Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Пирамиды

N-угольная пирамида – это многогранник, образованный n-угольником и точкой, не лежащей в его плоскости, которая соединена с вершинами n-угольника.

Пирамиды бывают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д., в зависимости от того, какая фигура лежит у пирамиды в основании.

У треугольной пирамиды любая грань может являться основанием, т.к. все ее грани и основания – треугольники:

  • У любой пирамиды столько же вершин, сколько и граней;

  • У пирамиды на одну вершину больше, чем вершин у многоугольника в основании;

  • У пирамиды в два раза больше ребер, чем вершин у многоугольника в основании.

РАЗВЕРТКА ПИРАМИДЫ

Треугольная и четырехугольная пирамиды имеют следующие развертки:

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ

Высота пирамиды – это перпендикуляр между вершиной пирамиды и площадью её основания.

Правильная пирамида – это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а её высота падает в центр основания (в точку пересечения биссектрис многоугольника в основании).

Все грани правильной пирамиды – равнобедренные треугольники, а все её боковые ребра равны между собой.

Апофема – это высота боковой грани правильной пирамиды. Все апофемы в пирамиде равны.

Усеченная n-угольная пирамида – это пирамида, состоящая из двух n-угольников, лежащих в параллельных плоскостях, вершины которых попарно соединены ребрами пирамиды.

Многоугольники в основании усеченной пирамиды НЕ равны.

Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

Правильная усеченная пирамида – это пирамида, получившаяся в результаты сечения правильной пирамиды плоскостью, параллельной её основанию.

Боковые грани правильной усеченной пирамиды – равнобедренные трапеции.

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ

  1. Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей её граней.

В правильной пирамиде она равна полупериметру основания на апофему:

\(S_{бок.} = \frac{1}{2}P_{осн.} \bullet h\)

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равен полу сумме периметров оснований на её апофему:

\(S_{бок} = \frac{P_{1} + P_{2}}{2} \bullet h\)

  1. Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма её площади боковой поверхности и площади основания:

\(S_{полн.} = S_{бок.} + S_{осн.}\)

  1. Объем пирамиды равен трети произведения площади её основания на высоту:

\(V = \frac{1}{3}S_{осн.} \bullet H\)

Объём усеченной вычисляется по формуле:

\(V = \frac{1}{3}H(S_{1} + S_{2} + \sqrt{S_{1}S_{2}})\)