Графическое применение производной

Графическое применение производной

График функции

Если важен только знак производной:

1. Ищем промежутки возрастания/убывания

2. Делаем вывод о знаке производной

3. Ответ

Если важно значение производной:

1. Ищем промежутки возрастания/убывания

2. Строим касательную к графику в нужных точках

3. По её наклону делаем вывод о значении производной

4. Ответ

Если важно нулевое значение производной:

1. Находим на графике функции точки минимума/максимума

2. Делаем вывод согласно условиям задачи

3. Ответ

График производной функции

Если нужно найти точку, в которой функция принимает наибольшее/наименьшее значение:

1. Ищем промежутки, где график выше/ниже нуля

2. Делаем вывод о поведении функции на промежутке и в крайних точках

3. Ответ

Если нужно найти точку экстремума:

1. Рассматриваем точки пересечения графика с осью Ох

2. По смене знаков в этих точках определяем точки максимума и минимума

3. Ответ

Если нужно найти промежутки возрастания/убывания функции:

1. Ищем промежутки, на которых производная больше/меньше нуля

2. Ответ

График и уравнение касательной

Если дан график функции:

1. Ищем значение производной (по угловому коэффициенту касательной или через тангенс её наклона)

2. Ответ

Если дан график производной:

1. В условии находим угловой коэффициент касательной

2. Находим соответствующие значения на графике

3. Ответ

Уравнение функции и касательной

1. Приравниваем:

• производную функции и угловой коэффициент касательной

• значение функции и касательной в точке касания

2. Составляем и решаем систему уравнений:

$\left\{ \begin{matrix} f’(x_{1}\ ) = a \\ \text{\ \ \ f}\left( x_{1} \right) = ax_{1} + b \\ \end{matrix} \right.\$

3. Ответ

Первообразная

Если дан график $f(x)$ с двумя границами $\lbrack a;\ b\rbrack$ и явный вид первообразной $F(x) = \ \ldots\ \$

• Подставляем граничные точки в первообразную и находим площадь под графиком $S = F(b) - F(a)\$

Если дан простой график и нужно найти $F(b) - F(a)$

• Ищем площадь под графиком по клеточкам в интервале $\lbrack a;b\rbrack$ и находим$\ F(b) - F(a) = S$

Если дан график функции или первообразной

• Пользуемся определением первообразной $F’(x) = f(x)$