Графическое применение производной

Мы приступаем к 7му заданию ЕГЭ. Один из способов решения заданий данной темы – это графический способ, который во многом облегчает жизнь ( учитывая, что данной теме выделено целое задание ЕГЭ, нельзя недооценивать его ). Сейчас мы рассмотрим, что могут нас попросить найти в данном типе заданий и разберем алгоритмы решения.

График функции

Если важен только знак производной:

1. Ищем промежутки возрастания/убывания

2. Делаем вывод о знаке производной

3. Ответ

Если важно значение производной:

1. Ищем промежутки возрастания/убывания

2. Строим касательную к графику в нужных точках

3. По её наклону делаем вывод о значении производной

4. Ответ

Если важно нулевое значение производной:

1. Находим на графике функции точки минимума/максимума

2. Делаем вывод согласно условиям задачи

3. Ответ

График производной функции

Если нужно найти точку, в которой функция принимает наибольшее/наименьшее значение:

1. Ищем промежутки, где график выше/ниже нуля

2. Делаем вывод о поведении функции на промежутке и в крайних точках

3. Ответ

Если нужно найти точку экстремума:

1. Рассматриваем точки пересечения графика с осью Ох

2. По смене знаков в этих точках определяем точки максимума и минимума

3. Ответ

Если нужно найти промежутки возрастания/убывания функции:

1. Ищем промежутки, на которых производная больше/меньше нуля

2. Ответ

График и уравнение касательной

Если дан график функции:

1. Ищем значение производной (по угловому коэффициенту касательной или через тангенс её наклона)

2. Ответ

Если дан график производной:

1. В условии находим угловой коэффициент касательной

2. Находим соответствующие значения на графике

3. Ответ

Уравнение функции и касательной

1. Приравниваем:

• производную функции и угловой коэффициент касательной

• значение функции и касательной в точке касания

2. Составляем и решаем систему уравнений:

\(\left\{ \begin{matrix} f’(x_{1}\ ) = a \\ \text{\ \ \ f}\left( x_{1} \right) = ax_{1} + b \\ \end{matrix} \right.\ \)

3. Ответ

Первообразная

Если дан график \(f(x)\) с двумя границами \(\lbrack a;\ b\rbrack\) и явный вид первообразной \(F(x) = \ \ldots\ \ \)

• Подставляем граничные точки в первообразную и находим площадь под графиком \(S = F(b) - F(a)\ \)

Если дан простой график и нужно найти \(F(b) - F(a)\)

• Ищем площадь под графиком по клеточкам в интервале \(\lbrack a;b\rbrack\) и находим\(\ F(b) - F(a) = S\)

Если дан график функции или первообразной

• Пользуемся определением первообразной \(F’(x) = f(x)\)