Прикладные задачи

При работе с текстовыми задачами требуется умение не только верно работать с математическими уравнениями и выражениями, но и уметь «переводить» словесный язык в язык математики. Сначала рассмотрим принципы алгебраических преобразований.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ:

Выражение неизвестной переменной может включать в себя множество комбинаций различных алгебраических преобразований, но их самих не так много. Давайте посмотрим на буквенном примере, как они могут комбинироваться и как с ними работать.

Если в выражении \(x\ \)– переменная, а \(a,\ b,\ c,\ m,\ n,\ k,\ l,\ y\) – какие-то числа, то выразим переменную из следующего выражения:

\(\frac{m(b\ –\ ax)}{n} + k = y + l\)

1. Если переменная x является частью выражения в некоторой скобке, а не является отдельным слагаемым или множителем, можем представить эту скобку, содержащую переменную, как число, которое необходимо выразить.

Например:

\(c = b\ –\ ax\)

\(\frac{\text{mc}}{n} + k = y + l\)

Тяжело выделить переменную – представим, что скобка с ней – новая переменная, которую нужно найти.

2. Теперь будем выражать \(c\), пока слева не останется только оно. Для начала уберем \(k\ \)с правой стороны уравнения. Для этого вычтем \(k\ \)из обоих частей уравнения.

Получим:

\(\frac{\text{mc}}{n} + k\ –\ k = y + l\ –\ k\)

\(\frac{\text{mc}}{n} = y + l\ –\ k\)

Видим лишнее слагаемое – вычитаем его из обеих частей уравнения.

3. Для того, чтобы слева осталось только \(c\), нужно разделить обе части уравнение на его множитель \(\frac{m}{n}\) . Справа делить нужно все выражение, то есть взять его в скобки перед тем, как делить:\(\frac{\text{mc}}{n}:\frac{m}{n} = \left( y + l–k \right):\frac{m}{n}\)

\(\frac{\text{mc}}{n} \bullet \frac{n}{m} = \left( y + l\ –\ k \right) \bullet \frac{n}{m}\)

\(c = \frac{n\left( y + l–k \right)}{m}\)

Видим лишний множитель – делим на него обе части уравнения.

4. Теперь вернемся от c к выражению, содержащему \(x\):

\(b\ –\ ax = \frac{n\left( y + l–k \right)}{m}\)

Не забываем вернуться к изначальному выражению, если заменяли скобку с переменной.

5. Выразим \(x\) аналогично как в п. 2 и п. 3:

– Вычтем с обеих сторон \(b\), получим:

\(b\ –\ ax\ –b = \frac{n\left( y + l–k \right)}{m}\ –\ b\)

\(–\ ax = \frac{n\left( y + l–k \right)}{m}\ –\ b\)

Вычитаем на лишнее слагаемое.

– И разделим обе части на множитель -a:

\(\frac{–\ ax}{–\ a} = \left( \frac{n\left( y + l–k \right)}{m}\ –\ b \right):\left( –a \right)\)

\(x = \ –\ \left( \frac{n\left( y + l–k \right)}{m}\ –\ b \right) \bullet \frac{1}{a}\)

Делим на лишний множитель.

АЛГОРИТМ «МЕТОД ЗАМАЗКИ»:

1. Читаем условие.
2. Выписываем формулу.
3. Находим, что дано: заменяем буквы на числа.
4. Определяем, что найти: единственная буква, оставшаяся в уравнении.
5. Решаем уравнение/неравенство.
6. Проверяем ответ: на соответствие вопросу, на адекватность.

Закон Ома для полной цепи можно записать в виде\(\ I = \frac{\varepsilon}{R + r}\), где \(\varepsilon\) – электродвижущая сила, I – источник тока в цепи, R – активное сопротивление, r – сопротивление источника. Пользуясь формулой, найдите величину r, если сила тока в цепи 8 А, электродвижущая сила 97В, а активное сопротивление 12 Ом.

Решение:

1. Читаем условие.

2. Выписываем формулу:

\(I = \frac{\varepsilon}{R + r}\)

3. Находим, что нам дано и вписываем эти значения в формулу:

\(I = 8A\)

\(\varepsilon = 97B\)

\(R = 12\ Ом\)

\(8 = \frac{97}{12 + r}\)

4. Единственная оставшаяся буква – то, что нужно найти. В данном случае, это r. Действительно, в условии просят найти именно это величину.

5. Решим уравнение относительно этой переменной. Используем правила алгебраических преобразований:

\(r = \frac{97}{8} - 12 = 0,125\)

6. Проверяем ответ. Действительно просили найти r. Попробуем подставить эту букву в уравнение:

\(I = \frac{\varepsilon}{R + r}\)

\(8 = \frac{97}{12 + r}\)

\(8 = \frac{97}{12 + 0,125} = \frac{97}{12,125} = 8\)

Всё верно. Можем записывать ответ.

Ответ: 0,125

ВЫБОР ОТВЕТА И ПРОВЕРКА НА АДЕКВАТНОСТЬ:

Если в задаче получили несколько ответов – не выбираем сразу «наибольшее» / «наименьшее», а проверяем каждый из них на соответствие вопросу задачи.

Высота над замлей подброшенного вверх мяча меняется по закону \(h\left( t \right) = 2,2 + 7t - 5t^{2}\), где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Через сколько секунд мяч будет находиться на высоте 1 метр?

Решение:

1. Записываем уравнение:

\(h\left( t \right) = 2,2 + 7t - 5t^{2}\)

2. Заменяем все известные величины на данные в условии цифры. Единственная оставшаяся величина – t.

\(1 = 2,2 + 7t - 5t^{2}\)

3. Найдем t из получившегося уравнения с помощью алгебраических преобразований:

\(1,2 + 7t - 5t^{2} = 0\)

\(t_{1,2} = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4\left( - 5 \right)\left( - 1.2 \right)}}{2( - 5)}\)

4. Проверим ответ на соответствие:

\(t_{1} = 1,2\)

\(t_{2} = 0,2\)

Видим два ответа. Чтобы узнать, какой записать в ответ, подумаем над ситуацией в задаче. Как мяч мог два раза пройти отметку в 1 м? Сначала мяч подкинули вверх. А затем он начал падать вниз, значит снова прошёл отметку в 1 м уже при падении. Нас интересует взлет мяча, поэтому выберем меньшее время, то есть 0,2 с. Смело записываем ответ.

Ответ: 0,2

Также ответ можно проверять на адекватность. Это значит, что все полученные значения должны быть реальными для описываемой ситуации. В проверку на адекватность входят несколько основных пунктов:

1. Выбор между положительным и отрицательным:

Время и скорость в таких задачах не может быть отрицательным. При выборе между положительным и отрицательным значениями нужно выбирать только положительное.

2. Величины соразмерны друг другу:

Скорости различных тел в текстовых задачах соразмерны реальным. Это значит, что любая скорость автомобиля или поезда будет больше скорости, например, пешехода или улитки. Все как в реальной жизни.

3. Величины соразмерны реальным:

Все расчеты проводятся в одинаковых единицах измерения, чтобы не возникло ситуации, когда масса, скорость или объем тел несоразмерны реальным. Скорость автомобиля может равняться 100 км/ч, но не 100 м/с.