Изобразим график функции и несколько прямых, параллельных оси Ох.
Модуль больше отрицательного числа. Модуль меньше отрицательного числа.
Глядя на график, легко убедиться, что если неравенство имеет вид , то его решением будет любое число.
В тоже время неравенство решение иметь не будет, так как неотрицательное число не может быть меньше отрицательного.
Модуль больше положительного числа. Модуль меньше положительного числа.
Теперь сравним модуль с положительным числом. Рассмотрим такой пример: . На графике это соответствует нижней части «уголка».
Раскроем модуль как обычно.
На положительном промежутке числовой прямой раскрываем модуль с изначальным знаком:
На отрицательном промежутке числовой прямой раскрываем модуль с противоположным знаком:
Мы рассматривали 2 случая, то есть формально получили совокупность двух систем.
Значит, решения, полученные в каждом случае, необходимо объединить.
Получим, что
В общем виде решение неравенства, вида будет иметь вид:
Более кратко имеем:
Теперь давайте перейдем к неравенству вида . На графике ему соответствуют «рожки». Раскроем модули для каждого случая.
На положительном промежутке числовой прямой раскрываем модуль с изначальным знаком
На отрицательном промежутке числовой прямой раскрываем модуль с противоположным знаком:
Теперь нам опять оба случая необходимо объединить совокупностью и затем объединить решения.
Тогда .
Этот результат соответствует тому, что видно на графике.
В общем виде решение неравенства, вида будет иметь вид:
Более кратко имеем:
Несколько модулей
Неравенство может так же содержать несколько модулей.
или .
Для решения такого вида неравенств следует воспользоваться алгоритмом:
Пример.
Возведение в квадрат
Неравенства вида решают возведением в квадрат обеих частей.
Пример.