Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Неравенства
Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем
Числа и действия с ними
Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Координатная прямая НОК и НОД Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Стереометрия
Угол между прямой и плоскостью Параллельность прямых и плоскостей Движения в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Угол между плоскостями Тела вращения Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Сечения в телах вращения Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Перпендикулярность прямых и плоскостей Двугранный угол Пирамиды Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Метод координат в пространстве Призмы
Анализ функций
Функции Экстремумы Координатная плоскость Линейная функция Смысл производной Преобразование графиков функции Кусочная функция Свойства функций Графики тригонометрических функций Квадратичная функция Функция квадратного корня Интеграл Функция обратной пропорциональности Графическое применение производной Взаимное расположение графиков линейной функции Правила дифференцирования Первообразная
Формулы и выражения
Степени Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Одночлены Разложение на множители. Группировка Многочлены Свойства степеней Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Тригонометрический круг
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Планиметрия
Прямые и углы на плоскости Трапеция Тригонометрия в геометрии Высота Прямоугольник Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Серединный перпендикуляр Скалярное произведение векторов Параллелограммы Ромб Четыре замечательные точки треугольника Площадь круга и сектора круга Площади четырёхугольников Симметрия Метод координат на плоскости Равенство фигур Теорема Менелая и теорема Чевы Многоугольники Треугольники. Площади Комбинации с окружностью Векторы Элементы планиметрии Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Окружнoсть и круг Средняя линия Теорема Пифагора Теорема синусов и теорема косинусов Подобие фигур Простейшие расстояния на плоскости Виды треугольников Биссектриса Движения Медиана Отношения в геометрии Квадрат
Реальная математика
Экономические задачи. Оптимизация Метод математической индукции Сложные проценты Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по окружности Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Вероятность Текстовые задачи на производительность Экономические задачи. Кредиты Прикладные задачи Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на отношения Введение в текстовые задачи Единицы измерения Множества Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Текстовые задачи на сплавы и смеси Комбинаторика Основы математической статистики Текстовые задачи на движение по воде
Уравнения
Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Системы уравнений с двумя переменными Системы и совокупности уравнений с одной переменной Уравнения с модулем Линейные уравнения Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Уравнения в целых числах

Теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник ― треугольник, у которого один угол равен 90° (собственно, это и есть прямой угол, дающий название всему треугольнику). Сторона, лежащая против такого угла, называется гипотенузой (c), а две другие стороны ― катетами (a и b).

Напротив большего угла любого треугольника лежит большая сторона, следовательно гипотенуза – самая длинная сторона прямоугольного треугольника.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\(AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}\)

ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА:

Если для сторон произвольного треугольника соблюдается условие \(AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}\), то такой треугольник является прямоугольным.

Например, чтобы доказать, что треугольник со сторонами 7, 24, 25 - прямоугольный, используем теорему, обратную теореме Пифагора:

\(7^{2} + 24^{2} = 49 + 576 = 625 = 25^{2}\)

следовательно треугольник со сторонами 7, 24, 25 – прямоугольный, что и требовалось доказать.

Аналогично проверим, является ли прямоугольным треугольник со сторонами 5, 10, 12:

\(5^{2} + 10^{2} = 25 + 100 = 125 \neq 144 = 12^{2}\)

Следовательно треугольник со сторонами 5, 10, 12 – не прямоугольный.

ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ:

При работе с прямоугольным треугольником можно использовать интересный лайфхак. Используя теорему Пифагора, можно вывести некоторые отношения сторон.

Например, треугольник со сторонами 3, 4 и 5 точно является прямоугольным (гипотенузой является большая сторона, следовательно она равна 5). Это можно проверить, используя теорему, обратную теореме Пифагора:

\(3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}\ \)

Существует бесконечное количество Пифагоровых троек, например:

\({3:4:5 }{5:12:13 }{7:24:25 }{8:15:17 }{9:40:41 }{12:35:37 }{20:21:49 }\)

Достаточно запомнить несколько отношений, которых обычно достаточно для работы с прямоугольными треугольниками на экзамене:

\({5:12:13 }{7:24:25 }{8:15:17 }\)

Пифагоровы тройки могут называться отношениями, потому что не обязательно, чтобы стороны прямоугольного треугольника были равны числам тройки. Достаточно, чтобы его стороны имели такое же отношение.

Например, стороны прямоугольного треугольника могут быть равны именно 5, 12, 13 или 7, 24, 25, как числа Пифагоровой тройки, а могут быть в кратное количество раз больше, то есть такие стороны будут сохранять её отношение: \(3:4:5\ (х3) = 9:12:15\) – тоже Пифагорова тройка или \(7:24:25\ (х2) = 14:28:50\).

Главное - чтобы все числа Пифагоровой тройки умножались на одно и то же число, отличное от нуля.

ОСОБЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ:

Также мы можем выделить особые треугольники, в которых отношение сторон остаётся неизменным и часто применяется в математике.

В треугольнике с углами 30⁰, 60⁰, 90⁰ катет, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы. Тогда если один катет равен а, то гипотенуза 2а. Второй катет можно посчитать по теореме Пифагора:

\(\sqrt{\left( 2a \right)^{2} - a^{2}} = \sqrt{4a^{2} - a^{2}} = \sqrt{3a^{2}} = a\sqrt{3}\).

В треугольнике с углами 45⁰, 45⁰, 90⁰ катеты равны. Тогда если один катет равен а, то и второй катет равен а. Гипотенузу можно посчитать по теореме Пифагора:\(\ \sqrt{a^{2} + a^{2}} = \sqrt{2a^{2}} = a\sqrt{2}\).

Для удобства на курсах первый треугольник в этой таблице мы называем золотым, а второй – серебряным.