Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Стереометрия
Метод координат в пространстве Сечения в многогранниках Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Расстояние от прямой до плоскости Тела вращения Теорема о трёх перпендикулярах Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Движения в пространстве Угол между плоскостями Призмы Двугранный угол Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Угол между прямой и плоскостью Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды
Неравенства
Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства
Формат ЕГЭ
Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Многочлены Степени Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг Свойства степеней Показательные выражения и свойства показательной функции Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены
Планиметрия
Четыре замечательные точки треугольника Площадь круга и сектора круга Медиана Скалярное произведение векторов Многоугольники Серединный перпендикуляр Отношения в геометрии Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора Ромб Виды треугольников Биссектриса Движения Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Элементы планиметрии Окружнoсть и круг Параллелограммы Тригонометрия в геометрии Метод координат на плоскости Площади четырёхугольников Прямоугольник Комбинации с окружностью Треугольники. Площади Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Средняя линия Теорема синусов и теорема косинусов Высота Теорема Менелая и теорема Чевы Трапеция Простейшие расстояния на плоскости Подобие фигур Равенство фигур Квадрат Симметрия
Анализ функций
Взаимное расположение графиков линейной функции Координатная плоскость Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной Свойства функций Первообразная Линейная функция Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Графики тригонометрических функций Интеграл Функции Экстремумы Квадратичная функция Правила дифференцирования Смысл производной
Реальная математика
Сложные проценты Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Оптимизация Введение в текстовые задачи Вероятность Экономические задачи. Кредиты Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Метод математической индукции Единицы измерения Комбинаторика Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Основы математической статистики Прикладные задачи Экономические задачи. Вклады Множества
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Уравнения с модулем Линейные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения высших степеней Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения
Параметр
Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения
Числа и действия с ними
Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними НОК и НОД Делимость Правила счёта Модуль Десятичные дроби и действия с ними

Тригонометрия в геометрии

Тригонометрия – это раздел математики, изучающий тригонометрические функции и их использование в геометрии, в частности – в задачах, связанных с углами. Проще всего изучать углы в треугольнике, а конкретно – в прямоугольном треугольнике. Как раз из отношения сторон прямоугольного треугольника и появились функции синус, косинус, тангенс и котангенс.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ:

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c и острыми углами \(\alpha\ и\ \beta\):

1. Синус и косинус:

  • Синус угла – отношение длин противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Для угла α противолежащим катетом является сторона а, для угла β – сторона b.

Тогда:

\(\sin\alpha = \frac{прот.\ катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\)

\(\sin\beta = \frac{прот.\ катет}{гипотенуза} = \frac{b}{c}\)

  • Косинус угла – отношение длин прилежащего этому углу катета к гипотенузе.

Для угла α прилежащим катетом является сторона b, для угла β – катет a.

Тогда:

\(\cos\alpha = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза}\frac{b}{c}\)

\(\cos\beta = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\)

Из-за того, что прилежащая сторона к одному углу является противоположной для другого угла, синус и косинус для углов \(\alpha\ и\ \beta\) повторяются:

\(\sin\alpha = \cos\beta\)

\(\cos\alpha = \sin\beta\)

Синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого острого угла.

Косинус одного острого угла прямоугольного треугольника равен синусу другого острого угла.

2. Тангенс и котангенс:

  • Тангенс угла – отношение длин противолежащего этому углу катета к прилежащему. Оно же равно отношению синуса этого угла к косинусу.

\(\text{tg\ α} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{\text{ac}}{\text{cb}} = \frac{a}{b} = \frac{прот.\ катет}{прил.\ катет}\)

\(tg\ \beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{b}{c} : \frac{a}{c} = \frac{\text{bc}}{\text{ca}} = \frac{b}{a} = \frac{прот.\ катет}{прил.\ катет}\)

  • Котангенс – отношение длин прилежащего этому углу катета к противолежащему. Оно же равно отношению косинуса этого угла к синусу.

\(\text{ctg\ }\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{b}{c} : \frac{a}{c} = \frac{\text{bc}}{\text{ca}} = \frac{b}{a} = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза}\)

\(ctg\ \beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{\text{ac}}{\text{cb}} = \frac{a}{b} = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза}\)

Так же как для синуса и косинуса, тангенс и котангенс повторяются у двух острых углов прямоугольного треугольника:

\(tg\ \alpha = ctg\beta\)

\(\text{ctg\ α} = tg\ \beta\)

Тангенс одного острого угла прямоугольного треугольника равен котангенсу другого острого угла.

Котангенс одного острого угла прямоугольного треугольника равен тангенсу другого острого угла.

ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО:

Основное тригонометрическое тождество (ОТТ) – это выражение, которое связывает синус и косинус одного угла:

\(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\)

Докажем это тождество, используя теорему Пифагора.

1. Рассмотрим тригонометрические функции угла α:

\(\sin\alpha = \frac{прот.\ катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\)

\(\cos\alpha = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза} = \frac{b}{c}\)

2. Подставим эти отношения вместо тригонометрических функций. Получим:

\(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = \ \left( \frac{a}{c} \right)^{2} + \left( \frac{b}{c} \right)^{2} = \ \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}\)

3. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Значит:

\(\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1\)

Что и требовалось доказать.