Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения Линейные уравнения Уравнения высших степеней Уравнения с модулем Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Иррациональные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения
Формулы и выражения
Тригонометрический круг Свойства степеней Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Одночлены Степени Формулы тригонометрии Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Многочлены
Параметр
Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем
Числа и действия с ними
Округление дробей Делимость Правила счёта Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Смешанные дроби и действия с ними Модуль Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними
Планиметрия
Метод координат на плоскости Площади четырёхугольников Комбинации с окружностью Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Серединный перпендикуляр Медиана Тригонометрия в геометрии Многоугольники Виды треугольников Теорема синусов и теорема косинусов Площадь круга и сектора круга Отношения в геометрии Теорема Пифагора Равенство фигур Прямоугольник Векторы Квадрат Простейшие расстояния на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Прямые и углы на плоскости Средняя линия Симметрия Трапеция Ромб Высота Движения Теорема Менелая и теорема Чевы Скалярное произведение векторов Параллелограммы Биссектриса Подобие фигур Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Элементы планиметрии Окружнoсть и круг Треугольники. Площади
Стереометрия
Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Призмы Тела вращения Двугранный угол Угол между прямой и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды
Анализ функций
Преобразование графиков функции Свойства функций Первообразная Квадратичная функция Графики тригонометрических функций Линейная функция Координатная плоскость Смысл производной Функция квадратного корня Кусочная функция Графическое применение производной Взаимное расположение графиков линейной функции Экстремумы Интеграл Функция обратной пропорциональности Функции Правила дифференцирования
Реальная математика
Прикладные задачи Множества Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Сложные проценты Комбинаторика Единицы измерения Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Основы комбинаторики Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Введение в текстовые задачи Экономические задачи. Кредиты Основы математической статистики Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде
Формат ЕГЭ
Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Элементы геометрии перпендикулярны, если они пересекаются под углом в 90°.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

Перпендикулярные прямые – это прямые, которые пересекаются под углом в 90°.

\(a\bot b\)

Лемма о параллельных прямых, перпендикулярных третьей:

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая прямая ей перпендикулярна.

\(\left. \ \frac{a \parallel b}{a\bot c} \right\} \Longrightarrow b\bot c\)

ПРЯМАЯ, ПЕРПЕДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ

Прямую называют перпендикулярной плоскости, когда прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признак перпендикулярность прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярная плоскости, когда она перпендикулярна двум пересекающимся на этой плоскости прямым:

\(\left. \ \frac{b,c \in \alpha}{\begin{matrix} b \cap c \\ a\bot b,c \\ \end{matrix}} \right\} \Longrightarrow a\bot\alpha\)

ТЕОРЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ:

Теорема 1

Через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, при том только одну.

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая тоже ей перпендикулярна.

\(\left. \ \frac{a \parallel b}{a\bot\alpha} \right\} \Longrightarrow b\bot\alpha\)

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Перпендикулярные плоскости – это плоскости, между которыми двугранный угол равен 90°.

Признак перпендикулярности плоскостей:

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

\(\left. \ \frac{a \in \alpha}{a\bot\beta} \right\} \Longrightarrow \alpha\bot\beta\)