Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Стереометрия
Пирамиды Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Движения в пространстве Сечения в многогранниках Угол между плоскостями Призмы Тела вращения Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью
Неравенства
Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств
Числа и действия с ними
Делимость Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Модуль
Формулы и выражения
Разложение на множители. Группировка Многочлены Одночлены Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Тригонометрический круг Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Показательные выражения и свойства показательной функции
Планиметрия
Ромб Метод координат на плоскости Площади четырёхугольников Четыре замечательные точки треугольника Теорема Менелая и теорема Чевы Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Прямые и углы на плоскости Движения Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Отношения в геометрии Комбинации с окружностью Простейшие расстояния на плоскости Теорема синусов и теорема косинусов Равенство фигур Прямоугольник Элементы планиметрии Треугольники. Площади Симметрия Трапеция Параллелограммы Биссектриса Подобие фигур Квадрат Многоугольники Средняя линия Тригонометрия в геометрии Высота Серединный перпендикуляр Медиана Окружнoсть и круг Векторы Скалярное произведение векторов Виды треугольников Площадь круга и сектора круга Теорема Пифагора
Анализ функций
Графическое применение производной Функции Экстремумы Правила дифференцирования Координатная плоскость Преобразование графиков функции Первообразная Интеграл Смысл производной Функция квадратного корня Функция обратной пропорциональности Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Графики тригонометрических функций Квадратичная функция Линейная функция Кусочная функция
Реальная математика
Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Экономические задачи. Оптимизация Вероятность Текстовые задачи на проценты Диаграммы, графики и таблицы Множества Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Кредиты Комбинаторика Основы математической статистики Геометрическая прогрессия Экономические задачи. Вклады Арифметическая прогрессия Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси Прикладные задачи Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на доли и дроби Единицы измерения Текстовые задачи на движение по воде
Уравнения
Системы уравнений с двумя переменными Логарифмические уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Методы решения уравнений Квадратные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Однородные уравнения Иррациональные уравнения
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ

Экономические задачи. Оптимизация

Задачи на оптимизацию – это блок экономических задач, для решения которых нужно найти наиболее выгодные условия для развития какого-либо предприятия.

ЧТО ТАКОЕ ОПТИМИЗАЦИЯ:

Из самого названия блока задач понятно, что нужно найти оптимальное решение. Когда у предпринимателя есть несколько путей развития своего бизнеса, ему нужно заранее просчитать, какой из них будет приносить больше прибыли. Он может выбрать один из них, а может их комбинировать. В таком случае встает вопрос о том, как это делать, с какого варианта начать и когда перейти ко второму.

Конкретных вопросов может быть огромное количество: с какого предприятия нанимать сотрудников, с какого завода закупать детали, как распределить зарплату и так далее. Этими вопросами занимается оптимизация.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПТИМИЗАЦИИ:

Конкретных формул для решения задач на оптимизацию нет. Нужно понимать, как связаны исходные данные с целью предпринимателя. Для этого составляются функции, описывающие зависимости прибыли от поставленных условий. При этом зачастую эти условия уже заданы функцией. В таком случае нужно понимать, что от чего зависит. Как прийти к такой функции, в которой присутствуют все условия, и при этом анализ данной функции показывает оптимальный вариант.

Если условие задано не функцией, а конкретными значениями, в любом случае, нужно будет найти зависимость между ними и искомой прибылью.

В задачах на оптимизацию нередко встречаются производные. Точки максимума и минимума могут показать наибольшую и наименьшую прибыль, если функция составлена в зависимости от неё.

Пример №1:

Александр владеет двумя кондитерскими фабриками. На фабрике А делают 100 шоколадных тортов в день или 70 фруктовых. На заводе В делают 80 шоколадных или 90 фруктовых тортов в день. При этом известно, что на потребительском рынке шоколадный торт стоит 300 рублей, а фруктовый 400. Александру нужно выбрать, какой завод будет производить шоколадные торты, а какой фруктовые, с тем условием, что завод может производить только один тип тортов в день (то есть или шоколадные, или фруктовые), но затраты на их производство одинаковые. Какую максимальную прибыль в день может иметь Александр при имеющихся данных?

  1. Фруктовые торты продаются по более высокой цене, при этом за день на фабрике В их делают больше. Очевидно, что этой фабрике стоит производить фруктовые торты. Тогда за день работы фабрики Александр будет получать максимальную прибыль с этого завода в размере:

\(S_{B} = 90 \bullet 400 = 36000\)

  1. Независимо от завода фруктовые торты на рынке продаются дороже, но на фабрике А их делают медленнее. Нужно проверить, будет ли производство фруктовых тортов на этой фабрике более выгодным, чем производство шоколадных тортов несмотря на то, что их делают меньше. Сравним доход фабрики А от производства шоколадных и фруктовых тортов:

\(S_{AФ} = 70 \bullet 400 = 28000\)

\(S_{\text{AШ}} = 100 \bullet 300 = 30000\)

\(28000 < 30000\)

Значит, фабрике А нужно производить шоколадные торты несмотря на то, что продаются по более низкой цене.

  1. Найдем общий доход Александра за день, при условии, что фабрика А производит шоколадные торты, а фабрика В – фруктовые:

\(S_{B} + S_{A} = 36000 + 30000 = 66000\)

Ответ: 66000.

Конечно, в реальных ситуациях предприниматели учитывают гораздо больше факторов, таких, как себестоимость, объём спроса на конкретный вид товара, а также могут производить разные виды товара на одном заводе в определенных пропорциях.

Пример №2:

Предприниматель увидел, что себестоимость одной единицы его продукции может быть выражена функцией \(S\left( x \right) = x^{2} - 8x + 17\) тыс. рублей, где \(x\) – это количество производимого в день товара. Сколько товара в день должен производить предприниматель, чтобы его себестоимость была минимальной?

  1. Мы знаем, что себестоимость одной единицы его продукции может быть выражена функцией \(x^{2} - 8x + 17\) тыс. рублей. Себестоимость зависит от количества товара, а это значит, что перед нами оптимизационная функция:

\(S\left( x \right) = x^{2} - 8x + 17\)

  1. Конечно, предприниматель заинтересован в наибольшей выгоде, тогда найдем количество производимого товара в день, при котором достигается минимум функции. Для этого нужно взять производную от данной функции и исследовать её на экстремумы:

\(S'\left( x \right) = 2x - 8\)

\(2x - 8 = 0\)

\(x = 4\)

Посмотрим, является ли себестоимость минимальной при \(x = 4\):

Действительно себестоимость будет минимальной, если производить 4 единицы товара в день. Запишем ответ.

Ответ: 4.

В этом примере мы увидели, что нужно исследовать функцию на точки экстремума и наибольшее и наименьшее значение, чтобы сделать вывод при решении оптимизационной задачи.