Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Показательные выражения и свойства показательной функции

СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ:

Показательная функция – это функция вида \(y = a^{x}\), где \(a > 0,\ a \neq 1\).

– При \(a > 1\) показательная функция монотонна возрастает:

На данном графике \(a = 2\).

– При \(0 < a < 1\ \)показательная функция монотонно убывает:

На данном графике \(a = 0,5.\)

СВОЙСТВА ГРАФИКА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ:

1. Область определения: \(D(y\mathbb{) = R}\)
2. Область значения: \(E(y) = (0; + \infty)\)
3. Ограниченность и непрерывность: Непрерывна, ограничена снизу
4. Наибольшее и наименьшее значения Нет
5. Монотонность:

Возрастает при

\(a > 1\);

Убывает при

\(1 < a < 0.\)

6. Четность: Ни четная, ни нечетная
7. Периодичность: Не периодичная
8. Пересекает ось Ох Не пересекает ось
9. Пересекает ось Оу В точке (0; 1)

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ:

Используя свойства степеней, можно преобразовывать и упрощать показательные выражения. Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1:

Найдите значение выражения.

\(20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}:4^{–4,9}\)

1. Представим это выражение в виде дроби:

\(20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}:4^{–4,9} = \frac{20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}}\)

2. Представим число 20 как произведение 5 и 4:

\(\frac{20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = \frac{{(4 \bullet 5)}^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = \frac{4^{–3,9} \bullet 5^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}}\)

3. По свойствам степеней объединим множители с одинаковыми основаниями:

\({\frac{4^{–3,9} \bullet 5^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = 4}^{–3,9 + 4,9} \bullet 5^{–3,9 + 2,9} = 4^{1} \bullet 5^{–1} = \frac{4}{5} = 0,8\)

Ответ: 0,8

Пример №2:

Найдите значение выражения.

\(\frac{{(5^{\frac{3}{5}} \bullet 7^{\frac{2}{3}})}^{15}}{35^{9}}\)

1. Раскроем скобки в числителе и сократим получившиеся степени:

\(\ \frac{{(5^{\frac{3}{5}} \bullet 7^{\frac{2}{3}})}^{15}}{35^{9}} = \frac{5^{\frac{45}{5}} \bullet 7^{\frac{30}{3}}}{35^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{35^{9}}\)

2. Представим знаменатель как произведение 5 и 7:

\(\frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{35^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{{(5 \bullet 7)}^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{5^{9} \bullet 7^{9}}\)

3. Сократим дробь:

\(\frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{5^{9} \bullet 7^{9}} = 7\)

Ответ: 7.

Пример №3:

Найдите значение выражения.

\(\frac{a^{3,21} \bullet a^{7,36}}{a^{8,57}}\)

Если a = 12.

1. Для начала преобразуем выражение:

\(\frac{a^{3,21} \bullet a^{7,36}}{a^{8,57}} = a^{3,21 + 7,36\ –\ 8,57} = a^{2}\)

2. Когда буквенное выражение максимально преобразовано, можно подставить данные значения:

\(a^{2} = 12^{2} = 144\)

Ответ: 144.