Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Реальная математика
Множества Экономические задачи. Оптимизация Экономические задачи. Кредиты Текстовые задачи на проценты Метод математической индукции Текстовые задачи на производительность Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Прикладные задачи Экономические задачи. Ценные бумаги Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Основы математической статистики Основы комбинаторики Вероятность Единицы измерения Сложные проценты Экономические задачи. Вклады Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Экономические показатели Комбинаторика Текстовые задачи на движение по воде
Уравнения
Линейные уравнения Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Однородные уравнения Уравнения в целых числах Системы уравнений с двумя переменными Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Иррациональные уравнения Показательные уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью двойного неравенства
Параметр
Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения
Неравенства
Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства
Числа и действия с ними
Округление дробей Делимость Правила счёта Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Смешанные дроби и действия с ними Модуль
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Одночлены Многочлены Степени Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг Свойства степеней Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения
Формат ЕГЭ
Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ
Планиметрия
Ромб Прямоугольник Теорема Пифагора Метод координат на плоскости Многоугольники Отношения в геометрии Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Менелая и теорема Чевы Медиана Скалярное произведение векторов Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Векторы Треугольники. Площади Простейшие расстояния на плоскости Высота Комбинации с окружностью Серединный перпендикуляр Квадрат Прямые и углы на плоскости Элементы планиметрии Средняя линия Параллелограммы Равенство фигур Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Движения Подобие фигур Трапеция Виды треугольников Тригонометрия в геометрии Четыре замечательные точки треугольника Окружнoсть и круг Симметрия
Стереометрия
Перпендикулярность прямых и плоскостей Метод координат в пространстве Движения в пространстве Двугранный угол Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Пирамиды Сечения в телах вращения Тела вращения Угол между плоскостями Призмы Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Параллельность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах
Анализ функций
Квадратичная функция Смысл производной Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Экстремумы Функция квадратного корня Кусочная функция Координатная плоскость Интеграл Функция обратной пропорциональности Свойства функций Графики тригонометрических функций Функции Правила дифференцирования Линейная функция Преобразование графиков функции Графическое применение производной

Угол между прямой и плоскостью

Чтобы найти угол между прямой и плоскость, нужно построить проекцию этой прямой на плоскость.

ПРОЕКЦИЯ

Проекция геометрической фигуры – это изображение, построенное посредством проведения перпендикуляров из каждой точки этой фигуры на плоскость.

Проекция прямой на плоскость – прямая, если угол между этой прямой и плоскостью меньше 90°.

Представим, что у нас есть прямая \(l\), которая пересекает плоскость α. Чтобы построить проекцию этой прямой, проведем из каждой её точки перпендикуляр к этой плоскости:

Тогда точки пересечения этих перпендикуляров с плоскостью выстроятся в одну прямую. Эта прямая и будет проекцией \(l'\).

Но мы знаем, что для построения прямой достаточно всего две точки. Одна точка у нас уже есть – это точка пересечения прямой \(l\) и плоскости α. Тогда, если мы проведем лишь один перпендикуляр из любой точки прямой \(l\), этого будет остаточно, чтобы построить проекцию:

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Угол между прямой и плоскостью – это угол, между прямой и её проекцией на эту плоскость.

\(l\) – прямая, не перпендикулярная α,

\(l'\) - её проекция на плоскость α, \( \gamma\) – угол между прямой \(l\) и плоскостью α.

Если угол между прямой и плоскостью равен 90°, то её проекцией на эту плоскость является точкой. В таком случае угол определяют через признак перпендикулярности прямой и плоскости.