Maximumtest Logo
  • ОГЭ/ЕГЭ
  • Профориентация
  • Школа MAXIMUM
  • IT-колледж
  • О нас

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый следующий член которой отличается от предшествующего члена на одно и то же число dd.

Например, 1, 3, 5, 7…

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Отметим, что если d>0d > 0, то арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d<0d < 0, то — убывающей последовательностью. А если d=0d = 0? Это тоже прогрессия, называют ее в математике постоянной прогрессией.

Ряд натуральных чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью d=1d = 1, а последовательность нечетных и четных чисел – примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность d=2d = 2 (отличие только в первом члене прогрессии).

Если известен первый член арифметической прогрессии a1a_{1} и ее разность dd, то можно найти любой член этой последовательности по формуле:

  • an = a1 + d(n 1)a_{n}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (n\ - 1) — формула nn-го члена,

Пример: Найдите члены а8а_{8}, а1000а_{1000} арифметической прогрессии, у которой а1=2а_{1} = - 2, d=5d = 5

Решение:

Найдем по записанной нами формуле:

а8 = a1 + d(8 1) = 2 + 75 = 33а_{8}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (8\ - 1)\ = \ - 2\ + \ 7 \cdot 5\ = \ 33.

а1000 = a1 + d(1000 1) = 2 + 9995 = 4993а_{1000}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (1000\ - 1)\ = \ - 2\ + \ 999 \cdot 5\ = \ 4993.

Запишем формулы суммы n первых членов прогрессии:

  • Sn= a1+an2n= 2a1+d(n1)2nS_{n} = \ \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \bullet n = \ \frac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \bullet n;

Пример: Определить сумму kk первых нечетных чисел, начиная с единицы.

Решение:

Последовательность нечетных чисел – арифметическая прогрессия с a1 = 1a_{1}\ = \ 1 и d = 2d\ = \ 2

Sk= 2a1+d(k1)2k= 21+2(k1)2k= 2+2k22k= k2 S_{k} = \ \frac{2a_{1} + d(k - 1)}{2} \bullet k = \ \frac{2 \cdot 1 + 2\left( k - 1 \right)}{2} \bullet k = \ \frac{2 + 2k - 2}{2} \bullet k = \ k^{2}\

Например, сумма первых пяти нечетных чисел: S5= 52=25S_{5} = \ 5^{2} = 25

Можно убедиться, что 1+3+5+7+9 = 251 + 3 + 5 + 7 + 9\ = \ 25.

Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену)

  • an= an1 + an+12a_{n} = \ \frac{a_{n - 1}\ + \ a_{n + 1}}{2} свойство nn-го члена.

Содержание