Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Анализ функций
Первообразная Квадратичная функция Линейная функция Графическое применение производной Взаимное расположение графиков линейной функции Координатная плоскость Функция квадратного корня Интеграл Функции Смысл производной Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Свойства функций Графики тригонометрических функций Экстремумы Правила дифференцирования Преобразование графиков функции
Уравнения
Иррациональные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Уравнения с модулем Методы решения уравнений Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Квадратные уравнения Показательные уравнения Дробно-рациональные уравнения Логарифмические уравнения Уравнения высших степеней Простейшие тригонометрические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Уравнения в целых числах
Неравенства
Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства
Числа и действия с ними
Делимость Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Разложение на множители. Группировка Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней Степени Формулы тригонометрии Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены
Планиметрия
Виды треугольников Тригонометрия в геометрии Отношения в геометрии Прямоугольник Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Площадь круга и сектора круга Скалярное произведение векторов Метод координат на плоскости Подобие фигур Равенство фигур Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Векторы Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора Квадрат Симметрия Теорема синусов и теорема косинусов Серединный перпендикуляр Медиана Многоугольники Простейшие расстояния на плоскости Ромб Комбинации с окружностью Биссектриса Движения Четыре замечательные точки треугольника Теорема Менелая и теорема Чевы Средняя линия Треугольники. Площади Трапеция Параллелограммы Высота Площади четырёхугольников Элементы планиметрии Окружнoсть и круг
Стереометрия
Угол между плоскостями Расстояние между скрещивающимися прямыми Метод координат в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Расстояние от точки до плоскости Призмы Двугранный угол Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Движения в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Угол между прямой и плоскостью Параллельность прямых и плоскостей Тела вращения Пирамиды Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Векторы в пространстве Сечения в телах вращения
Реальная математика
Экономические задачи. Вклады Диаграммы, графики и таблицы Основы математической статистики Геометрическая прогрессия Прикладные задачи Экономические задачи. Кредиты Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Метод математической индукции Введение в текстовые задачи Вероятность Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Комбинаторика Экономические задачи. Ценные бумаги Множества Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Текстовые задачи на проценты
Параметр
Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения
Формат ЕГЭ
Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ

Интеграл

Интеграл – это одно из важнейших понятий в математическом анализе. В общем смысле

Интеграл – это сумма всех первообразных функции.

Существуют разные интегралы, которые применяются для вычисления площадей фигур и объёмов тел. В рамках школьного курса начала математического анализа изучают определенный интеграл, он равен площади криволинейной трапеции.

Криволинейной трапеция – это трапеция на координатной плоскости, с вертикальными основаниями \(x = a\) и \(x = b\) (где \(a\) и \(b\) – границы интегрирования), ограниченной сверху графиком функции \(y = f(x)\).

\(S\left( x \right)\) – площадь криволинейной трапеции

Определённый интеграл – это разность первообразных непрерывной неотрицательной функции в крайних точках заданного отрезка.

\(S\left( x \right) = \int_{a}^{b}{f(x)}\text{dx} = F\left( b \right) - F(a)\)

Интеграл называется определенным, потому что мы знаем, на каком промежутке \(\left\lbrack a;b \right\rbrack\) нужно находить первообразные.

Запись интеграла читается как «интеграл функции \(f(x)\) от \(a\) до \(b\)». Буквосочетание \(\text{dx}\) говорит о том, что функция дифференцирована (т. е. является производной от искомой первообразной) относительно переменной \(x\). Так как в высшей математике функции могут состоять из нескольких переменных, необходимо указывать, относительно какой именно переменной находилась производная

\(F^{'}\left( x \right) = f(x) \Longrightarrow \int_{}^{}{f(x)}\text{dx}\)

Пример №1:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной сверху функцией

\(f\left( x \right) = \frac{3}{2\sqrt{x}}\)

на промежутке \(\left\lbrack 1;4 \right\rbrack\).

  1. Площадь фигуры под функцией равна определенному интегралу, взятому на данной промежутке. Запишем этот интеграл:

\(S\left( x \right) = \int_{1}^{4}\frac{3}{2\sqrt{x}}\text{dx}\)

  1. Чтобы вычислить этот интеграл, нужно найти общую первообразную для данной функции, а потом найти ее значения в крайних точках промежутка. Первообразной от \(\frac{3}{2\sqrt{x}}\) является:

\(F\left( x \right) = 3\sqrt{x}\)

Когда после записи интеграла вы нашли общую первообразную, запись интеграла упрощается: справа от первообразной за вертикальной чертой обозначаются промежутки интегрирования снизу вверх, а \(\text{dx}\) больше не пишется:

\(\int_{1}^{4}\frac{3}{2\sqrt{x}}dx = \left. \ 3\sqrt{x} \right|\frac{4}{1}\)

  1. Теперь нужно подставить в первообразную \(x = 4\) и \(x = 1\), между получившимися значениями будет знак «минус»:

\(\left. \ 3\sqrt{x} \right|\frac{4}{1} = 3\sqrt{4} - 3\sqrt{1}\)

  1. Мы пришли к разнице первообразных. Осталось посчитать результат и записать ответ:

\(3\sqrt{4} - 3\sqrt{1} = 6 - 3 = 3\)

Ответ: 3.

Пример №2:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной сверху функцией

\(f\left( x \right) = 6 + 2x - x^{2}\)

на промежутке \(\left\lbrack - 2;1 \right\rbrack\).

  1. Запишем определенный интеграл:

\(\int_{- 2}^{1}{(6 + 2x - x^{2})}\text{dx}\)

  1. У нас есть несколько слагаемых в функции. По правилам работы с первообразными их общей перообразной будет сумма их первообразных:

\(F\left( x \right) = 6x + x^{2} - \frac{x^{3}}{3}\)

  1. Подставим первообразную в формулу интеграла:

\(\int_{- 2}^{1}\left( 6 + 2x - x^{2} \right)dx = 6x + x^{2} - \left. \ \frac{x^{3}}{3} \right|\frac{1}{- 2}\)

  1. Посчитаем первообразные в крайних точках интегрирования и найдем площадь под функцией:

\(6x + x^{2} - \left. \ \frac{x^{3}}{3} \right|\frac{1}{- 2} = \left( 6 \bullet \left( - 2 \right) + \left( - 2 \right)^{2} - \frac{\left( - 2 \right)^{3}}{3} \right) - \left( 6 + 1 - \frac{1}{3} \right) = - 12 + 4 - \frac{8}{3} - 7 + \frac{1}{3} = - 15\frac{7}{3}\)

Ответ:\(\ - 15\frac{7}{3}\)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ИНТЕГРАЛА

Определенный интеграла и площадь под графиком функций связаны между собой через понятие приращения, как, например, связана производная и угол наклона касательной. Дело в том, что если мы поделим координатную плоскость под графиком бесконечным количеством вертикальных прямых, расстояние между которыми будет равно \(\Delta x\), при этом \(\Delta x \longrightarrow 0\), тогда мы увидим, что вся площадь под графиком поделилась на бесконечное множество очень-очень узких прямоугольников, с одинаковой шириной \(\Delta x\), но разной высотой.

Две верхние вершины такого прямоугольника будут находиться настолько близко, что сойдутся почти в одной точке. Первообразная функции в этой точке будет равна площади этого прямоугольника. А если мы сложим все такие прямоугольники под функцией, как раз найдем площадь криволинейной трапеции.