Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Планиметрия
Простейшие расстояния на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Параллелограммы Тригонометрия в геометрии Высота Теорема Менелая и теорема Чевы Симметрия Метод координат на плоскости Подобие фигур Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Площадь круга и сектора круга Прямые и углы на плоскости Биссектриса Равенство фигур Многоугольники Теорема Пифагора Трапеция Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Серединный перпендикуляр Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Треугольники. Площади Виды треугольников Движения Комбинации с окружностью Медиана Площади четырёхугольников Векторы Элементы планиметрии Средняя линия Ромб Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Скалярное произведение векторов Квадрат
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства
Числа и действия с ними
НОК и НОД Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Модуль
Стереометрия
Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Метод координат в пространстве Тела вращения Теорема о трёх перпендикулярах Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Призмы Пирамиды Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Движения в пространстве Параллельность прямых и плоскостей
Анализ функций
Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Графики тригонометрических функций Смысл производной Функция квадратного корня Интеграл Функция обратной пропорциональности Функции Линейная функция Преобразование графиков функции Кусочная функция Свойства функций Экстремумы Квадратичная функция Правила дифференцирования Координатная плоскость Графическое применение производной
Реальная математика
Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Кредиты Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Метод математической индукции Основы комбинаторики Вероятность Сложные проценты Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на сплавы и смеси Комбинаторика Геометрическая прогрессия Множества Введение в текстовые задачи Единицы измерения Основы математической статистики Текстовые задачи на проценты
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Дробно-рациональные уравнения Однородные уравнения Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения высших степеней Уравнения с модулем Методы решения уравнений Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Системы уравнений с двумя переменными
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Свойства степеней Степени Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Разложение на множители. Группировка Многочлены Тригонометрический круг Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ

Тригонометрия в геометрии

Тригонометрия – это раздел математики, изучающий тригонометрические функции и их использование в геометрии, в частности – в задачах, связанных с углами. Проще всего изучать углы в треугольнике, а конкретно – в прямоугольном треугольнике. Как раз из отношения сторон прямоугольного треугольника и появились функции синус, косинус, тангенс и котангенс.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ:

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c и острыми углами \(\alpha\ и\ \beta\):

1. Синус и косинус:

  • Синус угла – отношение длин противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Для угла α противолежащим катетом является сторона а, для угла β – сторона b.

Тогда:

\(\sin\alpha = \frac{прот.\ катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\)

\(\sin\beta = \frac{прот.\ катет}{гипотенуза} = \frac{b}{c}\)

  • Косинус угла – отношение длин прилежащего этому углу катета к гипотенузе.

Для угла α прилежащим катетом является сторона b, для угла β – катет a.

Тогда:

\(\cos\alpha = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза}\frac{b}{c}\)

\(\cos\beta = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\)

Из-за того, что прилежащая сторона к одному углу является противоположной для другого угла, синус и косинус для углов \(\alpha\ и\ \beta\) повторяются:

\(\sin\alpha = \cos\beta\)

\(\cos\alpha = \sin\beta\)

Синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого острого угла.

Косинус одного острого угла прямоугольного треугольника равен синусу другого острого угла.

2. Тангенс и котангенс:

  • Тангенс угла – отношение длин противолежащего этому углу катета к прилежащему. Оно же равно отношению синуса этого угла к косинусу.

\(\text{tg\ α} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{\text{ac}}{\text{cb}} = \frac{a}{b} = \frac{прот.\ катет}{прил.\ катет}\)

\(tg\ \beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{b}{c} : \frac{a}{c} = \frac{\text{bc}}{\text{ca}} = \frac{b}{a} = \frac{прот.\ катет}{прил.\ катет}\)

  • Котангенс – отношение длин прилежащего этому углу катета к противолежащему. Оно же равно отношению косинуса этого угла к синусу.

\(\text{ctg\ }\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{b}{c} : \frac{a}{c} = \frac{\text{bc}}{\text{ca}} = \frac{b}{a} = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза}\)

\(ctg\ \beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{\text{ac}}{\text{cb}} = \frac{a}{b} = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза}\)

Так же как для синуса и косинуса, тангенс и котангенс повторяются у двух острых углов прямоугольного треугольника:

\(tg\ \alpha = ctg\beta\)

\(\text{ctg\ α} = tg\ \beta\)

Тангенс одного острого угла прямоугольного треугольника равен котангенсу другого острого угла.

Котангенс одного острого угла прямоугольного треугольника равен тангенсу другого острого угла.

ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО:

Основное тригонометрическое тождество (ОТТ) – это выражение, которое связывает синус и косинус одного угла:

\(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\)

Докажем это тождество, используя теорему Пифагора.

1. Рассмотрим тригонометрические функции угла α:

\(\sin\alpha = \frac{прот.\ катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\)

\(\cos\alpha = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза} = \frac{b}{c}\)

2. Подставим эти отношения вместо тригонометрических функций. Получим:

\(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = \ \left( \frac{a}{c} \right)^{2} + \left( \frac{b}{c} \right)^{2} = \ \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}\)

3. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Значит:

\(\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1\)

Что и требовалось доказать.