного корня Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Первообразная Правила дифференцирования Свойства функций Экстремумы Координатная плоскость Интеграл Графическое применение производной Взаимное расположение графиков линейной функции Смысл производной
Уравнения
Квадратные уравнения Логарифмические уравнения Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга
Неравенства
Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства
Числа и действия с ними
Делимость Правила счёта Модуль Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними

Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций

Данный метод отбора корней при решении тригонометрических уравнений позволяет наглядно определить подходящие углы без наложений друг на друга периодов (как это случается при работе с тригокругом), однако такой метод предполагает хорошие навыки работы с графиками тригофункций. Также при отборе корней этим методом нам не нужно разделять ответы на серии, достаточно посмотреть на этап решения уравнения, когда тригофункция равна числу, например \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКОВ ТРИГОФУНКЦИЙ

  1. Рисуем соответствующий график тригонометрической функции.

  2. Проводим прямые \(y = a\), параллельные оси Ox, где \(a\) – число, которому равна тригофункция.

  3. Отмечаем на графике промежуток, в котором нужно найти углы.

  4. Находим пересечение прямой \(y = a\) с графиком в точках, которые попадают в отмеченный промежуток. Записываем углы, которые им соответствуют – это будут значения из абсцисс.

Пример №1:

Найдите все корни уравнения

\(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

принадлежащих промежутку \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\).

  1. Нам дано уравнение \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) , тогда построим график функции \(y = \sin x\):

  1. Проведем прямую \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}:\)

  1. Выделим часть графика, попадающий в промежуток \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\):

  1. Нужно отметить точки пересечения прямой с графиком, которые попадают в промежуток \(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\).

Таким образом видим две точки, абсциссы которых соответственно равны \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{2\pi}{3}\). Запишем ответ.

Ответ: \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{2\pi}{3}\).

Пример №2:

Найдите все корни уравнения

\(tg\ x = - 1\)

принадлежащих промежутку \(\left\lbrack - \frac{\pi}{2},\ \pi \right\rbrack\).

  1. Нам дано уравнение \(tg\ x = - 1\) , тогда построим график функции \(y = \text{tg\ x}\):

  1. Проведем прямую \(y = - 1\):

  1. Выделим часть графика, попадающий в промежуток \(\left\lbrack - \frac{\pi}{2},\ \pi \right\rbrack\):

  1. Нужно отметить точки пересечения прямой с графиком, которые попадают в промежуток \(\left\lbrack - \frac{\pi}{2},\ \pi \right\rbrack\).

Таким образом видим две точки, абсциссы которых соответственно равны \(- \frac{\pi}{4}\) и \(\frac{\pi}{4}\). Запишем ответ.

Ответ: \(\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\).