Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Реальная математика
Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на проценты Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на доли и дроби Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Сложные проценты Экономические задачи. Ценные бумаги Экономические задачи. Оптимизация Вероятность Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Множества Основы комбинаторики Экономические задачи. Кредиты Комбинаторика Основы математической статистики Прикладные задачи
Уравнения
Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения высших степеней Иррациональные уравнения Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Однородные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Квадратные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Планиметрия
Подобие фигур Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Отношения в геометрии Прямые и углы на плоскости Многоугольники Средняя линия Ромб Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Трапеция Метод координат на плоскости Высота Виды треугольников Квадрат Симметрия Движения Четыре замечательные точки треугольника Медиана Скалярное произведение векторов Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса Комбинации с окружностью Серединный перпендикуляр Теорема Пифагора Треугольники. Площади Простейшие расстояния на плоскости Тригонометрия в геометрии Теорема Менелая и теорема Чевы Элементы планиметрии Окружнoсть и круг Параллелограммы Равенство фигур Прямоугольник Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Векторы
Стереометрия
Сечения в многогранниках Теорема о трёх перпендикулярах Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения Пирамиды Векторы в пространстве Расстояние от точки до плоскости Сечения в телах вращения Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Двугранный угол Угол между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Метод координат в пространстве Движения в пространстве Призмы
Формулы и выражения
Тригонометрический круг Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Многочлены Свойства степеней Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка
Формат ЕГЭ
Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ
Анализ функций
Функция обратной пропорциональности Функции Правила дифференцирования Преобразование графиков функции Квадратичная функция Линейная функция Первообразная Графики тригонометрических функций Экстремумы Взаимное расположение графиков линейной функции Смысл производной Графическое применение производной Интеграл Свойства функций Координатная плоскость Функция квадратного корня Кусочная функция
Неравенства
Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств
Числа и действия с ними
Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Делимость Модуль Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта

Многоугольники

Многоугольник – это геометрическая фигуру, образованная ограниченной ломаной. Каждый многоугольник имеет вершины, стороны, внутренние и внешние углы.

n - угольник – это многоугольник, в котором n вершин, n сторон и n углов. При этом \(n \geq\)3.

Многоугольник с наименьшим количеством углов, вершин и сторон является треугольник.

Каждый многоугольник характеризуется площадью и периметром.

Периметр – сумма длин всех сторон многоугольника.

Площадь для различных n - угольников рассчитывается по-разному, в зависимости от n.

ВЫПУКЛЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Выпуклый многоугольник – это многоугольник, который полностью лежит по одну сторону от любой прямой, проходящей между его соседними вершинами.

Другими словами, у выпуклого многоугольника любой внутренний угол меньше 180⁰.

Например, пятиугольник \(А_{1}А_{2}А_{3}А_{4}А_{5}\)­ – выпуклый, а четырехугольник \(В_{1}В_{2}В_{3}В_{4}\) – невыпуклый или вогнутый:

Далее речь будет идти именно о выпуклых многоугольниках.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна \((n\ –\ 2) \bullet 180{^\circ}\)

Диагональ – это отрезок между двумя не соседними вершинами многоугольника.

Количество диагоналей в n-угольнике равно

\(\frac{n(n\ –\ 3)}{2}\)

Таким образом треугольники не имеют диагоналей, т.к. каждая вершина является соседней всем остальным.

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Правильный многоугольник – это многоугольник, стороны и углы которых равны между собой.

В таком случае каждый угол правильного многоугольника будет равен:

\(\frac{(n\ –\ 2) \bullet 180{^\circ}}{n}\)

Так же диагонали правильного многоугольника равны.

Периметр правильного n-угольника:

\(P = a \bullet n\)

где a – длина его стороны.

Примерами правильных многоугольников служат правильный треугольник, квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т. д.

УГЛЫ, ВЫСОТЫ И ПЛОЩАДИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ:

1. Правильный треугольник:

  • Все углы правильного треугольника равны по 60⁰

  • Высота правильного треугольника равна:

\(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)

  • Тогда площадь правильного треугольника через его высоту:

\(S = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\)

2. Правильный четырёхугольник:

  • Все углы квадрата равны по 90⁰

  • Высота квадрата (правильного четырёхугольника) равна его стороне:

\(h = a\)

  • Тогда его площадь равна:

\(S = a^{2}\)

3. Правильный шестиугольник:

  • Все углы правильного шестиугольника равны по 120⁰

  • Правильный шестиугольник можно представить как шесть одинаковых правильных треугольников. Тогда высота шестиугольника будет равна двум высотам этого треугольника:

\(h = a\sqrt{3}\)

  • Тогда площадь правильного шестиугольника равна площади шести правильных треугольников, из которых он состоит:

\(S = \frac{3a^{2}\sqrt{3}}{2}\)

У каждого правильного многоугольника совпадают центры вписанной и описанной окружностей: