Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг Свойства степеней Степени Иррациональные выражения Многочлены Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции
Реальная математика
Экономические задачи. Ценные бумаги Основы комбинаторики Экономические задачи. Кредиты Комбинаторика Основы математической статистики Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Введение в текстовые задачи Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Множества Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Сложные проценты Экономические задачи. Вклады Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Текстовые задачи на производительность Единицы измерения
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем
Числа и действия с ними
НОК и НОД Правила счёта Модуль Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Формат ЕГЭ
Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ
Планиметрия
Площади четырёхугольников Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Биссектриса Площадь круга и сектора круга Медиана Простейшие расстояния на плоскости Метод координат на плоскости Высота Четыре замечательные точки треугольника Теорема Менелая и теорема Чевы Параллелограммы Векторы Скалярное произведение векторов Средняя линия Виды треугольников Серединный перпендикуляр Прямые и углы на плоскости Окружнoсть и круг Треугольники. Площади Симметрия Тригонометрия в геометрии Подобие фигур Равенство фигур Прямоугольник Комбинации с окружностью Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Квадрат Элементы планиметрии Многоугольники Теорема Пифагора Трапеция Ромб Теорема синусов и теорема косинусов Движения Отношения в геометрии
Стереометрия
Пирамиды Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Призмы Тела вращения Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол Угол между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках
Анализ функций
Координатная плоскость Интеграл Функция квадратного корня Кусочная функция Графики тригонометрических функций Экстремумы Квадратичная функция Смысл производной Графическое применение производной Свойства функций Первообразная Правила дифференцирования Преобразование графиков функции Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Функции Линейная функция
Уравнения
Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Однородные уравнения Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Простейшие тригонометрические уравнения Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения Уравнения высших степеней Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга

Отбор корней с помощью двойного неравенства

Для того, чтобы отобрать корни при решении тригонометрических уравнений использую двойные неравенства. Мы ставим серию ответов в двойное неравенство, которое определяется заданным промежутком и ищем подходящие корни. Этот метод максимально прост. Все, что требует при отборе корней данным методом – уметь решать двойные неравенства. Но у этого есть и обратная сторона. При работе с двойными неравенствами можно совершить ошибку по невнимательности.

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ДВОЙНОГО НЕРАВЕНСТВА:

  1. Полученное решение записываем в двойное неравенство, определяющее заданный промежуток.

  2. Решаем неравенство относительно n. Мы знаем, что n – количество периодов, которое может быть только целым числом. Если n попадает в промежуток, где нет целых чисел, тогда данная серия ответов не подходит.

  3. Подставляем полученное n в серию ответов и находим нужные углы.

Пример:

Даны корни уравнения:

\(x_{1} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

\(x_{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Найдите корни, принадлежащие отрезку\(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\)

  1. Составим двойное неравенство с первой серией ответов:

\(- \pi \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2}\)

  1. Решим двойное неравенство. Так как нам нужно выразить n, которое находится в середине двойного неравенства, будет постепенно убирать из этой части слагаемые и множители. Вычтем из каждой части неравенства слагаемое \(\frac{\pi}{3}\):

\(- \pi - \frac{\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\)

\(- \frac{4\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{8\pi}{6}\)

  1. Теперь избавимся от лишнего множителя посередине. Поделим каждую часть неравенства на \(2\pi\):

\(- \frac{4\pi}{3 \bullet 2\pi} \leq n \leq \frac{8\pi}{6 \bullet 2\pi}\)

\(- \frac{2}{3} \leq n \leq \frac{2}{3}\)

  1. Таким образом единственное целое значение \(n\), которое попадает в данный промежуток – это \(n = 0\). Подставим в серию ответом это значение n и найдем угол:

\(x_{1} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{3}\)

  1. Аналогично составим и решим двойное неравенство со второй серией ответов:

\(- \pi \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2}\)

  1. Вычтем слагаемое \(\frac{2\pi}{3}\) из каждой части уравнения:

\(- \pi - \frac{2\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}\)

\(- \frac{5\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{5\pi}{6}\)

  1. Поделим каждую часть уравнения на \(2\pi\)

\(- \frac{5\pi}{3 \bullet 2\pi} \leq n \leq \frac{5\pi}{6 \bullet 2\pi}\)

\(- \frac{5}{6} \leq n \leq \frac{5}{12}\)

  1. Мы получили промежуток, в котором n также принимает единственное целое значение, когда \(n = 0.\) Найдем угол, зная, чему равно n:

\(x_{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3}\)

Ответ: \(\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\).