Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Реальная математика
Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на производительность Единицы измерения Сложные проценты Экономические задачи. Вклады Диаграммы, графики и таблицы Множества Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на сплавы и смеси Прикладные задачи Экономические задачи. Ценные бумаги Арифметическая прогрессия Введение в текстовые задачи Комбинаторика Текстовые задачи на движение по окружности Вероятность Экономические задачи. Кредиты Метод математической индукции Основы комбинаторики Основы математической статистики Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация
Числа и действия с ними
НОК и НОД Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Модуль Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними Делимость Обыкновенные дроби и действия с ними
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Планиметрия
Метод координат на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Серединный перпендикуляр Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Параллелограммы Виды треугольников Теорема синусов и теорема косинусов Комбинации с окружностью Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Тригонометрия в геометрии Подобие фигур Равенство фигур Прямоугольник Прямые и углы на плоскости Треугольники. Площади Ромб Площадь круга и сектора круга Векторы Скалярное произведение векторов Теорема Пифагора Симметрия Трапеция Движения Площади четырёхугольников Теорема Менелая и теорема Чевы Простейшие расстояния на плоскости Биссектриса Квадрат Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Медиана Многоугольники Средняя линия Высота Элементы планиметрии
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Метод координат в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Теорема о трёх перпендикулярах Движения в пространстве Тела вращения Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Перпендикулярность прямых и плоскостей Призмы Двугранный угол Пирамиды Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей
Уравнения
Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Линейные уравнения Однородные уравнения Квадратные уравнения Методы решения уравнений Уравнения в целых числах Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства
Формулы и выражения
Многочлены Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Одночлены Разложение на множители. Группировка Формулы сокращённого умножения Тригонометрический круг Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения
Анализ функций
Правила дифференцирования Координатная плоскость Смысл производной Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Линейная функция Интеграл Графическое применение производной Свойства функций Экстремумы Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Графики тригонометрических функций Функции Квадратичная функция

Многоугольники

Многоугольник – это геометрическая фигуру, образованная ограниченной ломаной. Каждый многоугольник имеет вершины, стороны, внутренние и внешние углы.

n - угольник – это многоугольник, в котором n вершин, n сторон и n углов. При этом \(n \geq\)3.

Многоугольник с наименьшим количеством углов, вершин и сторон является треугольник.

Каждый многоугольник характеризуется площадью и периметром.

Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника.

Площадь для различных n - угольников рассчитывается по-разному, в зависимости от n.

ВЫПУКЛЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Выпуклый многоугольник – это многоугольник, который полностью лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей между его соседними вершинами.

Другими словами, у выпуклого многоугольника любой внутренний угол меньше 180⁰.

Например, пятиугольник \(А_{1}А_{2}А_{3}А_{4}А_{5}\)­ – выпуклый, а четырехугольник \(В_{1}В_{2}В_{3}В_{4}\) – невыпуклый или вогнутый:

Далее речь будет идти именно о выпуклых многоугольниках.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна \((n\ –\ 2) \bullet 180{^\circ}\)

Диагональ – это отрезок между двумя не соседними вершинами многоугольника.

Количество диагоналей в n-угольнике равно

\(\frac{n(n\ –\ 3)}{2}\)

Таким образом треугольники не имеют диагоналей, т.к. каждая вершина является соседней всем остальным.

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Правильный многоугольник – это многоугольник, стороны и углы которых равны между собой.

В таком случае каждый угол правильного многоугольника будет равен:

\(\frac{(n\ –\ 2) \bullet 180{^\circ}}{n}\)

Так же диагонали правильного многоугольника равны.

Периметр правильного n-угольника:

\(P = a \bullet n\)

где a – длина его стороны.

Примерами правильных многоугольников служат правильный треугольник, квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т. д.

УГЛЫ, ВЫСОТЫ И ПЛОЩАДИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ:

1. Правильный треугольник:

  • Все углы правильного треугольника равны по 60⁰

  • Высота правильного треугольника равна:

\(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

  • Тогда площадь правильного треугольника через его высоту:

\(S = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\)

2. Правильный четырёхугольник:

  • Все углы квадрата равны по 90⁰

  • Высота квадрата (правильного четырёхугольника) равна его стороне:

\(h = a\)

  • Тогда его площадь равна:

\(S = a^{2}\)

3. Правильный шестиугольник:

  • Все углы правильного шестиугольника равны по 120⁰

  • Правильный шестиугольник можно представить как шесть одинаковых правильных треугольников. Тогда высота шестиугольника будет равна двум высотам этого треугольника:

\(h = a\sqrt{3}\)

  • Тогда площадь правильного шестиугольника равна площади шести правильных треугольников, из которых он состоит:

\(S = \frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}\)

У каждого правильного многоугольника совпадают центры вписанной и описанной окружностей: