Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Числа и действия с ними
Правила счёта Обыкновенные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними Делимость Модуль
Планиметрия
Отношения в геометрии Высота Площади четырёхугольников Серединный перпендикуляр Биссектриса Простейшие расстояния на плоскости Виды треугольников Прямоугольник Комбинации с окружностью Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Симметрия Трапеция Средняя линия Теорема Пифагора Теорема Менелая и теорема Чевы Теорема синусов и теорема косинусов Движения Подобие фигур Равенство фигур Треугольники. Площади Параллелограммы Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Медиана Квадрат Ромб Метод координат на плоскости Скалярное произведение векторов Прямые и углы на плоскости Элементы планиметрии Окружнoсть и круг Тригонометрия в геометрии Площадь круга и сектора круга Векторы Многоугольники Четыре замечательные точки треугольника
Стереометрия
Параллельность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Метод координат в пространстве Угол между плоскостями Тела вращения Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Призмы Двугранный угол Пирамиды Сечения в телах вращения
Анализ функций
Первообразная Функции Экстремумы Правила дифференцирования Функция квадратного корня Свойства функций Квадратичная функция Взаимное расположение графиков линейной функции Графики тригонометрических функций Смысл производной Кусочная функция Графическое применение производной Координатная плоскость Линейная функция Преобразование графиков функции Интеграл Функция обратной пропорциональности
Реальная математика
Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на производительность Комбинаторика Геометрическая прогрессия Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Оптимизация Метод математической индукции Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Прикладные задачи Экономические задачи. Вклады Множества Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на движение по прямой Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Основы математической статистики Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Ценные бумаги Арифметическая прогрессия Основы комбинаторики Вероятность
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Логарифмические уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Уравнения с модулем Методы решения уравнений Линейные уравнения Уравнения в целых числах Иррациональные уравнения
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Формат ЕГЭ
Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ
Неравенства
Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней Показательные выражения и свойства показательной функции Иррациональные выражения Одночлены Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии

Показательные выражения и свойства показательной функции

СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ:

Показательная функция – это функция вида \(y = a^{x}\), где \(a > 0,\ a \neq 1\).

– При \(a > 1\) показательная функция монотонна возрастает:

На данном графике \(a = 2\).

– При \(0 < a < 1\ \)показательная функция монотонно убывает:

На данном графике \(a = 0,5.\)

СВОЙСТВА ГРАФИКА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ:

1. Область определения: \(D(y\mathbb{) = R}\)
2. Область значения: \(E(y) = (0; + \infty)\)
3. Ограниченность и непрерывность: Непрерывна, ограничена снизу
4. Наибольшее и наименьшее значения Нет
5. Монотонность:

Возрастает при

\(a > 1\);

Убывает при

\(1 < a < 0.\)
6. Четность: Ни четная, ни нечетная
7. Периодичность: Не периодичная
8. Пересекает ось Ох Не пересекает ось
9. Пересекает ось Оу В точке (0; 1)

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ:

Используя свойства степеней, можно преобразовывать и упрощать показательные выражения. Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1:

Найдите значение выражения.

\(20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}:4^{–4,9}\)

1. Представим это выражение в виде дроби:

\(20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}:4^{–4,9} = \frac{20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}}\)

2. Представим число 20 как произведение 5 и 4:

\(\frac{20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = \frac{{(4 \bullet 5)}^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = \frac{4^{–3,9} \bullet 5^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}}\)

3. По свойствам степеней объединим множители с одинаковыми основаниями:

\({\frac{4^{–3,9} \bullet 5^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = 4}^{–3,9 + 4,9} \bullet 5^{–3,9 + 2,9} = 4^{1} \bullet 5^{–1} = \frac{4}{5} = 0,8\)

Ответ: 0,8

Пример №2:

Найдите значение выражения.

\(\frac{{(5^{\frac{3}{5}} \bullet 7^{\frac{2}{3}})}^{15}}{35^{9}}\)

1. Раскроем скобки в числителе и сократим получившиеся степени:

\(\ \frac{{(5^{\frac{3}{5}} \bullet 7^{\frac{2}{3}})}^{15}}{35^{9}} = \frac{5^{\frac{45}{5}} \bullet 7^{\frac{30}{3}}}{35^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{35^{9}}\)

2. Представим знаменатель как произведение 5 и 7:

\(\frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{35^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{{(5 \bullet 7)}^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{5^{9} \bullet 7^{9}}\)

3. Сократим дробь:

\(\frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{5^{9} \bullet 7^{9}} = 7\)

Ответ: 7.

Пример №3:

Найдите значение выражения.

\(\frac{a^{3,21} \bullet a^{7,36}}{a^{8,57}}\)

Если a = 12.

1. Для начала преобразуем выражение:

\(\frac{a^{3,21} \bullet a^{7,36}}{a^{8,57}} = a^{3,21 + 7,36\ –\ 8,57} = a^{2}\)

2. Когда буквенное выражение максимально преобразовано, можно подставить данные значения:

\(a^{2} = 12^{2} = 144\)

Ответ: 144.