Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Формат ЕГЭ
Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ
Планиметрия
Комбинации с окружностью Скалярное произведение векторов Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Менелая и теорема Чевы Теорема Пифагора Простейшие расстояния на плоскости Прямые и углы на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Высота Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Площадь круга и сектора круга Треугольники. Площади Серединный перпендикуляр Трапеция Параллелограммы Виды треугольников Биссектриса Равенство фигур Площади четырёхугольников Векторы Симметрия Ромб Метод координат на плоскости Движения Подобие фигур Прямоугольник Медиана Отношения в геометрии Элементы планиметрии Многоугольники Окружнoсть и круг Средняя линия Тригонометрия в геометрии Четыре замечательные точки треугольника Квадрат
Стереометрия
Элементы и аксиомы стереометрии Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Угол между прямой и плоскостью Призмы Двугранный угол Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Тела вращения Перпендикулярность прямых и плоскостей Движения в пространстве Сечения в телах вращения Расстояние от прямой до плоскости
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства
Числа и действия с ними
НОК и НОД Округление дробей Модуль Координатная прямая Делимость Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Анализ функций
Экстремумы Координатная плоскость Функция квадратного корня Интеграл Функция обратной пропорциональности Первообразная Графики тригонометрических функций Преобразование графиков функции Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Линейная функция Кусочная функция Квадратичная функция Правила дифференцирования Смысл производной Графическое применение производной Функции
Реальная математика
Экономические задачи. Экономические показатели Метод математической индукции Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по воде Множества Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на движение по прямой Вероятность Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Единицы измерения Основы математической статистики Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Комбинаторика Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Оптимизация
Уравнения
Квадратные уравнения Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Однородные уравнения Дробно-рациональные уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Показательные уравнения Уравнения с модулем Методы решения уравнений Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней
Формулы и выражения
Степени Формулы тригонометрии Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг Свойства степеней Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Многочлены Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции

Угол между прямой и плоскостью

Чтобы найти угол между прямой и плоскость, нужно построить проекцию этой прямой на плоскость.

ПРОЕКЦИЯ

Проекция геометрической фигуры – это изображение, построенное посредством проведения перпендикуляров из каждой точки этой фигуры на плоскость.

Проекция прямой на плоскость – прямая, если угол между этой прямой и плоскостью меньше 90°.

Представим, что у нас есть прямая \(l\), которая пересекает плоскость α. Чтобы построить проекцию этой прямой, проведем из каждой её точки перпендикуляр к этой плоскости:

Тогда точки пересечения этих перпендикуляров с плоскостью выстроятся в одну прямую. Эта прямая и будет проекцией \(l'\).

Но мы знаем, что для построения прямой достаточно всего две точки. Одна точка у нас уже есть – это точка пересечения прямой \(l\) и плоскости α. Тогда, если мы проведем лишь один перпендикуляр из любой точки прямой \(l\), этого будет остаточно, чтобы построить проекцию:

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Угол между прямой и плоскостью – это угол, между прямой и её проекцией на эту плоскость.

\(l\) – прямая, не перпендикулярная α,

\(l'\) - её проекция на плоскость α, \( \gamma\) – угол между прямой \(l\) и плоскостью α.

Если угол между прямой и плоскостью равен 90°, то её проекцией на эту плоскость является точкой. В таком случае угол определяют через признак перпендикулярности прямой и плоскости.