Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Реальная математика
Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на сплавы и смеси Сложные проценты Основы математической статистики Комбинаторика Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Диаграммы, графики и таблицы Множества Текстовые задачи на движение по окружности Введение в текстовые задачи Вероятность Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Метод математической индукции Экономические задачи. Кредиты Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Основы комбинаторики Единицы измерения
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем
Формулы и выражения
Одночлены Многочлены Тригонометрический круг Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Свойства степеней Степени Иррациональные выражения Разложение на множители. Группировка
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Числа и действия с ними
Правила счёта Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними
Формат ЕГЭ
Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ
Планиметрия
Серединный перпендикуляр Ромб Подобие фигур Четыре замечательные точки треугольника Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Векторы Простейшие расстояния на плоскости Теорема Пифагора Параллелограммы Виды треугольников Теорема синусов и теорема косинусов Высота Равенство фигур Треугольники. Площади Элементы планиметрии Окружнoсть и круг Метод координат на плоскости Движения Площади четырёхугольников Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Прямые и углы на плоскости Тригонометрия в геометрии Скалярное произведение векторов Средняя линия Биссектриса Прямоугольник Площадь круга и сектора круга Квадрат Многоугольники Симметрия Трапеция Комбинации с окружностью Теорема Менелая и теорема Чевы Медиана Отношения в геометрии
Стереометрия
Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Метод координат в пространстве Движения в пространстве Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Пирамиды Призмы Тела вращения Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Векторы в пространстве
Анализ функций
Первообразная Смысл производной Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Графическое применение производной Свойства функций Функции Функция обратной пропорциональности Графики тригонометрических функций Экстремумы Координатная плоскость Кусочная функция Взаимное расположение графиков линейной функции Квадратичная функция Правила дифференцирования Линейная функция Интеграл
Уравнения
Уравнения с модулем Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Методы решения уравнений Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения в целых числах

Теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник ― треугольник, у которого один угол равен 90° (собственно, это и есть прямой угол, дающий название всему треугольнику). Сторона, лежащая против такого угла, называется гипотенузой (c), а две другие стороны ― катетами (a и b).

Напротив большего угла любого треугольника лежит большая сторона, следовательно гипотенуза – самая длинная сторона прямоугольного треугольника.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\(AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}\)

ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА:

Если для сторон произвольного треугольника соблюдается условие \(AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}\), то такой треугольник является прямоугольным.

Например, чтобы доказать, что треугольник со сторонами 7, 24, 25 - прямоугольный, используем теорему, обратную теореме Пифагора:

\(7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625 = 25^{2}\)

следовательно треугольник со сторонами 7, 24, 25 – прямоугольный, что и требовалось доказать.

Аналогично проверим, является ли прямоугольным треугольник со сторонами 5, 10, 12:

\(5^{2} + 10^{2} = 25 + 100 = 125 \neq 144 = 12^{2}\)

Следовательно треугольник со сторонами 5, 10, 12 – не прямоугольный.

ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ:

При работе с прямоугольным треугольником можно использовать интересный лайфхак. Используя теорему Пифагора, можно вывести некоторые отношения сторон.

Например, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 точно является прямоугольным (гипотенузой является большая сторона, следовательно она равна 5). Это можно проверить, используя теорему, обратную теореме Пифагора:

\(3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}\ \)

Существует бесконечное количество Пифагоровых троек, например:

\({3:4:5 }{5:12:13 }{7:24:25 }{8:15:17 }{9:40:41 }{12:35:37 }{20:21:49 }\)

Достаточно запомнить несколько отношений, которых обычно достаточно для работы с прямоугольными треугольниками на экзамене:

\({5:12:13 }{7:24:25 }{8:15:17 }\)

Пифагоровы тройки могут называться отношениями, потому что не обязательно, чтобы стороны прямоугольного треугольника были равны числам тройки. Достаточно, чтобы его стороны имели такое же отношение.

Например, стороны прямоугольного треугольника могут быть равны именно 5, 12, 13 или 7, 24, 25, как числа Пифагоровой тройки, а могут быть в кратное количество раз больше, то есть такие стороны будут сохранять её отношение: \(3:4:5\ (х3) = 9:12:15\) – тоже Пифагорова тройка или \(7:24:25\ (х2) = 14:28:50\).

Главное - чтобы все числа Пифагоровой тройки умножались на одно и то же число, отличное от нуля.

ОСОБЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ:

Также мы можем выделить особые треугольники, в которых отношение сторон остаётся неизменным и часто применяется в математике.

В треугольнике с углами 30⁰, 60⁰, 90⁰ катет, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы. Тогда если один катет равен а, то гипотенуза 2а. Второй катет можно посчитать по теореме Пифагора:

\(\sqrt{\left( 2a \right)^{2} - a^{2}} = \sqrt{4a^{2} - a^{2}} = \sqrt{3a^{2}} = a\sqrt{3}\).

В треугольнике с углами 45⁰, 45⁰, 90⁰ катеты равны. Тогда если один катет равен а, то и второй катет равен а. Гипотенузу можно посчитать по теореме Пифагора:\(\ \sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2a^{2}} = a\sqrt{2}\).

Для удобства на курсах первый треугольник в этой таблице мы называем золотым, а второй – серебряным.