Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Интеграл

Интеграл – это одно из важнейших понятий в математическом анализе. В общем смысле

Интеграл – это сумма всех первообразных функции.

Существуют разные интегралы, которые применяются для вычисления площадей фигур и объёмов тел. В рамках школьного курса начала математического анализа изучают определенный интеграл, он равен площади криволинейной трапеции.

Криволинейной трапеция – это трапеция на координатной плоскости, с вертикальными основаниями \(x = a\) и \(x = b\) (где \(a\) и \(b\) – границы интегрирования), ограниченной сверху графиком функции \(y = f(x)\).

\(S\left( x \right)\) – площадь криволинейной трапеции

Определённый интеграл – это разность первообразных непрерывной неотрицательной функции в крайних точках заданного отрезка.

\(S\left( x \right) = \int_{a}^{b}{f(x)}\text{dx} = F\left( b \right) - F(a)\)

Интеграл называется определенным, потому что мы знаем, на каком промежутке \(\left\lbrack a;b \right\rbrack\) нужно находить первообразные.

Запись интеграла читается как «интеграл функции \(f(x)\) от \(a\) до \(b\)». Буквосочетание \(\text{dx}\) говорит о том, что функция дифференцирована (т. е. является производной от искомой первообразной) относительно переменной \(x\). Так как в высшей математике функции могут состоять из нескольких переменных, необходимо указывать, относительно какой именно переменной находилась производная

\(F^{'}\left( x \right) = f(x) \Longrightarrow \int_{}^{}{f(x)}\text{dx}\)

Пример №1:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной сверху функцией

\(f\left( x \right) = \frac{3}{2\sqrt{x}}\)

на промежутке \(\left\lbrack 1;4 \right\rbrack\).

  1. Площадь фигуры под функцией равна определенному интегралу, взятому на данной промежутке. Запишем этот интеграл:

\(S\left( x \right) = \int_{1}^{4}\frac{3}{2\sqrt{x}}\text{dx}\)

  1. Чтобы вычислить этот интеграл, нужно найти общую первообразную для данной функции, а потом найти ее значения в крайних точках промежутка. Первообразной от \(\frac{3}{2\sqrt{x}}\) является:

\(F\left( x \right) = 3\sqrt{x}\)

Когда после записи интеграла вы нашли общую первообразную, запись интеграла упрощается: справа от первообразной за вертикальной чертой обозначаются промежутки интегрирования снизу вверх, а \(\text{dx}\) больше не пишется:

\(\int_{1}^{4}\frac{3}{2\sqrt{x}}dx = \left. \ 3\sqrt{x} \right|\frac{4}{1}\)

  1. Теперь нужно подставить в первообразную \(x = 4\) и \(x = 1\), между получившимися значениями будет знак «минус»:

\(\left. \ 3\sqrt{x} \right|\frac{4}{1} = 3\sqrt{4} - 3\sqrt{1}\)

  1. Мы пришли к разнице первообразных. Осталось посчитать результат и записать ответ:

\(3\sqrt{4} - 3\sqrt{1} = 6 - 3 = 3\)

Ответ: 3.

Пример №2:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной сверху функцией

\(f\left( x \right) = 6 + 2x - x^{2}\)

на промежутке \(\left\lbrack - 2;1 \right\rbrack\).

  1. Запишем определенный интеграл:

\(\int_{- 2}^{1}{(6 + 2x - x^{2})}\text{dx}\)

  1. У нас есть несколько слагаемых в функции. По правилам работы с первообразными их общей перообразной будет сумма их первообразных:

\(F\left( x \right) = 6x + x^{2} - \frac{x^{3}}{3}\)

  1. Подставим первообразную в формулу интеграла:

\(\int_{- 2}^{1}\left( 6 + 2x - x^{2} \right)dx = 6x + x^{2} - \left. \ \frac{x^{3}}{3} \right|\frac{1}{- 2}\)

  1. Посчитаем первообразные в крайних точках интегрирования и найдем площадь под функцией:

\(6x + x^{2} - \left. \ \frac{x^{3}}{3} \right|\frac{1}{- 2} = \left( 6 \bullet \left( - 2 \right) + \left( - 2 \right)^{2} - \frac{\left( - 2 \right)^{3}}{3} \right) - \left( 6 + 1 - \frac{1}{3} \right) = - 12 + 4 - \frac{8}{3} - 7 + \frac{1}{3} = - 15\frac{7}{3}\)

Ответ:\(\ - 15\frac{7}{3}\)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ИНТЕГРАЛА

Определенный интеграла и площадь под графиком функций связаны между собой через понятие приращения, как, например, связана производная и угол наклона касательной. Дело в том, что если мы поделим координатную плоскость под графиком бесконечным количеством вертикальных прямых, расстояние между которыми будет равно \(\Delta x\), при этом \(\Delta x \longrightarrow 0\), тогда мы увидим, что вся площадь под графиком поделилась на бесконечное множество очень-очень узких прямоугольников, с одинаковой шириной \(\Delta x\), но разной высотой.

Две верхние вершины такого прямоугольника будут находиться настолько близко, что сойдутся почти в одной точке. Первообразная функции в этой точке будет равна площади этого прямоугольника. А если мы сложим все такие прямоугольники под функцией, как раз найдем площадь криволинейной трапеции.