Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Анализ функций
Взаимное расположение графиков линейной функции Координатная плоскость Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Свойства функций Правила дифференцирования Смысл производной Графическое применение производной Графики тригонометрических функций Функции Линейная функция Интеграл Первообразная Экстремумы Квадратичная функция Кусочная функция Функция обратной пропорциональности
Планиметрия
Подобие фигур Площадь круга и сектора круга Серединный перпендикуляр Отношения в геометрии Прямые и углы на плоскости Параллелограммы Простейшие расстояния на плоскости Трапеция Высота Тригонометрия в геометрии Движения Четыре замечательные точки треугольника Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Теорема Пифагора Ромб Метод координат на плоскости Векторы Скалярное произведение векторов Элементы планиметрии Треугольники. Площади Симметрия Виды треугольников Равенство фигур Площади четырёхугольников Теорема Менелая и теорема Чевы Медиана Квадрат Биссектриса Комбинации с окружностью Многоугольники Теорема синусов и теорема косинусов Прямоугольник Окружнoсть и круг Средняя линия
Реальная математика
Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Метод математической индукции Вероятность Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Комбинаторика Экономические задачи. Ценные бумаги Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Основы математической статистики Геометрическая прогрессия Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Вклады Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на проценты Множества Текстовые задачи на движение по прямой
Уравнения
Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения высших степеней Уравнения с модулем Линейные уравнения Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Уравнения в целых числах Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Квадратные уравнения Иррациональные уравнения
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Неравенства
Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства
Числа и действия с ними
НОК и НОД Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними Округление дробей Делимость Правила счёта Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними
Формулы и выражения
Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Одночлены Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения
Стереометрия
Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Элементы и аксиомы стереометрии Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Движения в пространстве Угол между прямой и плоскостью Пирамиды Перпендикулярность прямых и плоскостей Метод координат в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Призмы Тела вращения
Формат ЕГЭ
Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый следующий член которой отличается от предшествующего члена на одно и то же число \(d\).

Например, 1, 3, 5, 7…

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Отметим, что если \(d > 0\), то арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если \(d < 0\), то — убывающей последовательностью. А если \(d = 0\)? Это тоже прогрессия, называют ее в математике постоянной прогрессией.

Ряд натуральных чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью \(d = 1\), а последовательность нечетных и четных чисел – примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность \(d = 2\) (отличие только в первом члене прогрессии).

Если известен первый член арифметической прогрессии \(a_{1}\) и ее разность \(d\), то можно найти любой член этой последовательности по формуле:

  • \(a_{n}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (n\ - 1)\) — формула \(n\)-го члена,

Пример: Найдите члены \(а_{8}\), \(а_{1000}\) арифметической прогрессии, у которой \(а_{1} = - 2\), \(d = 5\)

Решение:

Найдем по записанной нами формуле:

\(а_{8}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (8\ - 1)\ = \ - 2\ + \ 7 \cdot 5\ = \ 33\).

\(а_{1000}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (1000\ - 1)\ = \ - 2\ + \ 999 \cdot 5\ = \ 4993\).

Запишем формулы суммы n первых членов прогрессии:

  • \(S_{n} = \ \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \bullet n = \ \frac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \bullet n\);

Пример: Определить сумму \(k\) первых нечетных чисел, начиная с единицы.

Решение:

Последовательность нечетных чисел – арифметическая прогрессия с \(a_{1}\ = \ 1\) и \(d\ = \ 2\)

\(S_{k} = \ \frac{2a_{1} + d(k - 1)}{2} \bullet k = \ \frac{2 \cdot 1 + 2\left( k - 1 \right)}{2} \bullet k = \ \frac{2 + 2k - 2}{2} \bullet k = \ k^{2}\ \)

Например, сумма первых пяти нечетных чисел: \(S_{5} = \ 5^{2} = 25\)

Можно убедиться, что \(1 + 3 + 5 + 7 + 9\ = \ 25\).

Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену)

  • \(a_{n} = \ \frac{a_{n - 1}\ + \ a_{n + 1}}{2}\) – свойство \(n\)-го члена.