Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Числа и действия с ними
Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Делимость Правила счёта Модуль Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними
Реальная математика
Вероятность Сложные проценты Множества Метод математической индукции Основы комбинаторики Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Диаграммы, графики и таблицы Единицы измерения Комбинаторика Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Прикладные задачи Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на движение по окружности Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Экономические задачи. Кредиты Основы математической статистики Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на проценты
Неравенства
Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства
Уравнения
Отбор корней с помощью двойного неравенства Квадратные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения в целых числах Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Уравнения высших степеней
Параметр
Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Разложение на множители. Группировка Многочлены Свойства степеней Степени Формулы тригонометрии Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Тригонометрический круг Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции
Формат ЕГЭ
Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ
Планиметрия
Тригонометрия в геометрии Подобие фигур Квадрат Симметрия Векторы Прямые и углы на плоскости Параллелограммы Биссектриса Комбинации с окружностью Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Площадь круга и сектора круга Простейшие расстояния на плоскости Серединный перпендикуляр Медиана Скалярное произведение векторов Трапеция Высота Движения Прямоугольник Элементы планиметрии Теорема Менелая и теорема Чевы Виды треугольников Теорема синусов и теорема косинусов Равенство фигур Отношения в геометрии Средняя линия Теорема Пифагора Ромб Четыре замечательные точки треугольника Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Многоугольники Окружнoсть и круг Метод координат на плоскости Площади четырёхугольников Треугольники. Площади
Стереометрия
Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Метод координат в пространстве Движения в пространстве Угол между прямой и плоскостью Призмы Тела вращения Пирамиды Векторы в пространстве Двугранный угол Сечения в телах вращения Расстояние от прямой до плоскости Расстояние между скрещивающимися прямыми Элементы и аксиомы стереометрии
Анализ функций
Функции Правила дифференцирования Координатная плоскость Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Графики тригонометрических функций Экстремумы Смысл производной Линейная функция Кусочная функция Интеграл Свойства функций Первообразная Квадратичная функция Графическое применение производной

Системы и совокупности неравенства

Решить систему неравенств – значит найти все переменные, находящиеся на пересечении решений этих неравенств.

Решить совокупность неравенств – найти все переменные, являющиеся решением этих неравенств.

Пример №1:

Решите неравенство:

\(\left\{ \begin{matrix} x > 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1) Найдем решения для каждого неравенства по отдельности. Представим их визуально на числовой прямой:

\(x > 2\)

\(x \leq 5\)

2) Т.к. оба неравенства находятся в системе, нужно найти пересечение их решений:

\(\left\{ \begin{matrix} x > 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

3) Таким образом решением системы является множество переменных x таких, что:

\(x \in (2;\ 5\rbrack\)

Ответ: \(x \in (2;\ 5\rbrack\).

Пример №2:

Решим неравенство:

Решения отдельных уравнений этого примера будут такие же, как и в примере №1.

Но когда мы соединим их обратно в совокупность, то её решением будут не пересечение, а объединение этих решений:

\(x \in (–\infty;\ + \infty)\)

Ответ: \(x \in (–\infty;\ + \infty)\).

Пример №3:

\(\left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1) Отметим на числовой прямой решения сразу двух неравенств:

2) Уравнения находятся в системе, значит нам нужно найти пересечения их решений. Т.к. такого пересечения нет, тогда система не имеет решений: \(\varnothing\)

Ответ: \(\varnothing\).

Пример №4:

\(\left\lbrack \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1) Аналогично вынесем те же решения на одну числовую прямую:

2) В случае, когда неравенства находятся в совокупности, ответом будут все решения, отмеченные на числовой прямой. Мы видим два промежутка: все, что меньше двух и все, что больше пяти. Запишем множество x так:

\(x \in (–\infty;2\rbrack \cup \lbrack 5; + \infty)\)

Ответ: \(x \in (–\infty;2\rbrack \cup \lbrack 5; + \infty)\).

Пример №5:

\(\left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1) Вынесем решения на числовую прямую:

2) Решением системы являются все значения x меньше или равно 2 И меньше либо равно 5. В таком случае. Когда у нас есть два знака меньше, выбираем все значения x меньше меньшего, т.е:

\(\left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \leq 2\)

Ответ: \(x \leq 2\).

Аналогично с системой, где присутствуют два знака больше (больше или равно):

\(\left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Ответом будет являться множество значений x больше большего в системе.

\(\left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \geq 5\)

Ответ: \(x \geq 5\).

Пример №6:

\(\left\lbrack \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1) С совокупностью наоборот. Для первого случая ответом будет являться вся область меньше большего:

\(\left\lbrack \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \leq 5\)

Ответ: \(x \leq 5\).

\(\left\lbrack \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

2) А для совокупности со знаками больше ответом будет больше меньшего:

\(\left\lbrack \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \geq 2\)

Ответ: \(x \geq 2\).