Экономические задачи. Кредиты

Задачи на кредиты – наиболее часто встречающиеся экономические задачи. Здесь вы можете встретить различные схемы возврата кредита одинаковыми и разными платежами. Для решения задач на кредиты нужно понимать, что это такое, как действуют операции с кредитами и как они связаны с формулой сложного процента.

ЧТО ТАКОЕ КРЕДИТ:

Кредит происходит от латинского слова «доверие». Это такая экономическая операция, при которой банк отдает вам на время свои деньги, рассчитывая, что вы вернете их с процентами за то, что имели возможность их использовать. Кредит похож на вклад, только при вкладе банк платит вам за пользование вашими деньгами, а при кредите вы платите банку за пользование его деньгами.

Проценты по кредиту начисляются спустя определенный расчётный период – каждый месяц или год. При этом они почти всегда начисляются на оставшийся долг, то есть если за некоторое время вы успели закрыть часть долга, то в следующий раз, когда будут начисляться проценты, они начислятся на меньшую сумму. То есть обычно чем быстрее вы выплачиваете долг, тем меньше процентов вы заплатите поверх денег, которые занимали.

Существуют различные схемы выплат кредита. Можно выплачивать долг равными платежами, а можно выплачивать процент от оставшегося долга. Так как он уменьшается с каждой выплатой, то каждая новая выплата будет меньше. Тогда долг выплачивается неравными платежами.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ КРЕДИТА:

Чтобы правильно решать такие задачи, необходимо владеть формулой сложных процентов. Каждый последующий год процент начисляется не на исходную сумму, а на исходную сумму, увеличенную предыдущим начислением процентов. Отсюда выходит формула начисления процента в задачах на кредит:

Далее будет рассмотрено несколько простых подготовительных задач для понимания сути кредита и возможных вариантов выплат.

Наталья взяла в кредит 100 000 рублей в банк под 6% годовых на 3 года. Какую сумму Наталья должна будет вернуть банку через:

1. один год;
2. два года;
3. три года,

если за этот период она не выплачивала долг?

1. Рассчитаем по формуле сложного процента, какая станет сумма долга через один год:

\(S_{1} = 100\ 000\left( 1 + \frac{6}{100} \right) = 100\ 000 \bullet 1,06 = 106\ 000\)

2. Теперь посчитаем долг, который накопится за два года:

\(S_{2} = 100\ 000\left( 1 + \frac{6}{100} \right)^{2} = 100\ 000 \bullet {1,06}^{2} = 106\ 000 \bullet 1,06 = 112\ 360\)

3. Аналогично посчитаем долг через три года:

\(S_{3} = 100\ 000\left( 1 + \frac{6}{100} \right)^{3} = 112\ 360 \bullet 1,06 = 119\ 101,6\)

Ответ:\(\ 106\ 000\); \(112\ 360\); \(119\ 101,6\).

В декабре 2020 года планируется взять срочный кредит на 50 000 рублей под 20% в месяц. Первого числа каждого месяца, начиная с января, на долг начисляются проценты, а с 15 по 20 число каждого месяца погашают долг на 20 000 рублей. Сумма выплат в последнем месяце может быть меньше. В каком месяце долг будет полностью погашен?

1. Составим таблицу, в которую будем заносить состояние долга на первое число каждого месяца – когда начисляются проценты, и на оставшуюся часть года, когда выплачивается по 20 000:

2. В декабре 2020 был взят кредит в 50 000, на который сразу в январе 1 числа начислили 20%. А до конца этого же месяца полученная сумма уменьшилась на 20 000. Занесем это в таблицу:

3. Сумма долга не равна нулю, значит 1 февраля на оставшуюся сумму начислят снова 20%:

И в течение месяца снова погасят долг на 20 000:

4. Аналогично 1 марта начислится 20%, а в течение месяца полученная сумма уменьшится на 20 000:

5. И снова долг не равен нулю, значит он перейдет в апрель:

И тогда последняя выплата будет меньше 20 000 и закроет весь оставшийся долг:

Таким образом долг полностью будет погашен в апреле.

Конечно, кредит с такими большими начислениями – редкость, но и такое бывает. И нужно очень внимательно читать и интерпретировать условия кредита.

Ответ: апрель.

Олег взял в банке кредит на 100 тыс. рублей на 3 года под 10% годовых. В начале каждого года, начиная с года займа, начисляются процент по кредиту, а в течение этого года выплачивается часть долга. Олег был не очень хорошим заёмщиком, поэтому в течение первого года долг он не выплачивал совсем. В течение второго года он вернул банку 70 тыс. рублей, а в течение третьего года погасил долг полностью. Сколько тыс. рублей Олег вернул банку?

\(S_{2} = 100 \bullet \left( 1 + \frac{10}{100} \right)^{2} = 100 \bullet {1,1}^{2}\)

1. Уже в течение второго Олег отдал банку 70 тыс., то есть:

\(100 \bullet {1,1}^{2} - 70\)

2. В начале третьего года на эту сумму снова наложили 10%, после чего он выплатил некую сумму, которая обратила долг в ноль:

\(\left( 100 \bullet {1,1}^{2} - 70 \right) \bullet 1,1 - x = 0\)

Таким образом мы составили уравнение, в котором \(x\) – это количество тыс. рублей, которым Олег закрыл оставшийся долг. Решим это уравнение:

\(x = \left( 100 \bullet {1,1}^{2} - 70 \bullet \right)1,1\)

\(x = 100 \bullet {1,1}^{3} - 70 \bullet 1,1\)

\(x = 133,1 - 77 = 56,1\)

3. То есть Олег всего заплатил банку

\(70 + 56,1 = 126,1\ тыс.\ рублей\)

Ответ: 126,1.