Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Тригонометрия в геометрии

Тригонометрия – это раздел математики, изучающий тригонометрические функции и их использование в геометрии, в частности – в задачах, связанных с углами. Проще всего изучать углы в треугольнике, а конкретно – в прямоугольном треугольнике. Как раз из отношения сторон прямоугольного треугольника и появились функции синус, косинус, тангенс и котангенс.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ:

Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c и острыми углами \(\alpha\ и\ \beta\):

1. Синус и косинус:

  • Синус угла – отношение длин противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Для угла α противолежащим катетом является сторона а, для угла β – сторона b.

Тогда:

\(\sin\alpha = \frac{прот.\ катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\)

\(\sin\beta = \frac{прот.\ катет}{гипотенуза} = \frac{b}{c}\)

  • Косинус угла – отношение длин прилежащего этому углу катета к гипотенузе.

Для угла α прилежащим катетом является сторона b, для угла β – катет a.

Тогда:

\(\cos\alpha = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза}\frac{b}{c}\)

\(\cos\beta = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\)

Из-за того, что прилежащая сторона к одному углу является противоположной для другого угла, синус и косинус для углов \(\alpha\ и\ \beta\) повторяются:

\(\sin\alpha = \cos\beta\)

\(\cos\alpha = \sin\beta\)

Синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого острого угла.

Косинус одного острого угла прямоугольного треугольника равен синусу другого острого угла.

2. Тангенс и котангенс:

  • Тангенс угла – отношение длин противолежащего этому углу катета к прилежащему. Оно же равно отношению синуса этого угла к косинусу.

\(\text{tg\ α} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{\text{ac}}{\text{cb}} = \frac{a}{b} = \frac{прот.\ катет}{прил.\ катет}\)

\(tg\ \beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{b}{c} : \frac{a}{c} = \frac{\text{bc}}{\text{ca}} = \frac{b}{a} = \frac{прот.\ катет}{прил.\ катет}\)

  • Котангенс – отношение длин прилежащего этому углу катета к противолежащему. Оно же равно отношению косинуса этого угла к синусу.

\(\text{ctg\ }\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{b}{c} : \frac{a}{c} = \frac{\text{bc}}{\text{ca}} = \frac{b}{a} = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза}\)

\(ctg\ \beta = \frac{\cos\beta}{\sin\beta} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{\text{ac}}{\text{cb}} = \frac{a}{b} = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза}\)

Так же как для синуса и косинуса, тангенс и котангенс повторяются у двух острых углов прямоугольного треугольника:

\(tg\ \alpha = ctg\beta\)

\(\text{ctg\ α} = tg\ \beta\)

Тангенс одного острого угла прямоугольного треугольника равен котангенсу другого острого угла.

Котангенс одного острого угла прямоугольного треугольника равен тангенсу другого острого угла.

ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО:

Основное тригонометрическое тождество (ОТТ) – это выражение, которое связывает синус и косинус одного угла:

\(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1\)

Докажем это тождество, используя теорему Пифагора.

1. Рассмотрим тригонометрические функции угла α:

\(\sin\alpha = \frac{прот.\ катет}{гипотенуза} = \frac{a}{c}\)

\(\cos\alpha = \frac{прил.\ катет}{гипотенуза} = \frac{b}{c}\)

2. Подставим эти отношения вместо тригонометрических функций. Получим:

\(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = \ \left( \frac{a}{c} \right)^{2} + \left( \frac{b}{c} \right)^{2} = \ \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}\)

3. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Значит:

\(\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1\)

Что и требовалось доказать.