Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Четыре замечательные точки треугольника

Замечательная точка треугольника – это точка пересечения всех биссектрис, медиан, высот или серединных перпендикуляров треугольника.

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ БИССЕКТРИС:

  1. Свойство биссектрисы:

Каждая точка неразвернутого угла равноудалена от его сторон (или прямых, содержащие эти стороны).

Обратное свойство:

Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе.

  1. Следствие:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

  1. Доказательство существования замечательной точки:

1) Рассмотрим треугольника с биссектрисами АА1 и ВВ1. Пусть они пересекаются в точке О.

2) Проведем из точки О перпендикуляры ОМ, ОК и ОН к сторонам треугольника:

3) По свойству биссектрисы:

ОМ = ОН, т.к. АО – биссектриса угла А;

ОН = ОК, т.к. ВО – биссектриса угла В;

Следовательно, ОК = ОМ, тогда точка О лежит на биссектрисе и по обратному свойству \(СС_{1}\) является биссектрисой на которое лежит точка О.

4) Значит точка О принадлежит трём биссектрисам, а значит является их точкой пересечения, так же она равноудалена от сторон треугольника.

Точка пересечения биссектрис треугольника – это центр вписанной в треугольник окружности.

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ СЕРЕДИННЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ:

  1. Свойство серединного перпендикуляра:

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Обратное свойство:

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре, к нему.

  1. Следствие:

Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

  1. Доказательство существования замечательной точки:

1) Рассмотрим серединные перпендикуляры m и n. Эти прямые пересекаются в точке О, т.к. они не могут быть параллельны.

2) По свойству серединного перпендикуляра:

ОВ = ОА и ОВ = ОС, следовательно ОА = ОС

3) По обратному свойству, если ОА = ОС, то p содержит в себе серединный перпендикуляр.

4) Таким образом существует точка О, которая является пересечением трёх серединных перпендикуляров.

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ВЫСОТ:

Доказательство существования замечательной точки:

1) Рассмотрим треугольник АВС, в котором проведены три высоты – АА1, ВВ1, СС1.

2) Через каждую вершину этого треугольника проведем прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А2В2С2.

3) Точки А, В и С делят стороны треугольника А2В2С2 пополам, т.к. АСВС2 – параллелограмм, а значит СВ = АС2, при этом В2СВА – тоже параллелограмм и СВ = В2А, следовательно АС2 = АВ2. Аналогично и с другими сторонами треугольника А2В2С2.

4) При этом высоты треугольника АВС перпендикулярны к сторонам треугольника А2В2С2, т.к. они соответственно перпендикулярны прямым АВ, ВС и АС – которые в свою очередь параллельны А2В2, В2С2 и А2С2.

5) Таким образом АА1, ВВ1, СС1 являются серединными перпендикулярами для треугольника А2В2С2, следовательно можно доказать, то они пересекаются в одной точке по доказательству пересечения серединных перпендикуляров.

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МЕДИАН:

Медианы треугольник пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольник АВС с медианами АА1 и ВВ1, которые пересекаются в точке О

2) Отрезок А1В1 – средняя линия треугольника, тогда она параллельна АВ. Следовательно

\(\angle\)ВВ1А1 = \(\angle\)В1ВА, \(\angle\)В1А1А = \(\angle\)А1АВ как накрест лежащие:

3) Тогда треугольники ОВ1А1 и ОВА подобны по двум углам. А1В1 относится к АВ как \(\frac{1}{2}\), следовательно:

\(\frac{АО}{ОА_{1}} = \frac{ВО}{ОВ_{1}} = \frac{1}{2}\)

4) Аналогично медиана СС1 пересекается с данными медианами в точке О, при этом точка О делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от вершины.