Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства
Стереометрия
Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Движения в пространстве Угол между плоскостями Пирамиды Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Сечения в телах вращения Призмы Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол Угол между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Тела вращения
Реальная математика
Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Метод математической индукции Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Основы математической статистики Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Оптимизация Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Экономические задачи. Вклады Прикладные задачи Комбинаторика Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Экономические показатели Вероятность Множества
Уравнения
Иррациональные уравнения Логарифмические уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Квадратные уравнения Показательные уравнения Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Числа и действия с ними
Смешанные дроби и действия с ними Модуль Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Делимость Правила счёта Обыкновенные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Свойства степеней Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Многочлены Степени Формулы тригонометрии
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Планиметрия
Движения Площадь круга и сектора круга Скалярное произведение векторов Отношения в геометрии Прямые и углы на плоскости Треугольники. Площади Трапеция Биссектриса Подобие фигур Метод координат на плоскости Высота Прямоугольник Комбинации с окружностью Квадрат Ромб Виды треугольников Тригонометрия в геометрии Теорема Пифагора Многоугольники Окружнoсть и круг Симметрия Площади четырёхугольников Теорема Менелая и теорема Чевы Серединный перпендикуляр Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Векторы Средняя линия Теорема синусов и теорема косинусов Равенство фигур Четыре замечательные точки треугольника Параллелограммы Простейшие расстояния на плоскости Элементы планиметрии Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана
Анализ функций
Кусочная функция Интеграл Функция квадратного корня Первообразная Экстремумы Смысл производной Графическое применение производной Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Квадратичная функция Линейная функция Координатная плоскость Преобразование графиков функции Функция обратной пропорциональности Графики тригонометрических функций Функции Правила дифференцирования

Текстовые задачи на движение по прямой

Задачи на движение – это задачи, в которых присутствуют такие характеристики движения как скорость, время и расстояние, которые связаны следующей формулой:

\(S = \vartheta t\)

где \(S\) – расстояние, \(\vartheta\) – скорость, \(t\) – время.

Через эту формулу можно выражать скорость и время:

\(\ \vartheta = \frac{S}{t}\)

\(t = \frac{S}{\ \vartheta}\)

Особенность движения по прямой заключается в том, что два объекта могут двигаться в одном направлении, а могут двигаться в разных направления (как разъезжаясь друг от друга, так и двигаясь навстречу).

ДВИЖЕНИЕ В РАЗНЫЕ СТОРОНЫ

В таком случае не важно, двигаются ли объекты друг к другу или расходятся друг от друга, важно, что они идут в разные стороны. Результат остается такой же.

Рассмотрим ситуацию, когда два человека находятся в одной точке и начинают удаляться друг от друга, при этом скорость каждого составляется 5 км\ч. Тогда через один час каждый из них пройдет по 5 км. Значит через один час между ними станет 5 км + 5 км = 10 км:

Еще через час они отдалятся еще на 10 км. То есть через два часа расстояние между ними станет равно 20 км:

То есть при движении в разные стороны общая скорость отдаления объектов друг от друга равна сумме их скоростей. В данном случае общая скорость равна 10 км\ч:

\(\vartheta_{общ} = \vartheta_{1} + \vartheta_{2} = 5\ км\backslash ч + 5\ км\backslash ч = 10\ км\backslash ч\)

Таким образом, если нам нужно посчитать, какое расстояние будет между этими объектами через определенное время, нам нужно перемножить их общую скорость и время отдаления.

\(S = \ \vartheta_{общ}t\)

где \(\text{S\ }\)– расстояние между объектами, \(t\) – время, за которое они отдаляются, \(\vartheta_{общ} = \vartheta_{1} + \vartheta_{2}\)

Например, через 3 часа расстояние между этими объектами будет равно:

\(S = 10\ км\backslash ч \bullet 3\ ч = 30\ км\)

То же самое происходит со средней скоростью, когда два объекта находятся на определенном расстоянии и начинают сближаться.

Пример №1:

Два человека находятся на расстоянии 16 км и начинают идти навстречу друг другу. Скорость первого человека равна 3 км\ч, а второго – 5 км\ч. Через сколько часов они встретятся?

  1. Рассмотрим, какова их скорость сближения. Для этого посмотрим, на сколько измениться расстояние между ними за один час:

Получается, что расстояние между двумя людьми уменьшилось за час на 3 + 5 = 8 км\ч, то есть на сумму их скоростей. Так мы убедились, что общая скорость расхождения и сближения объектов равна сумме их скоростей.

  1. Тогда эти люди встретятся, когда общей скоростью пройдут расстояние в 16 км, т. е.:

\(S = t \bullet \vartheta_{общ}\)

\(16\ км = t \bullet 8\ км\backslash ч\)

\(t = 16\ км : 8\ км\backslash ч = 2\ ч\)

Ответ: 2.

ДВИЖЕНИЕ В ОДНУ СТОРОНУ

Если два человека начинают идти из одной точки в одну сторону с разной скорость, то тот, кто идет медленнее начнет отставать от того, кто идет быстрее. Со временем расстояние между ними будет становиться все больше. Каждый час оно будет расти на разность скоростей людей. Эта разность скоростей будет их общей скоростью.

\(\vartheta_{общ} = \vartheta_{2}\ –\vartheta_{1}\)

Например, два человека идут из одной точки в одном направлении. Скорость первого равна 4 км\ч, а скорость второго равна 6 км\ч. То есть быстрый пешеход пройдет 6 км, а медленный 4. Значит между ними останется 2 км:

Еще через час расстояние между ними увеличится еще на 2 км:

Пример №1:

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

  1. Составим таблицу. Обозначим за \(x\) искомую величину – скорость велосипедиста, тогда скорость автомобилиста равна \(x + 40\):

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. При этом расстояние, которое они проезжают, одинаковое. Оно равно расстоянию между городами А и В, т. е. 75 км:

Изображение выглядит как снимок экрана, рисунок Автоматически созданное описание

  1. Тогда выразим время автомобилиста и велосипедиста зная их скорость и расстояние:

Изображение выглядит как снимок экрана Автоматически созданное описание

  1. При этом из условия задачи известно, что время, затраченное на этот путь автомобилистом, на 6 часов меньше, чем время велосипедиста. Составим и решим уравнение:

\(\frac{75}{x + 40} + 6 = \frac{75}{x}\)

  1. Приведем все к общему знаменателю, в данном случае \((x + 40)x\). Перенесем се слагаемые в одну сторону и раскроем скобки:

\(\frac{75x}{\left( x + 40 \right)x} + \frac{6\left( x + 40 \right)x}{\left( x + 40 \right)x} = \frac{75\left( x + 40 \right)}{x\left( x + 40 \right)}\)

\(\frac{75x + 6\left( x + 40 \right)x\ –75\left( x + 40 \right)}{\left( x + 40 \right)x} = 0\)

\(\frac{75x + 6x^{2} + 240x\ –\ 75x\ –3000}{\left( x + 40 \right)x} = 0\)

  1. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель - нет, т. е. \(x \neq \ –40\) и \(x \neq 0\), тогда:

\(75x + 6x^{2} + 240x\ –75x\ –3000 = 0\)

\(6x^{2} + 240x\ –3000 = 0\)

\(x^{2} + 40x\ –500 = 0\)

  1. По т. Виета:

\({x_{1} + x_{2} = \ –40 }{x_{1}x_{2} = \ –500}\)

Тогда:

\(\left. \ \frac{x_{1} = \ –50}{x_{2} = 10} \right\rbrack\)

  1. Проверим корни на адекватность. Мы принимали за \(x\) скорость велосипедиста, но скорость не может быть отрицательной, значит ответом будет являться только корень \(x = 10\). Запишем ответ.

Ответ: 10.