Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Анализ функций
Свойства функций Интеграл Графическое применение производной Координатная плоскость Линейная функция Взаимное расположение графиков линейной функции Квадратичная функция Правила дифференцирования Функция обратной пропорциональности Первообразная Графики тригонометрических функций Смысл производной Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Кусочная функция Функции Экстремумы
Реальная математика
Сложные проценты Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Прикладные задачи Экономические задачи. Ценные бумаги Основы комбинаторики Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Основы математической статистики Множества Арифметическая прогрессия Метод математической индукции Вероятность Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на производительность Комбинаторика Экономические задачи. Вклады Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Экономические показатели Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси
Уравнения
Методы решения уравнений Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Квадратные уравнения Иррациональные уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Логарифмические уравнения
Планиметрия
Виды треугольников Метод координат на плоскости Многоугольники Параллелограммы Теорема синусов и теорема косинусов Биссектриса Прямоугольник Комбинации с окружностью Движения Площадь круга и сектора круга Окружнoсть и круг Средняя линия Симметрия Отношения в геометрии Теорема Пифагора Трапеция Ромб Высота Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Серединный перпендикуляр Медиана Равенство фигур Векторы Скалярное произведение векторов Прямые и углы на плоскости Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Квадрат Элементы планиметрии Треугольники. Площади Тригонометрия в геометрии Подобие фигур Простейшие расстояния на плоскости Площади четырёхугольников Четыре замечательные точки треугольника Теорема Менелая и теорема Чевы
Стереометрия
Теорема о трёх перпендикулярах Движения в пространстве Векторы в пространстве Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Сечения в телах вращения Призмы Тела вращения Угол между скрещивающимися прямыми Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Двугранный угол Параллельность прямых и плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей
Числа и действия с ними
НОК и НОД Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Десятичные дроби и действия с ними Модуль Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Тригонометрический круг Формулы тригонометрии Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Многочлены Показательные выражения и свойства показательной функции
Формат ЕГЭ
Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ
Параметр
Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства

Интеграл

Интеграл – это одно из важнейших понятий в математическом анализе. В общем смысле

Интеграл – это сумма всех первообразных функции.

Существуют разные интегралы, которые применяются для вычисления площадей фигур и объёмов тел. В рамках школьного курса начала математического анализа изучают определенный интеграл, он равен площади криволинейной трапеции.

Криволинейной трапеция – это трапеция на координатной плоскости, с вертикальными основаниями \(x = a\) и \(x = b\) (где \(a\) и \(b\) – границы интегрирования), ограниченной сверху графиком функции \(y = f(x)\).

\(S\left( x \right)\) – площадь криволинейной трапеции

Определённый интеграл – это разность первообразных непрерывной неотрицательной функции в крайних точках заданного отрезка.

\(S\left( x \right) = \int_{a}^{b}{f(x)}\text{dx} = F\left( b \right) - F(a)\)

Интеграл называется определенным, потому что мы знаем, на каком промежутке \(\left\lbrack a;b \right\rbrack\) нужно находить первообразные.

Запись интеграла читается как «интеграл функции \(f(x)\) от \(a\) до \(b\)». Буквосочетание \(\text{dx}\) говорит о том, что функция дифференцирована (т. е. является производной от искомой первообразной) относительно переменной \(x\). Так как в высшей математике функции могут состоять из нескольких переменных, необходимо указывать, относительно какой именно переменной находилась производная

\(F^{'}\left( x \right) = f(x) \Longrightarrow \int_{}^{}{f(x)}\text{dx}\)

Пример №1:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной сверху функцией

\(f\left( x \right) = \frac{3}{2\sqrt{x}}\)

на промежутке \(\left\lbrack 1;4 \right\rbrack\).

  1. Площадь фигуры под функцией равна определенному интегралу, взятому на данной промежутке. Запишем этот интеграл:

\(S\left( x \right) = \int_{1}^{4}\frac{3}{2\sqrt{x}}\text{dx}\)

  1. Чтобы вычислить этот интеграл, нужно найти общую первообразную для данной функции, а потом найти ее значения в крайних точках промежутка. Первообразной от \(\frac{3}{2\sqrt{x}}\) является:

\(F\left( x \right) = 3\sqrt{x}\)

Когда после записи интеграла вы нашли общую первообразную, запись интеграла упрощается: справа от первообразной за вертикальной чертой обозначаются промежутки интегрирования снизу вверх, а \(\text{dx}\) больше не пишется:

\(\int_{1}^{4}\frac{3}{2\sqrt{x}}dx = \left. \ 3\sqrt{x} \right|\frac{4}{1}\)

  1. Теперь нужно подставить в первообразную \(x = 4\) и \(x = 1\), между получившимися значениями будет знак «минус»:

\(\left. \ 3\sqrt{x} \right|\frac{4}{1} = 3\sqrt{4} - 3\sqrt{1}\)

  1. Мы пришли к разнице первообразных. Осталось посчитать результат и записать ответ:

\(3\sqrt{4} - 3\sqrt{1} = 6 - 3 = 3\)

Ответ: 3.

Пример №2:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной сверху функцией

\(f\left( x \right) = 6 + 2x - x^{2}\)

на промежутке \(\left\lbrack - 2;1 \right\rbrack\).

  1. Запишем определенный интеграл:

\(\int_{- 2}^{1}{(6 + 2x - x^{2})}\text{dx}\)

  1. У нас есть несколько слагаемых в функции. По правилам работы с первообразными их общей перообразной будет сумма их первообразных:

\(F\left( x \right) = 6x + x^{2} - \frac{x^{3}}{3}\)

  1. Подставим первообразную в формулу интеграла:

\(\int_{- 2}^{1}\left( 6 + 2x - x^{2} \right)dx = 6x + x^{2} - \left. \ \frac{x^{3}}{3} \right|\frac{1}{- 2}\)

  1. Посчитаем первообразные в крайних точках интегрирования и найдем площадь под функцией:

\(6x + x^{2} - \left. \ \frac{x^{3}}{3} \right|\frac{1}{- 2} = \left( 6 \bullet \left( - 2 \right) + \left( - 2 \right)^{2} - \frac{\left( - 2 \right)^{3}}{3} \right) - \left( 6 + 1 - \frac{1}{3} \right) = - 12 + 4 - \frac{8}{3} - 7 + \frac{1}{3} = - 15\frac{7}{3}\)

Ответ:\(\ - 15\frac{7}{3}\)

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ИНТЕГРАЛА

Определенный интеграла и площадь под графиком функций связаны между собой через понятие приращения, как, например, связана производная и угол наклона касательной. Дело в том, что если мы поделим координатную плоскость под графиком бесконечным количеством вертикальных прямых, расстояние между которыми будет равно \(\Delta x\), при этом \(\Delta x \longrightarrow 0\), тогда мы увидим, что вся площадь под графиком поделилась на бесконечное множество очень-очень узких прямоугольников, с одинаковой шириной \(\Delta x\), но разной высотой.

Две верхние вершины такого прямоугольника будут находиться настолько близко, что сойдутся почти в одной точке. Первообразная функции в этой точке будет равна площади этого прямоугольника. А если мы сложим все такие прямоугольники под функцией, как раз найдем площадь криволинейной трапеции.