Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Стереометрия
Сечения в многогранниках Движения в пространстве Угол между прямой и плоскостью Тела вращения Двугранный угол Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Параллельность прямых и плоскостей Пирамиды Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Призмы
Анализ функций
Координатная плоскость Свойства функций Взаимное расположение графиков линейной функции Квадратичная функция Графики тригонометрических функций Линейная функция Смысл производной Функция квадратного корня Графическое применение производной Первообразная Функции Преобразование графиков функции Кусочная функция Интеграл Функция обратной пропорциональности Экстремумы Правила дифференцирования
Уравнения
Линейные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения Дробно-рациональные уравнения Логарифмические уравнения Уравнения высших степеней Квадратные уравнения Иррациональные уравнения Уравнения с модулем Уравнения в целых числах Простейшие тригонометрические уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга
Неравенства
Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства
Числа и действия с ними
Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Правила счёта Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними Делимость Смешанные дроби и действия с ними
Формат ЕГЭ
Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ
Планиметрия
Прямые и углы на плоскости Трапеция Биссектриса Метод координат на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Треугольники. Площади Ромб Площади четырёхугольников Квадрат Элементы планиметрии Многоугольники Простейшие расстояния на плоскости Высота Подобие фигур Векторы Скалярное произведение векторов Теорема Пифагора Симметрия Тригонометрия в геометрии Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Окружнoсть и круг Средняя линия Параллелограммы Четыре замечательные точки треугольника Медиана Отношения в геометрии Площадь круга и сектора круга Виды треугольников Прямоугольник Комбинации с окружностью Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Теорема синусов и теорема косинусов Движения Равенство фигур Серединный перпендикуляр
Реальная математика
Текстовые задачи на доли и дроби Основы комбинаторики Прикладные задачи Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Сложные проценты Комбинаторика Диаграммы, графики и таблицы Множества Текстовые задачи на движение по окружности Основы математической статистики Текстовые задачи на проценты Метод математической индукции Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Кредиты Геометрическая прогрессия Экономические задачи. Ценные бумаги Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по воде Вероятность Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на движение по прямой
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Формулы и выражения
Одночлены Разложение на множители. Группировка Степени Формулы тригонометрии Формулы сокращённого умножения Иррациональные выражения Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция

Показательные выражения и свойства показательной функции

СВОЙСТВА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ:

Показательная функция – это функция вида \(y = a^{x}\), где \(a > 0,\ a \neq 1\).

– При \(a > 1\) показательная функция монотонна возрастает:

На данном графике \(a = 2\).

– При \(0 < a < 1\ \)показательная функция монотонно убывает:

На данном графике \(a = 0,5.\)

СВОЙСТВА ГРАФИКА ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ:

1. Область определения: \(D(y\mathbb{) = R}\)
2. Область значения: \(E(y) = (0; + \infty)\)
3. Ограниченность и непрерывность: Непрерывна, ограничена снизу
4. Наибольшее и наименьшее значения Нет
5. Монотонность:

Возрастает при

\(a > 1\);

Убывает при

\(1 < a < 0.\)
6. Четность: Ни четная, ни нечетная
7. Периодичность: Не периодичная
8. Пересекает ось Ох Не пересекает ось
9. Пересекает ось Оу В точке (0; 1)

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ:

Используя свойства степеней, можно преобразовывать и упрощать показательные выражения. Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1:

Найдите значение выражения.

\(20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}:4^{–4,9}\)

1. Представим это выражение в виде дроби:

\(20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}:4^{–4,9} = \frac{20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}}\)

2. Представим число 20 как произведение 5 и 4:

\(\frac{20^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = \frac{{(4 \bullet 5)}^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = \frac{4^{–3,9} \bullet 5^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}}\)

3. По свойствам степеней объединим множители с одинаковыми основаниями:

\({\frac{4^{–3,9} \bullet 5^{–3,9} \bullet 5^{2,9}}{4^{–4,9}} = 4}^{–3,9 + 4,9} \bullet 5^{–3,9 + 2,9} = 4^{1} \bullet 5^{–1} = \frac{4}{5} = 0,8\)

Ответ: 0,8

Пример №2:

Найдите значение выражения.

\(\frac{{(5^{\frac{3}{5}} \bullet 7^{\frac{2}{3}})}^{15}}{35^{9}}\)

1. Раскроем скобки в числителе и сократим получившиеся степени:

\(\ \frac{{(5^{\frac{3}{5}} \bullet 7^{\frac{2}{3}})}^{15}}{35^{9}} = \frac{5^{\frac{45}{5}} \bullet 7^{\frac{30}{3}}}{35^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{35^{9}}\)

2. Представим знаменатель как произведение 5 и 7:

\(\frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{35^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{{(5 \bullet 7)}^{9}} = \frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{5^{9} \bullet 7^{9}}\)

3. Сократим дробь:

\(\frac{5^{9} \bullet 7^{10}}{5^{9} \bullet 7^{9}} = 7\)

Ответ: 7.

Пример №3:

Найдите значение выражения.

\(\frac{a^{3,21} \bullet a^{7,36}}{a^{8,57}}\)

Если a = 12.

1. Для начала преобразуем выражение:

\(\frac{a^{3,21} \bullet a^{7,36}}{a^{8,57}} = a^{3,21 + 7,36\ –\ 8,57} = a^{2}\)

2. Когда буквенное выражение максимально преобразовано, можно подставить данные значения:

\(a^{2} = 12^{2} = 144\)

Ответ: 144.