Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Реальная математика
Множества Экономические задачи. Оптимизация Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Основы комбинаторики Сложные проценты Прикладные задачи Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Основы математической статистики Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Введение в текстовые задачи Вероятность Текстовые задачи на производительность Комбинаторика Текстовые задачи на проценты
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем
Числа и действия с ними
НОК и НОД Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Делимость Правила счёта Координатная прямая
Формат ЕГЭ
Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ
Планиметрия
Тригонометрия в геометрии Прямоугольник Медиана Скалярное произведение векторов Движения Площади четырёхугольников Комбинации с окружностью Квадрат Элементы планиметрии Многоугольники Окружнoсть и круг Симметрия Трапеция Ромб Подобие фигур Равенство фигур Площадь круга и сектора круга Серединный перпендикуляр Простейшие расстояния на плоскости Высота Четыре замечательные точки треугольника Метод координат на плоскости Отношения в геометрии Средняя линия Параллелограммы Теорема синусов и теорема косинусов Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора Треугольники. Площади Виды треугольников Биссектриса Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Менелая и теорема Чевы Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы
Стереометрия
Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Призмы Тела вращения Векторы в пространстве Движения в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Сечения в телах вращения Параллельность прямых и плоскостей Метод координат в пространстве Пирамиды Угол между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Двугранный угол Расстояние от точки до плоскости
Анализ функций
Первообразная Экстремумы Правила дифференцирования Функция обратной пропорциональности Свойства функций Функции Линейная функция Смысл производной Функция квадратного корня Взаимное расположение графиков линейной функции Графики тригонометрических функций Координатная плоскость Кусочная функция Интеграл Квадратичная функция Преобразование графиков функции Графическое применение производной
Уравнения
Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Уравнения высших степеней Простейшие тригонометрические уравнения Квадратные уравнения Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней Одночлены Разложение на множители. Группировка Степени Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения

Текстовые задачи на движение по воде

Текстовые задачи на движение по воде отличаются от задач на движение по прямой только наличием течения воды, которое нужно учитывать.

  • Если объект плывет по течению, то их общая скорость является результатом сложения их скоростей.

  • Если объект плывет против течения, то их общая скорость является результатом разности их скоростей.

  • При этом, если у объекта нет собственной скорости (это плот или транспорт, не имеющий двигателя), его скорость равна скорости течения воды.

Общая формула, связывающая скорость время и расстояние, остается неизменной:

\(S = \vartheta t\)

где \(S\) – расстояние, \(\vartheta\) – скорость, \(t\) – время.

Пример:

Моторная лодка прошла против течения 91 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

  1. Составим таблицу. В строчки назовем соответственно особенностям её движения в воде: против течения и по течению. За \(x\) обозначим искомое – скорость течения. Тогда скорость лодки по течению и против течения будут следующей:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. При этом и в одну, и в другую лодка проплыла одинаковое расстояние – 91 км:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. Выразим время, соответствующее каждому виду движения:

Изображение выглядит как снимок экрана, часы Автоматически созданное описание

  1. Составим уравнение, используя тот факт, что при движении по течению лодка потратила на 6 часов меньше, чем при движении против течения:

\(\frac{91}{10 + x} + 6 = \frac{91}{10\ –x}\)

  1. Приведем каждое слагаемое к общему знаменателю. В данном случае это знаменатель \((10 + + \ x)(10\ –x)\). Перенесем все слагаемые в одну сторону и раскроем скобки:

\(\frac{91\left( 10\ –x \right)}{\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)} + \frac{6\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)}{\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)} = \frac{91\left( 10 + x \right)}{\left( 10–x \right)\left( 10 + x \right)}\)

\(\frac{910\ –91x + 600\ –6x^{2}\ –910\ –91x}{100\ –x^{2}} = 0\)

  1. Дробь равна нулю, если числитель дроби равен нулю, а знаменатель – нет, т. е. \(x \neq \pm 10\), тогда:

\(910\ –91x + 600\ –6x^{2}\ –910\ –91x\)

\(–6x^{2}\ –182 + 600\ = 0\)

\(6x^{2} + 182\ –600 = 0\)

\(3x^{2} + 91\ –300 = 0\)

\(D = 91^{2} + 4 \bullet 3 \bullet 300 = 11881 = 109^{2}\)

\(\frac{x_{1} = \frac{–91 + 109}{6} = 3}{x_{2} = \frac{–91\ –109}{6} = \ –103}\)

  1. Проверим корни уравнения на адекватность. Искомая скорость течения не может быть отрицательной, значит ответом будет являться корень уравнения \(x_{1} = 3\). Запишем ответ.

Ответ: 3.