Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Реальная математика
Диаграммы, графики и таблицы Множества Экономические задачи. Экономические показатели Метод математической индукции Текстовые задачи на движение по воде Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Экономические задачи. Кредиты Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Единицы измерения Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Оптимизация Основы математической статистики Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Ценные бумаги Вероятность Сложные проценты Комбинаторика Прикладные задачи
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств
Числа и действия с ними
Делимость Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними
Формат ЕГЭ
Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ
Планиметрия
Скалярное произведение векторов Средняя линия Ромб Равенство фигур Площади четырёхугольников Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Теорема Менелая и теорема Чевы Векторы Отношения в геометрии Параллелограммы Виды треугольников Высота Подобие фигур Многоугольники Трапеция Простейшие расстояния на плоскости Серединный перпендикуляр Теорема синусов и теорема косинусов Медиана Элементы планиметрии Треугольники. Площади Движения Квадрат Симметрия Площадь круга и сектора круга Биссектриса Тригонометрия в геометрии Метод координат на плоскости Комбинации с окружностью Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Прямые и углы на плоскости Окружнoсть и круг Теорема Пифагора Соотношение между сторонами и углами в треугольнике
Стереометрия
Двугранный угол Расстояние от точки до плоскости Движения в пространстве Призмы Сечения в многогранниках Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Угол между прямой и плоскостью Параллельность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Тела вращения Пирамиды Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Расстояние от прямой до плоскости
Анализ функций
Взаимное расположение графиков линейной функции Графики тригонометрических функций Функция обратной пропорциональности Первообразная Координатная плоскость Линейная функция Преобразование графиков функции Свойства функций Функции Экстремумы Смысл производной Интеграл Квадратичная функция Правила дифференцирования Функция квадратного корня Кусочная функция Графическое применение производной
Уравнения
Иррациональные уравнения Показательные уравнения Линейные уравнения Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Простейшие тригонометрические уравнения Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Дробно-рациональные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Многочлены Тригонометрический круг Показательные выражения и свойства показательной функции

Смысл производной

Геометрический смысл производной

Уравнение касательной в точке \(x_{0}\) выглядит следующим образом:

\(y = f^{'}\left( x_{0} \right)x - f^{'}\left( x_{0} \right) \bullet x_{0} + f\left( x_{0} \right)\)

\(f^{'}\left( x_{0} \right)\) — значение производной в точке \(x_{0}\)

\(x_{0} - \ \)координата самой точки

\(f\left( x_{0} \right)\) — значение функции в точке \(x_{0}\)

Производная функции в точке \(x_{0}\) равна коэффициенту наклона касательной, проведенной в точке \(x_{0}\):

\(f^{'}\left( x_{0} \right) = k = tg\ \alpha\)

Отсюда можно сделать несколько выводов о том, как связаны значение производной и поведение функции:

1. Функция возрастает.

Если функция возрастает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет вправо, значит, ее коэффициент наклона положительный (k > 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же положительна.

\(Функция\ возрастает\ \Rightarrow f^{'}\left( x_{0} \right) > 0\)

2. Функция убывает.

Если функция убывает, но наклон касательной, проведенной в любой точке промежутка возрастания будет влево, значит, ее коэффициент наклона отрицательный (k < 0). Из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной можно сказать, что производная будет так же отрицательна.

\(Функция\ убывает\ \Rightarrow f^{'}\left( x_{0} \right) < 0\)

3. Экстремум.

Точки экстремума, отличаются тем, что в них функция и не возрастает, и не убывает. Если провести касательную в точке экстремума, то она будет строго горизонтальна, то есть ее наклон равен 0. А значит, и производная равна 0 (из соотношения между значением производной и коэффициентом наклона касательной выше).

\(Точка\ экстремума\ \Rightarrow f^{'}\left( x_{0} \right) = 0\)

Точка максимума

До неё функция возрастает, после него убывает. В точке максимума производная сменяет свой знак с плюса на минус.

\(Максимум:\ f^{'}\left( x_{0} \right)\ \mathbf{+ \ \Rightarrow \ -}\)

Точка минимума

До неё функция убывает, после него возрастает. В точке минимума производная сменяет свой знак с минуса на плюс.

\(Минимум:\ f^{'}\left( x_{0} \right)\mathbf{- \ \Rightarrow \ +}\)

Физический смысл производной

Допустим есть некоторая точка, которая двигается вдоль оси ОХ, и ее координата меняется со временем по закону \(x(t)\). Получается, что \(x\left( t \right)\) — это функция того, как меняется расстояние.

Мы знаем определение производной: это темп изменения функции. Если говорить про темп изменения расстояния, то можно догадаться, что это скорость.

То есть:

Чтобы найти скорость материальной точки, необходимо взять производную от функции координаты:

\(v\left( t \right) = x'(t)\)

Темп изменения скорости – это ускорение. Поэтому:

Чтобы найти ускорение, необходимо взять производную от функции скорости, то есть вторую производную от координаты:

\(a\left( t \right) = v^{'}\left( t \right) = x''(t)\)

Таким образом, скорость материальной точки — это первая производная от функции расстояния (координаты), а ускорение – вторая производная от функции расстояния.