Множества

Например, существует множество всех людей на Земле или множество всех существующих самолетов, множество Российских Императоров или множество книг в библиотеке школы №8 города Урюпинска.

ЭЛЕМЕНТЫ МНОЖЕСТВА:

В математике чаще всего рассматривают не конкретные вещи, а абстрактные элементы. Это могут быть числа, выражение или буквы.

Множества обозначаются большими латинскими буквами, например А, В, С и т. д. Элементы множества, т. е. то, из чего оно состоит – маленькими латинскими буквами.

Например:

\(А = \left\{ a,\ b,\ c,\ d... \right\}\)

Это значит, что существует некое множество А, состоящее из элементов a, b, c и так далее.

Можно отдельно описывать ситуацию в обратную сторону, когда конкретный элемент или элементы является частью множества, например:

\(a \in A\)

\(b \in A\)

\(c,\ d \in A\)

Если существует конечное число элементов множества, то оно называется конечным. Если нет, тогда множество бесконечное.

Например, множество \(\mathbb{N}\) натуральных чисел бесконечное. Мы можем перечислить несколько элементов этого множества, но конечное мы никогда не узнаем.

Задать множество можно двумя способами:

1. Способ задания множества перечислением всех его элементов.

Например:

\(А = \left\{ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10 \right\}\)

Конечно, задать множество перечислением его элементов возможно, если это множество конечное. Но это неудобно, если множество конечное, но состоит из огромного количества элементов. Таким способом невозможно перечислить, например, всех муравьев на Земле.

2. Способ задания множества свойствами его элементов.

В предыдущем пункте множество А состоит из всех чисел от одного до 10 включительно, тогда можем задать это множество так:

Множество А – это множество, все элементы a, которого равны от 1 до 10 включительно.

Математическим языков мы запишем это так:

\(А = \left\{ a\left| 1 \leq a \leq 10 \right.\ \right\}\)

Это значит, что для каждого элемента a множества А соблюдается условие \(1 \leq a \leq 10\).

Записывается это как \(В = \varnothing\)

ПОДМНОЖЕСТВА:

Если множество не пустое, то в нём можно выделить подмножество. Оно будет являться самостоятельным множеством, которое полностью включено в другое.

Например, мы знаем, что множество рациональных чисел \(\mathbb{R}\) включает в себя множество целых чисел \(\mathbb{Z}\), а множество целых\(\ \mathbb{Z}\), в свою очередь включает в себя множество натуральных чисел \(\mathbb{N}\):

\(\mathbb{N}\mathbb{\subset Z \subset R}\)

Это значит, что каждый элемент множества ℕ является элементом множества \(\mathbb{Z}\) и \(\mathbb{\text{R.}}\) Но не все элементы множеств \(\mathbb{Z}\) и \(\mathbb{R}\) не являются элементами множества \(\mathbb{N}\).

Например:

\(1 \in \mathbb{N \Rightarrow}1 \in \mathbb{Z,\ R}\)

\(0 \in \mathbb{Z \Rightarrow}0 \in \mathbb{R}\)

\(–\frac{7}{3}\mathbb{\in R,\ –}\frac{7}{3}\mathbb{\notin N,\ Z\ }\)

Такая круговая схема называется кругами Эйлера-Венна, названной в честь двух математиков. На такой схеме наглядно можно рассматривать расположение различных множеств и подмножеств относительно друг друга.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ:

Если существуют элементы, которые принадлежат двум множествам сразу, при этом ни одно из множеств не является подмножеством другого (как например целые и натуральные числа), то такой элемент находится на пересечении этих множеств. Круги Эйлера-Венна наглядно могут это показать:

Все элементы, находящиеся на пересечении двух множеств, составляют новое множество пересечения:

\(С = А \cap В = \left\{ x\left| x \in A,\ x \in B \right.\ \right\}\)

Такая запись означает, что множество С – это множество, образованное пересечение множеств А и В, при этом оно состоит из элементов х, при условии, что x принадлежит и множеству А, и множеству В.

Знак \(\cap\) означает пересечение и является эквивалентом операции «И». То есть каждый элемент x принадлежит множеству А И В.

Пересечение множеств применяется там, где нужно, чтобы какой-либо элемент обладал сразу двумя свойствами. Например, система имеет решение тогда, когда искомые переменные удовлетворяют всем её уравнениям одновременно, то есть находятся на пересечении всех решений.

Обозначьте на схеме Эйлер-Венна следующие множества:

Всего в классе 25 учеников. 15 из них изучают английский язык, 14 – немецкий.

1. Если учеников, изучающих английский и немецкий языки в сумме больше, чем 25, это значит, что некоторые ученики изучают оба языка сразу. Такие ученики попадут как раз в пересечения множеств учеников, изучающих И английский И немецкий языки.

Найдем количество учеников на пресечении множеств:

\(\left( 15 + 14 \right)–25 = 29–25 = 4\)

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ:

Если нам нужны любые элементы, которые принадлежат А ИЛИ Б, то мы говорим об объединении этих множеств:

\(А \cup В = \left\{ x\left| x \in A\ или\ x \in B \right.\ \right\}\)

В таком случае любой элемент, неважно, попадает он только в область А, только в область В или на их пересечения, попадает в объединение множеств А и В. В таком случае, достаточно, чтобы элемент x принадлежал А ИЛИ В. Множество таких элементов, образуют новое множество.

Объединение множеств применяется в тех случаях, когда достаточно, чтобы элемент подходил хотя бы одному множеству. Например, решением совокупности уравнений будут являться все решения данных уравнений, то есть объединений всех корней.

Рассмотрим пример с тем же классом.

Если мы хотим обозначить множество учеников, которые занимаются английским ИЛИ немецким языком. Таким образом, любой ученик в классе учит английский ИЛИ немецкий ИЛИ оба языка сразу. Тогда нам подойдет весь класс из 25 человек:

РАЗНОСТЬ МНОЖЕСТВ:

Разность множеств обозначается как А/В. Это означает область А, из которой убрали всю область В. То есть элемент, попадающий в такую разность, принадлежит области А, и не принадлежит области В:

\(А/В = \left\{ x\left| x \in A,\ x \notin B \right.\ \right\}\)

Разность В/А, означает область В, из которой убрали всю область А. То есть элемент, попадающий в эту разность, будет принадлежать В, но не будет принадлежать А:

\(В/А = \left\{ x\left| x \in В,\ x \notin А \right.\ \right\}\)

1. Найдем всех учеников, которые изучают английский, но НЕ изучают немецкий.

Для этого из множества всех учеников нужно вычесть множество тех, кто изучают немецкий:

25. \(–\ 14\ = \ 11\)

2. И найдем всех учеников, которые изучают немецкий и НЕ изучают английский:

Для этого из множества всех учеников нужно вычесть множество тех, кто изучает английский:

\(25\ –\ 15 = 10\)

АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ:

Комбинируя операции пересечения, объединения и разности можно проводить с множествами алгебраические операции.

Объединение множеств эквивалентно сложению чисел, пересечение множеств – произведению, разность – разности чисел.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ:

На основе этого алгебраические действия с множествами имеют следующие свойства:

1. Свойство коммутативности (перестановки) объединения и пересечения:

\(A \cup B = B \cup A\)

\(A \cap B = B \cap A\)

2. Свойство ассоциативности (сочетательное) объединения и пересечения:

\(A \cup \left( B \cup C \right) = \left( A \cup B \right) \cup C\)

\(A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\)

3. Свойство дистрибутивности (распределения) пересечения относительно объединения:

\(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)

4. Операции с пустыми множествами:

\({A \cup \varnothing = A }{A \cap \varnothing = \varnothing}\)

Если рассмотреть пустое множество как 0, пересечение как произведение, а объединение как сложение, то мы видим, что при сложении с нулём число не меняется, а при произведении с нулем, получается ноль.

СВОЙСТВА МНОЖЕСТВ, НЕ ИМЕЮЩИЕ АНАЛОГОВ В АЛГЕБРЕ:

У множеств также есть специфичные свойства:

1. \(А \cup (В \cap С) = (А \cup В) \cap (А \cup С)\)

Это значит, что сумма пересечение множеств В и С с множеством А – то же самое, что сумма множеств А и В в пересечении с суммой множеств А и С:

Если \(А \subset В\):

2. \(А \cup В = А\) – Сумма А и В – это и есть множество А.

3. \(А \cap В = В\) – Пересечение А и В занимает всё множество В.

4. \(А \cup А = А\)

5. \(А \cap А = А\)

Пересечение и сумма любого множества с собой же равно этому множеству.

На доске нарисованы два круга, внутри которых отмечено несколько точек. Внутри первого из них всего 190 отмеченных точек. Внутри второго — всего 230 отмеченные точки. Внутри обоих кругов одновременно находится ровно 70 точек. А сколько отмеченных точек всего?

1. Всю данную информацию на кругах Эйлер-Венна:

Нам нужно найти сумму всех точек на этих двух кругах, т. е.:

2. Представим эти круги как два множества:

Множество А – это первое множество без пересечения со вторым:

А = 190 – 70 = 120

Множество В – второе множество:

В = 230 п условию

3. Сумма множеств А и В равна сумме всех точек в этих окружностях:

\(А + В = 120 + 230 = 350\)

Ответ: 350.