Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Реальная математика
Основы комбинаторики Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Основы математической статистики Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на отношения Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Диаграммы, графики и таблицы Множества Экономические задачи. Оптимизация Вероятность Экономические задачи. Вклады Экономические задачи. Ценные бумаги Экономические задачи. Экономические показатели Метод математической индукции Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Комбинаторика Текстовые задачи на движение по прямой Введение в текстовые задачи
Неравенства
Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств
Формулы и выражения
Иррациональные выражения Тригонометрический круг Степени Формулы тригонометрии Свойства степеней Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Многочлены
Планиметрия
Площади четырёхугольников Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Медиана Теорема Пифагора Тригонометрия в геометрии Комбинации с окружностью Площадь круга и сектора круга Векторы Окружнoсть и круг Высота Теорема Менелая и теорема Чевы Прямые и углы на плоскости Треугольники. Площади Простейшие расстояния на плоскости Подобие фигур Скалярное произведение векторов Отношения в геометрии Метод координат на плоскости Ромб Биссектриса Движения Серединный перпендикуляр Квадрат Многоугольники Виды треугольников Теорема синусов и теорема косинусов Равенство фигур Элементы планиметрии Симметрия Параллелограммы Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Средняя линия Трапеция
Стереометрия
Перпендикулярность прямых и плоскостей Тела вращения Расстояние от точки до плоскости Метод координат в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Угол между плоскостями Векторы в пространстве Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Теорема о трёх перпендикулярах Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Пирамиды Угол между скрещивающимися прямыми Движения в пространстве Сечения в телах вращения Призмы Параллельность прямых и плоскостей Двугранный угол
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Числа и действия с ними
Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Модуль Координатная прямая
Формат ЕГЭ
Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ
Анализ функций
Координатная плоскость Линейная функция Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Графики тригонометрических функций Интеграл Преобразование графиков функции Кусочная функция Смысл производной Функция квадратного корня Графическое применение производной Первообразная Экстремумы Правила дифференцирования Свойства функций Функции Квадратичная функция
Уравнения
Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Простейшие тригонометрические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Отбор корней с помощью двойного неравенства Иррациональные уравнения Методы решения уравнений Линейные уравнения Однородные уравнения Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Показательные уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Логарифмические уравнения

Пирамиды

N-угольная пирамида – это многогранник, образованный n-угольником и точкой, не лежащей в его плоскости, которая соединена с вершинами n-угольника.

Пирамиды бывают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д., в зависимости от того, какая фигура лежит у пирамиды в основании.

У треугольной пирамиды любая грань может являться основанием, т.к. все ее грани и основания – треугольники:

  • У любой пирамиды столько же вершин, сколько и граней;

  • У пирамиды на одну вершину больше, чем вершин у многоугольника в основании;

  • У пирамиды в два раза больше ребер, чем вершин у многоугольника в основании.

РАЗВЕРТКА ПИРАМИДЫ

Треугольная и четырехугольная пирамиды имеют следующие развертки:

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ

Высота пирамиды – это перпендикуляр между вершиной пирамиды и площадью её основания.

Правильная пирамида – это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а её высота падает в центр основания (в точку пересечения биссектрис многоугольника в основании).

Все грани правильной пирамиды – равнобедренные треугольники, а все её боковые ребра равны между собой.

Апофема – это высота боковой грани правильной пирамиды. Все апофемы в пирамиде равны.

Усеченная n-угольная пирамида – это пирамида, состоящая из двух n-угольников, лежащих в параллельных плоскостях, вершины которых попарно соединены ребрами пирамиды.

Многоугольники в основании усеченной пирамиды НЕ равны.

Боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.

Правильная усеченная пирамида – это пирамида, получившаяся в результаты сечения правильной пирамиды плоскостью, параллельной её основанию.

Боковые грани правильной усеченной пирамиды – равнобедренные трапеции.

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ

  1. Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей её граней.

В правильной пирамиде она равна полупериметру основания на апофему:

\(S_{бок.} = \frac{1}{2}P_{осн.} \bullet h\)

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равен полу сумме периметров оснований на её апофему:

\(S_{бок} = \frac{P_{1} + P_{2}}{2} \bullet h\)

  1. Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма её площади боковой поверхности и площади основания:

\(S_{полн.} = S_{бок.} + S_{осн.}\)

  1. Объем пирамиды равен трети произведения площади её основания на высоту:

\(V = \frac{1}{3}S_{осн.} \bullet H\)

Объём усеченной вычисляется по формуле:

\(V = \frac{1}{3}H(S_{1} + S_{2} + \sqrt{S_{1}S_{2}})\)