Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Анализ функций
Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Функция обратной пропорциональности Правила дифференцирования Смысл производной Интеграл Свойства функций Функции Экстремумы Графики тригонометрических функций Квадратичная функция Координатная плоскость Линейная функция Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Кусочная функция Графическое применение производной
Реальная математика
Экономические задачи. Ценные бумаги Экономические задачи. Экономические показатели Основы комбинаторики Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Оптимизация Вероятность Текстовые задачи на сплавы и смеси Экономические задачи. Вклады Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Введение в текстовые задачи Комбинаторика Основы математической статистики Текстовые задачи на движение по воде Множества Метод математической индукции Текстовые задачи на производительность Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Прикладные задачи
Уравнения
Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Уравнения с модулем Линейные уравнения Однородные уравнения Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства
Числа и действия с ними
Делимость Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Модуль
Стереометрия
Призмы Теорема о трёх перпендикулярах Расстояние от прямой до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Движения в пространстве Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды Сечения в многогранниках Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Метод координат в пространстве Тела вращения Двугранный угол Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Формулы сокращённого умножения Одночлены Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней Степени Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Разложение на множители. Группировка
Формат ЕГЭ
Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ
Планиметрия
Ромб Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Теорема Пифагора Треугольники. Площади Скалярное произведение векторов Многоугольники Трапеция Движения Подобие фигур Четыре замечательные точки треугольника Площадь круга и сектора круга Простейшие расстояния на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Элементы планиметрии Теорема Менелая и теорема Чевы Векторы Медиана Параллелограммы Виды треугольников Высота Равенство фигур Площади четырёхугольников Прямые и углы на плоскости Окружнoсть и круг Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Отношения в геометрии Тригонометрия в геометрии Квадрат Симметрия Биссектриса Прямоугольник Комбинации с окружностью Серединный перпендикуляр Средняя линия Метод координат на плоскости

Экономические задачи. Оптимизация

Задачи на оптимизацию – это блок экономических задач, для решения которых нужно найти наиболее выгодные условия для развития какого-либо предприятия.

ЧТО ТАКОЕ ОПТИМИЗАЦИЯ:

Из самого названия блока задач понятно, что нужно найти оптимальное решение. Когда у предпринимателя есть несколько путей развития своего бизнеса, ему нужно заранее просчитать, какой из них будет приносить больше прибыли. Он может выбрать один из них, а может их комбинировать. В таком случае встает вопрос о том, как это делать, с какого варианта начать и когда перейти ко второму.

Конкретных вопросов может быть огромное количество: с какого предприятия нанимать сотрудников, с какого завода закупать детали, как распределить зарплату и так далее. Этими вопросами занимается оптимизация.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПТИМИЗАЦИИ:

Конкретных формул для решения задач на оптимизацию нет. Нужно понимать, как связаны исходные данные с целью предпринимателя. Для этого составляются функции, описывающие зависимости прибыли от поставленных условий. При этом зачастую эти условия уже заданы функцией. В таком случае нужно понимать, что от чего зависит. Как прийти к такой функции, в которой присутствуют все условия, и при этом анализ данной функции показывает оптимальный вариант.

Если условие задано не функцией, а конкретными значениями, в любом случае, нужно будет найти зависимость между ними и искомой прибылью.

В задачах на оптимизацию нередко встречаются производные. Точки максимума и минимума могут показать наибольшую и наименьшую прибыль, если функция составлена в зависимости от неё.

Пример №1:

Александр владеет двумя кондитерскими фабриками. На фабрике А делают 100 шоколадных тортов в день или 70 фруктовых. На заводе В делают 80 шоколадных или 90 фруктовых тортов в день. При этом известно, что на потребительском рынке шоколадный торт стоит 300 рублей, а фруктовый 400. Александру нужно выбрать, какой завод будет производить шоколадные торты, а какой фруктовые, с тем условием, что завод может производить только один тип тортов в день (то есть или шоколадные, или фруктовые), но затраты на их производство одинаковые. Какую максимальную прибыль в день может иметь Александр при имеющихся данных?

  1. Фруктовые торты продаются по более высокой цене, при этом за день на фабрике В их делают больше. Очевидно, что этой фабрике стоит производить фруктовые торты. Тогда за день работы фабрики Александр будет получать максимальную прибыль с этого завода в размере:

\(S_{B} = 90 \bullet 400 = 36000\)

  1. Независимо от завода фруктовые торты на рынке продаются дороже, но на фабрике А их делают медленнее. Нужно проверить, будет ли производство фруктовых тортов на этой фабрике более выгодным, чем производство шоколадных тортов несмотря на то, что их делают меньше. Сравним доход фабрики А от производства шоколадных и фруктовых тортов:

\(S_{AФ} = 70 \bullet 400 = 28000\)

\(S_{\text{AШ}} = 100 \bullet 300 = 30000\)

\(28000 < 30000\)

Значит, фабрике А нужно производить шоколадные торты несмотря на то, что продаются по более низкой цене.

  1. Найдем общий доход Александра за день, при условии, что фабрика А производит шоколадные торты, а фабрика В – фруктовые:

\(S_{B} + S_{A} = 36000 + 30000 = 66000\)

Ответ: 66000.

Конечно, в реальных ситуациях предприниматели учитывают гораздо больше факторов, таких, как себестоимость, объём спроса на конкретный вид товара, а также могут производить разные виды товара на одном заводе в определенных пропорциях.

Пример №2:

Предприниматель увидел, что себестоимость одной единицы его продукции может быть выражена функцией \(S\left( x \right) = x^{2} - 8x + 17\) тыс. рублей, где \(x\) – это количество производимого в день товара. Сколько товара в день должен производить предприниматель, чтобы его себестоимость была минимальной?

  1. Мы знаем, что себестоимость одной единицы его продукции может быть выражена функцией \(x^{2} - 8x + 17\) тыс. рублей. Себестоимость зависит от количества товара, а это значит, что перед нами оптимизационная функция:

\(S\left( x \right) = x^{2} - 8x + 17\)

  1. Конечно, предприниматель заинтересован в наибольшей выгоде, тогда найдем количество производимого товара в день, при котором достигается минимум функции. Для этого нужно взять производную от данной функции и исследовать её на экстремумы:

\(S'\left( x \right) = 2x - 8\)

\(2x - 8 = 0\)

\(x = 4\)

Посмотрим, является ли себестоимость минимальной при \(x = 4\):

Действительно себестоимость будет минимальной, если производить 4 единицы товара в день. Запишем ответ.

Ответ: 4.

В этом примере мы увидели, что нужно исследовать функцию на точки экстремума и наибольшее и наименьшее значение, чтобы сделать вывод при решении оптимизационной задачи.