Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Анализ функций
Правила дифференцирования Смысл производной Интеграл Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной Первообразная Квадратичная функция Функция квадратного корня Кусочная функция Графики тригонометрических функций Преобразование графиков функции Функции Свойства функций Координатная плоскость Линейная функция Взаимное расположение графиков линейной функции Экстремумы
Уравнения
Однородные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы уравнений с двумя переменными Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Показательные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Уравнения в целых числах Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Числа и действия с ними
НОК и НОД Округление дробей Делимость Правила счёта Обыкновенные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Модуль Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними
Формат ЕГЭ
Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ
Планиметрия
Прямоугольник Теорема Пифагора Ромб Метод координат на плоскости Подобие фигур Параллелограммы Теорема Менелая и теорема Чевы Окружнoсть и круг Квадрат Прямые и углы на плоскости Элементы планиметрии Симметрия Тригонометрия в геометрии Равенство фигур Векторы Четыре замечательные точки треугольника Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Многоугольники Виды треугольников Высота Площади четырёхугольников Треугольники. Площади Простейшие расстояния на плоскости Биссектриса Отношения в геометрии Средняя линия Серединный перпендикуляр Скалярное произведение векторов Трапеция Движения Комбинации с окружностью Теорема синусов и теорема косинусов Площадь круга и сектора круга
Стереометрия
Расстояние между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Угол между плоскостями Тела вращения Двугранный угол Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Расстояние от точки до плоскости Движения в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды Угол между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Призмы
Реальная математика
Основы комбинаторики Текстовые задачи на производительность Прикладные задачи Диаграммы, графики и таблицы Множества Арифметическая прогрессия Введение в текстовые задачи Вероятность Основы математической статистики Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на сплавы и смеси Комбинаторика Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Метод математической индукции Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем
Формулы и выражения
Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Свойства степеней Степени Иррациональные выражения Многочлены Тригонометрический круг Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции

Отбор корней с помощью двойного неравенства

Для того, чтобы отобрать корни при решении тригонометрических уравнений использую двойные неравенства. Мы ставим серию ответов в двойное неравенство, которое определяется заданным промежутком и ищем подходящие корни. Этот метод максимально прост. Все, что требует при отборе корней данным методом – уметь решать двойные неравенства. Но у этого есть и обратная сторона. При работе с двойными неравенствами можно совершить ошибку по невнимательности.

АЛГОРИТМ ОТБОРА КОРНЕЙ С ПОМОЩЬЮ ДВОЙНОГО НЕРАВЕНСТВА:

  1. Полученное решение записываем в двойное неравенство, определяющее заданный промежуток.

  2. Решаем неравенство относительно n. Мы знаем, что n – количество периодов, которое может быть только целым числом. Если n попадает в промежуток, где нет целых чисел, тогда данная серия ответов не подходит.

  3. Подставляем полученное n в серию ответов и находим нужные углы.

Пример:

Даны корни уравнения:

\(x_{1} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

\(x_{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n\mathbb{\in Z}\)

Найдите корни, принадлежащие отрезку\(\left\lbrack - \pi,\ \frac{3\pi}{2} \right\rbrack\)

  1. Составим двойное неравенство с первой серией ответов:

\(- \pi \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2}\)

  1. Решим двойное неравенство. Так как нам нужно выразить n, которое находится в середине двойного неравенства, будет постепенно убирать из этой части слагаемые и множители. Вычтем из каждой части неравенства слагаемое \(\frac{\pi}{3}\):

\(- \pi - \frac{\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\)

\(- \frac{4\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{8\pi}{6}\)

  1. Теперь избавимся от лишнего множителя посередине. Поделим каждую часть неравенства на \(2\pi\):

\(- \frac{4\pi}{3 \bullet 2\pi} \leq n \leq \frac{8\pi}{6 \bullet 2\pi}\)

\(- \frac{2}{3} \leq n \leq \frac{2}{3}\)

  1. Таким образом единственное целое значение \(n\), которое попадает в данный промежуток – это \(n = 0\). Подставим в серию ответом это значение n и найдем угол:

\(x_{1} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{\pi}{3}\)

  1. Аналогично составим и решим двойное неравенство со второй серией ответов:

\(- \pi \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2}\)

  1. Вычтем слагаемое \(\frac{2\pi}{3}\) из каждой части уравнения:

\(- \pi - \frac{2\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{3\pi}{2} - \frac{2\pi}{3}\)

\(- \frac{5\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{5\pi}{6}\)

  1. Поделим каждую часть уравнения на \(2\pi\)

\(- \frac{5\pi}{3 \bullet 2\pi} \leq n \leq \frac{5\pi}{6 \bullet 2\pi}\)

\(- \frac{5}{6} \leq n \leq \frac{5}{12}\)

  1. Мы получили промежуток, в котором n также принимает единственное целое значение, когда \(n = 0.\) Найдем угол, зная, чему равно n:

\(x_{2} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3}\)

Ответ: \(\frac{\pi}{3};\frac{2\pi}{3}\).