Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Стереометрия
Расстояние от точки до плоскости Расстояние от прямой до плоскости Призмы Параллельность прямых и плоскостей Сечения в многогранниках Перпендикулярность прямых и плоскостей Двугранный угол Пирамиды Угол между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Движения в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Тела вращения Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями
Уравнения
Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Квадратные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Иррациональные уравнения Показательные уравнения Методы решения уравнений Уравнения в целых числах Системы и совокупности уравнений с одной переменной Линейные уравнения Уравнения высших степеней
Числа и действия с ними
Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Обыкновенные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Делимость Модуль Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Планиметрия
Теорема Менелая и теорема Чевы Квадрат Окружнoсть и круг Симметрия Тригонометрия в геометрии Комбинации с окружностью Площадь круга и сектора круга Средняя линия Движения Подобие фигур Равенство фигур Четыре замечательные точки треугольника Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Медиана Отношения в геометрии Простейшие расстояния на плоскости Виды треугольников Теорема синусов и теорема косинусов Площади четырёхугольников Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Скалярное произведение векторов Ромб Многоугольники Векторы Серединный перпендикуляр Прямые и углы на плоскости Теорема Пифагора Параллелограммы Прямоугольник Элементы планиметрии Метод координат на плоскости Биссектриса Высота Треугольники. Площади Трапеция
Анализ функций
Первообразная Графики тригонометрических функций Квадратичная функция Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной Функции Экстремумы Правила дифференцирования Координатная плоскость Преобразование графиков функции Кусочная функция Взаимное расположение графиков линейной функции Линейная функция Смысл производной Интеграл Функция квадратного корня Свойства функций
Реальная математика
Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Экономические задачи. Кредиты Основы математической статистики Текстовые задачи на движение по воде Геометрическая прогрессия Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Множества Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Вероятность Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на производительность Единицы измерения Комбинаторика Прикладные задачи Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Метод математической индукции Текстовые задачи на сплавы и смеси Сложные проценты Текстовые задачи на проценты
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Неравенства
Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства
Формулы и выражения
Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Многочлены Свойства степеней Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Одночлены Тригонометрический круг Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называют такую числовую последовательность, каждый следующий член которой отличается от предшествующего члена на одно и то же число \(d\).

Например, 1, 3, 5, 7…

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Отметим, что если \(d > 0\), то арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если \(d < 0\), то — убывающей последовательностью. А если \(d = 0\)? Это тоже прогрессия, называют ее в математике постоянной прогрессией.

Ряд натуральных чисел дает пример бесконечной арифметической прогрессии с разностью \(d = 1\), а последовательность нечетных и четных чисел – примеры бесконечных арифметических прогрессий, у каждой из которых разность \(d = 2\) (отличие только в первом члене прогрессии).

Если известен первый член арифметической прогрессии \(a_{1}\) и ее разность \(d\), то можно найти любой член этой последовательности по формуле:

  • \(a_{n}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (n\ - 1)\) — формула \(n\)-го члена,

Пример: Найдите члены \(а_{8}\), \(а_{1000}\) арифметической прогрессии, у которой \(а_{1} = - 2\), \(d = 5\)

Решение:

Найдем по записанной нами формуле:

\(а_{8}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (8\ - 1)\ = \ - 2\ + \ 7 \cdot 5\ = \ 33\).

\(а_{1000}\ = \ a_{1}\ + \ d \cdot (1000\ - 1)\ = \ - 2\ + \ 999 \cdot 5\ = \ 4993\).

Запишем формулы суммы n первых членов прогрессии:

  • \(S_{n} = \ \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \bullet n = \ \frac{2a_{1} + d(n - 1)}{2} \bullet n\);

Пример: Определить сумму \(k\) первых нечетных чисел, начиная с единицы.

Решение:

Последовательность нечетных чисел – арифметическая прогрессия с \(a_{1}\ = \ 1\) и \(d\ = \ 2\)

\(S_{k} = \ \frac{2a_{1} + d(k - 1)}{2} \bullet k = \ \frac{2 \cdot 1 + 2\left( k - 1 \right)}{2} \bullet k = \ \frac{2 + 2k - 2}{2} \bullet k = \ k^{2}\ \)

Например, сумма первых пяти нечетных чисел: \(S_{5} = \ 5^{2} = 25\)

Можно убедиться, что \(1 + 3 + 5 + 7 + 9\ = \ 25\).

Каждый член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому его соседних членов (исключение составляют первый и последний члены, т.к. у них только по одному соседнему члену)

  • \(a_{n} = \ \frac{a_{n - 1}\ + \ a_{n + 1}}{2}\) – свойство \(n\)-го члена.