Четыре замечательные точки треугольника

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ БИССЕКТРИС:

1. Свойство биссектрисы:

Каждая точка неразвернутого угла равноудалена от его сторон (или прямых, содержащие эти стороны).

Обратное свойство:

Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе.

2. Следствие:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

3. Доказательство существования замечательной точки:

1) Рассмотрим треугольника с биссектрисами АА₁ и ВВ₁. Пусть они пересекаются в точке О.

2) Проведем из точки О перпендикуляры ОМ, ОК и ОН к сторонам треугольника:

3) По свойству биссектрисы:

ОМ = ОН, т.к. АО – биссектриса угла А;

ОН = ОК, т.к. ВО – биссектриса угла В;

Следовательно, ОК = ОМ, тогда точка О лежит на биссектрисе и по обратному свойству \(СС_{1}\) является биссектрисой на которое лежит точка О.

4) Значит точка О принадлежит трём биссектрисам, а значит является их точкой пересечения, так же она равноудалена от сторон треугольника.

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ СЕРЕДИННЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ:

1. Свойство серединного перпендикуляра:

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.

Обратное свойство:

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре, к нему.

2. Следствие:

Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

3. Доказательство существования замечательной точки:

1) Рассмотрим серединные перпендикуляры m и n. Эти прямые пересекаются в точке О, т.к. они не могут быть параллельны.

2) По свойству серединного перпендикуляра:

ОВ = ОА и ОВ = ОС, следовательно ОА = ОС

3) По обратному свойству, если ОА = ОС, то p содержит в себе серединный перпендикуляр.

4) Таким образом существует точка О, которая является пересечением трёх серединных перпендикуляров.

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ВЫСОТ:

Доказательство существования замечательной точки:

1) Рассмотрим треугольник АВС, в котором проведены три высоты – АА₁, ВВ₁, СС₁.

2) Через каждую вершину этого треугольника проведем прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А₂В₂С₂.

3) Точки А, В и С делят стороны треугольника А₂В₂С₂ пополам, т.к. АСВС₂ – параллелограмм, а значит СВ = АС₂, при этом В₂СВА – тоже параллелограмм и СВ = В₂А, следовательно АС₂ = АВ₂. Аналогично и с другими сторонами треугольника А₂В₂С₂.

4) При этом высоты треугольника АВС перпендикулярны к сторонам треугольника А₂В₂С₂, т.к. они соответственно перпендикулярны прямым АВ, ВС и АС – которые в свою очередь параллельны А₂В₂, В₂С₂ и А₂С₂.

5) Таким образом АА₁, ВВ₁, СС₁ являются серединными перпендикулярами для треугольника А₂В₂С₂, следовательно можно доказать, то они пересекаются в одной точке по доказательству пересечения серединных перпендикуляров.

ТОЧКА ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МЕДИАН:

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольник АВС с медианами АА₁ и ВВ₁, которые пересекаются в точке О

2) Отрезок А₁В₁ – средняя линия треугольника, тогда она параллельна АВ. Следовательно

\(\angle\)ВВ₁А₁ = \(\angle\)В₁ВА, \(\angle\)В₁А₁А = \(\angle\)А₁АВ как накрест лежащие:

3) Тогда треугольники ОВ₁А₁ и ОВА подобны по двум углам. А₁В₁ относится к АВ как \(\frac{1}{2}\), следовательно:

\(\frac{АО}{ОА_{1}} = \frac{ВО}{ОВ_{1}} = \frac{1}{2}\)

4) Аналогично медиана СС₁ пересекается с данными медианами в точке О, при этом точка О делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от вершины.