Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый следующий член которой отличается от предшествующего члена на одно и то же число \(d\).

Например, 1, 3, 5, 7…

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Отметим, что если \(d > 0\), то арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если \(d < 0\), то — убывающей последовательностью. А если \(d = 0\)? Это тоже прогрессия, называют ее в математике постоянной прогрессией.

Ряд натуральных чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью \(d = 1\), а последовательность нечетных и четных чисел – примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность \(d = 2\) (отличие только в первом члене прогрессии).

Если известен первый член арифметической прогрессии \(a_{1}\) и ее разность \(d\), то можно найти любой член этой последовательности по формуле:

\(a_{n}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (n\ - 1)\) — формула \(n\)-го члена,

Пример: Найдите члены \(а_{8}\), \(а_{1000}\) арифметической прогрессии, у которой \(а_{1} = - 2\), \(d = 5\)

Решение:

Найдем по записанной нами формуле:

\(а_{8}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (8\ - 1)\ = \ - 2\ + \ 7 \cdot 5\ = \ 33\).

\(а_{1000}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (1000\ - 1)\ = \ - 2\ + \ 999 \cdot 5\ = \ 4993\).

Запишем формулы суммы n первых членов прогрессии:

\(S_{n} = \ \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \bullet n = \ \frac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \bullet n\);

Пример: Определить сумму \(k\) первых нечетных чисел, начиная с единицы.

Решение:

Последовательность нечетных чисел – арифметическая прогрессия с \(a_{1}\ = \ 1\) и \(d\ = \ 2\)

\(S_{k} = \ \frac{2a_{1} + d(k - 1)}{2} \bullet k = \ \frac{2 \cdot 1 + 2\left( k - 1 \right)}{2} \bullet k = \ \frac{2 + 2k - 2}{2} \bullet k = \ k^{2}\ \)

Например, сумма первых пяти нечетных чисел: \(S_{5} = \ 5^{2} = 25\)

Можно убедиться, что \(1 + 3 + 5 + 7 + 9\ = \ 25\).

Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену)