Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Реальная математика
Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Сложные проценты Комбинаторика Основы математической статистики Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Диаграммы, графики и таблицы Множества Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на проценты Метод математической индукции Текстовые задачи на производительность Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Прикладные задачи
Уравнения
Показательные уравнения Уравнения с модулем Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Иррациональные уравнения Методы решения уравнений Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения в целых числах
Числа и действия с ними
Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Делимость Модуль Координатная прямая
Формулы и выражения
Многочлены Тригонометрический круг Степени Формулы тригонометрии Свойства степеней Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Стереометрия
Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Элементы и аксиомы стереометрии Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол Пирамиды Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Призмы Сечения в многогранниках Перпендикулярность прямых и плоскостей Метод координат в пространстве Угол между прямой и плоскостью Тела вращения Расстояние от точки до плоскости Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости
Анализ функций
Координатная плоскость Линейная функция Преобразование графиков функции Экстремумы Квадратичная функция Функции Правила дифференцирования Смысл производной Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной Свойства функций Первообразная Графики тригонометрических функций Кусочная функция Интеграл Взаимное расположение графиков линейной функции Функция квадратного корня
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства
Планиметрия
Параллелограммы Тригонометрия в геометрии Комбинации с окружностью Площадь круга и сектора круга Средняя линия Теорема Пифагора Треугольники. Площади Трапеция Простейшие расстояния на плоскости Биссектриса Теорема Менелая и теорема Чевы Скалярное произведение векторов Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Медиана Виды треугольников Теорема синусов и теорема косинусов Метод координат на плоскости Движения Площади четырёхугольников Подобие фигур Равенство фигур Четыре замечательные точки треугольника Квадрат Высота Прямоугольник Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Отношения в геометрии Элементы планиметрии Векторы Многоугольники Окружнoсть и круг Симметрия Ромб Серединный перпендикуляр Прямые и углы на плоскости

Текстовые задачи на движение по воде

Текстовые задачи на движение по воде отличаются от задач на движение по прямой только наличием течения воды, которое нужно учитывать.

  • Если объект плывет по течению, то их общая скорость является результатом сложения их скоростей.

  • Если объект плывет против течения, то их общая скорость является результатом разности их скоростей.

  • При этом, если у объекта нет собственной скорости (это плот или транспорт, не имеющий двигателя), его скорость равна скорости течения воды.

Общая формула, связывающая скорость время и расстояние, остается неизменной:

\(S = \vartheta t\)

где \(S\) – расстояние, \(\vartheta\) – скорость, \(t\) – время.

Пример:

Моторная лодка прошла против течения 91 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

  1. Составим таблицу. В строчки назовем соответственно особенностям её движения в воде: против течения и по течению. За \(x\) обозначим искомое – скорость течения. Тогда скорость лодки по течению и против течения будут следующей:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. При этом и в одну, и в другую лодка проплыла одинаковое расстояние – 91 км:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. Выразим время, соответствующее каждому виду движения:

Изображение выглядит как снимок экрана, часы Автоматически созданное описание

  1. Составим уравнение, используя тот факт, что при движении по течению лодка потратила на 6 часов меньше, чем при движении против течения:

\(\frac{91}{10 + x} + 6 = \frac{91}{10\ –x}\)

  1. Приведем каждое слагаемое к общему знаменателю. В данном случае это знаменатель \((10 + + \ x)(10\ –x)\). Перенесем все слагаемые в одну сторону и раскроем скобки:

\(\frac{91\left( 10\ –x \right)}{\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)} + \frac{6\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)}{\left( 10 + x \right)\left( 10\ –x \right)} = \frac{91\left( 10 + x \right)}{\left( 10–x \right)\left( 10 + x \right)}\)

\(\frac{910\ –91x + 600\ –6x^{2}\ –910\ –91x}{100\ –x^{2}} = 0\)

  1. Дробь равна нулю, если числитель дроби равен нулю, а знаменатель – нет, т. е. \(x \neq \pm 10\), тогда:

\(910\ –91x + 600\ –6x^{2}\ –910\ –91x\)

\(–6x^{2}\ –182 + 600\ = 0\)

\(6x^{2} + 182\ –600 = 0\)

\(3x^{2} + 91\ –300 = 0\)

\(D = 91^{2} + 4 \bullet 3 \bullet 300 = 11881 = 109^{2}\)

\(\frac{x_{1} = \frac{–91 + 109}{6} = 3}{x_{2} = \frac{–91\ –109}{6} = \ –103}\)

  1. Проверим корни уравнения на адекватность. Искомая скорость течения не может быть отрицательной, значит ответом будет являться корень уравнения \(x_{1} = 3\). Запишем ответ.

Ответ: 3.