8 800 707 02 98
Новогодний SALE
Новогодний SALE
Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Неравенства с модулем

Изобразим график функции y=xy = |x| и несколько прямых, параллельных оси Ох.

Модуль больше отрицательного числа. Модуль меньше отрицательного числа.

Глядя на график, легко убедиться, что если неравенство имеет вид x>1\left| x \right| > - 1 , то его решением будет любое число.

В тоже время неравенство x<1\left| x \right| < - 1 решение иметь не будет, так как неотрицательное число не может быть меньше отрицательного.

Модуль больше положительного числа. Модуль меньше положительного числа.

Теперь сравним модуль с положительным числом. Рассмотрим такой пример: x<1\left| x \right| < 1. На графике это соответствует нижней части «уголка».

Раскроем модуль как обычно.

На положительном промежутке числовой прямой раскрываем модуль с изначальным знаком:

На отрицательном промежутке числовой прямой раскрываем модуль с противоположным знаком:

Мы рассматривали 2 случая, то есть формально получили совокупность двух систем.

Значит, решения, полученные в каждом случае, необходимо объединить.

Получим, что x(1;1)x \in ( - 1;1)

В общем виде решение неравенства, вида f(x)<a\left| f\left( x \right) \right| < a будет иметь вид:

Более кратко имеем:

f(x)aa<f(x)<a|f\left( x \right)| \leq a \Longleftrightarrow - a < f\left( x \right) < a

Теперь давайте перейдем к неравенству вида x>1\left| x \right| > 1. На графике ему соответствуют «рожки». Раскроем модули для каждого случая.

На положительном промежутке числовой прямой раскрываем модуль с изначальным знаком

На отрицательном промежутке числовой прямой раскрываем модуль с противоположным знаком:

Теперь нам опять оба случая необходимо объединить совокупностью и затем объединить решения.

Тогда x(;1)(1;+)x \in ( - \infty;1) \cup (1; + \infty).

Этот результат соответствует тому, что видно на графике.

В общем виде решение неравенства, вида f(x)>a\left| f\left( x \right) \right| > a будет иметь вид:

Более кратко имеем:

Несколько модулей

Неравенство может так же содержать несколько модулей.

f(x)+g(x)++p(x)<a\left| f\left( x \right) \right| + \left| g\left( x \right) \right| + \ldots + \left| p\left( x \right) \right| < a или f(x)+g(x)++p(x)>a\left| f\left( x \right) \right| + \left| g\left( x \right) \right| + \ldots + \left| p\left( x \right) \right| > a.

Для решения такого вида неравенств следует воспользоваться алгоритмом:

  1. Определить критические точки и разделить прямую на промежутки;
  2. В каждом из промежутков раскрыть модуль с соответствующим знаком;
  3. Для каждого случая решить систему неравенств;
  4. Объединить полученные результаты.

Пример.

x+3+2x1>5\left| x + 3 \right| + \left| 2x - 1 \right| > 5

  1. Определим критические точки:

x+3=0x=3x + 3 = 0 \rightarrow x = - 3

2x1=0x=0,52x - 1 = 0 \rightarrow x = 0,5

  1. Решим каждую из полученных систем:
  1. Объединим полученные результаты:

Возведение в квадрат

Неравенства вида f(x)<g(x)\left| f\left( x \right) \right| < \left| g\left( x \right) \right| решают возведением в квадрат обеих частей.

Пример.

x+3<x1\left| x + 3 \right| < \left| x - 1 \right|

(x+3)2<(x1)2\left( x + 3 \right)^{2} < \left( x - 1 \right)^{2}

x2+6x+9<x22x+1x^{2} + 6x + 9 < x^{2} - 2x + 1

6x+2x<196x + 2x < 1 - 9

8x>88x > - 8

x>1x > - 1