Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Неравенства
Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств
Числа и действия с ними
Смешанные дроби и действия с ними Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Делимость Правила счёта Координатная прямая
Формат ЕГЭ
Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Формулы и выражения
Свойства степеней Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Одночлены Разложение на множители. Группировка Многочлены Тригонометрический круг Формулы сокращённого умножения Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции
Планиметрия
Элементы планиметрии Виды треугольников Движения Подобие фигур Площади четырёхугольников Комбинации с окружностью Отношения в геометрии Высота Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Треугольники. Площади Симметрия Простейшие расстояния на плоскости Равенство фигур Четыре замечательные точки треугольника Теорема Менелая и теорема Чевы Средняя линия Теорема синусов и теорема косинусов Метод координат на плоскости Прямоугольник Медиана Квадрат Многоугольники Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Серединный перпендикуляр Скалярное произведение векторов Параллелограммы Биссектриса Тригонометрия в геометрии Площадь круга и сектора круга Векторы Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора Трапеция Ромб Окружнoсть и круг
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Угол между прямой и плоскостью Призмы Пирамиды Расстояние от прямой до плоскости Двугранный угол Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Метод координат в пространстве Угол между плоскостями Тела вращения Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Движения в пространстве Сечения в телах вращения Параллельность прямых и плоскостей
Анализ функций
Взаимное расположение графиков линейной функции Экстремумы Первообразная Координатная плоскость Функция квадратного корня Интеграл Линейная функция Смысл производной Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной Кусочная функция Свойства функций Графики тригонометрических функций Функции Квадратичная функция Правила дифференцирования Преобразование графиков функции
Реальная математика
Сложные проценты Комбинаторика Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Метод математической индукции Текстовые задачи на производительность Единицы измерения Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Вклады Множества Текстовые задачи на движение по прямой Введение в текстовые задачи Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на сплавы и смеси Экономические задачи. Кредиты Основы математической статистики Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на доли и дроби Основы комбинаторики Вероятность Прикладные задачи
Уравнения
Однородные уравнения Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Линейные уравнения Показательные уравнения Уравнения с модулем Уравнения в целых числах

Системы и совокупности неравенства

Решить систему неравенств – значит найти все переменные, находящиеся на пересечении решений этих неравенств.

Решить совокупность неравенств – найти все переменные, являющиеся решением этих неравенств.

Пример №1:

Решите неравенство:

\(\left\{ \begin{matrix} x > 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1) Найдем решения для каждого неравенства по отдельности. Представим их визуально на числовой прямой:

\(x > 2\)

\(x \leq 5\)

2) Т.к. оба неравенства находятся в системе, нужно найти пересечение их решений:

\(\left\{ \begin{matrix} x > 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

3) Таким образом решением системы является множество переменных x таких, что:

\(x \in (2;\ 5\rbrack\)

Ответ: \(x \in (2;\ 5\rbrack\).

Пример №2:

Решим неравенство:

Решения отдельных уравнений этого примера будут такие же, как и в примере №1.

Но когда мы соединим их обратно в совокупность, то её решением будут не пересечение, а объединение этих решений:

\(x \in (–\infty;\ + \infty)\)

Ответ: \(x \in (–\infty;\ + \infty)\).

Пример №3:

\(\left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1) Отметим на числовой прямой решения сразу двух неравенств:

2) Уравнения находятся в системе, значит нам нужно найти пересечения их решений. Т.к. такого пересечения нет, тогда система не имеет решений: \(\varnothing\)

Ответ: \(\varnothing\).

Пример №4:

\(\left\lbrack \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1) Аналогично вынесем те же решения на одну числовую прямую:

2) В случае, когда неравенства находятся в совокупности, ответом будут все решения, отмеченные на числовой прямой. Мы видим два промежутка: все, что меньше двух и все, что больше пяти. Запишем множество x так:

\(x \in (–\infty;2\rbrack \cup \lbrack 5; + \infty)\)

Ответ: \(x \in (–\infty;2\rbrack \cup \lbrack 5; + \infty)\).

Пример №5:

\(\left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1) Вынесем решения на числовую прямую:

2) Решением системы являются все значения x меньше или равно 2 И меньше либо равно 5. В таком случае. Когда у нас есть два знака меньше, выбираем все значения x меньше меньшего, т.е:

\(\left\{ \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \leq 2\)

Ответ: \(x \leq 2\).

Аналогично с системой, где присутствуют два знака больше (больше или равно):

\(\left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

Ответом будет являться множество значений x больше большего в системе.

\(\left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \geq 5\)

Ответ: \(x \geq 5\).

Пример №6:

\(\left\lbrack \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

1) С совокупностью наоборот. Для первого случая ответом будет являться вся область меньше большего:

\(\left\lbrack \begin{matrix} x \leq 2 \\ x \leq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \leq 5\)

Ответ: \(x \leq 5\).

\(\left\lbrack \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \)

2) А для совокупности со знаками больше ответом будет больше меньшего:

\(\left\lbrack \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \geq 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Longrightarrow x \geq 2\)

Ответ: \(x \geq 2\).