Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Отбор корней с помощью двойного неравенства

Для того, чтобы отобрать корни при решении тригонометрических уравнений использую двойные неравенства. Мы ставим серию ответов в двойное неравенство, которое определяется заданным промежутком и ищем подходящие корни. Этот метод максимально прост. Все, что требует при отборе корней данным методом – уметь решать двойные неравенства. Но у этого есть и обратная сторона. При работе с двойными неравенствами можно совершить ошибку по невнимательности.

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ДВОЙНОГО НЕРАВЕНСТВА:

  1. Полученное решение записываем в двойное неравенство, определяющее заданный промежуток.

  2. Решаем неравенство относительно n. Мы знаем, что n – количество периодов, которое может быть только целым числом. Если n попадает в промежуток, где нет целых чисел, тогда данная серия ответов не подходит.

  3. Подставляем полученное n в серию ответов и находим нужные углы.

Пример:

Даны корни уравнения:

\(x_{1} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

\(x_{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Найдите корни, принадлежащие отрезку\(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\)

  1. Составим двойное неравенство с первой серией ответов:

\(- \pi \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2}\)

  1. Решим двойное неравенство. Так как нам нужно выразить n, которое находится в середине двойного неравенства, будет постепенно убирать из этой части слагаемые и множители. Вычтем из каждой части неравенства слагаемое \(\frac{\pi}{3}\):

\(- \pi - \frac{\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\)

\(- \frac{4\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{8\pi}{6}\)

  1. Теперь избавимся от лишнего множителя посередине. Поделим каждую часть неравенства на \(2\pi\):

\(- \frac{4\pi}{3 \bullet 2\pi} \leq n \leq \frac{8\pi}{6 \bullet 2\pi}\)

\(- \frac{2}{3} \leq n \leq \frac{2}{3}\)

  1. Таким образом единственное целое значение \(n\), которое попадает в данный промежуток – это \(n = 0\). Подставим в серию ответом это значение n и найдем угол:

\(x_{1} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{3}\)

  1. Аналогично составим и решим двойное неравенство со второй серией ответов:

\(- \pi \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2}\)

  1. Вычтем слагаемое \(\frac{2\pi}{3}\) из каждой части уравнения:

\(- \pi - \frac{2\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}\)

\(- \frac{5\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{5\pi}{6}\)

  1. Поделим каждую часть уравнения на \(2\pi\)

\(- \frac{5\pi}{3 \bullet 2\pi} \leq n \leq \frac{5\pi}{6 \bullet 2\pi}\)

\(- \frac{5}{6} \leq n \leq \frac{5}{12}\)

  1. Мы получили промежуток, в котором n также принимает единственное целое значение, когда \(n = 0.\) Найдем угол, зная, чему равно n:

\(x_{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3}\)

Ответ: \(\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\).