Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Числа и действия с ними
НОК и НОД Смешанные дроби и действия с ними Модуль Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Округление дробей Делимость Правила счёта
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Свойства степеней Формулы тригонометрии Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Многочлены Тригонометрический круг Степени Показательные выражения и свойства показательной функции
Планиметрия
Подобие фигур Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Простейшие расстояния на плоскости Высота Равенство фигур Прямоугольник Комбинации с окружностью Квадрат Прямые и углы на плоскости Виды треугольников Четыре замечательные точки треугольника Площадь круга и сектора круга Скалярное произведение векторов Трапеция Ромб Тригонометрия в геометрии Площади четырёхугольников Треугольники. Площади Симметрия Теорема синусов и теорема косинусов Метод координат на плоскости Теорема Менелая и теорема Чевы Элементы планиметрии Параллелограммы Теорема Пифагора Многоугольники Движения Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Векторы Серединный перпендикуляр Средняя линия Биссектриса
Стереометрия
Двугранный угол Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в телах вращения Тела вращения Теорема о трёх перпендикулярах Движения в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Угол между прямой и плоскостью Пирамиды Векторы в пространстве Метод координат в пространстве Призмы Параллельность прямых и плоскостей Расстояние между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Перпендикулярность прямых и плоскостей Расстояние от прямой до плоскости Угол между плоскостями
Уравнения
Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Методы решения уравнений Квадратные уравнения Иррациональные уравнения Показательные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Уравнения высших степеней Системы и совокупности уравнений с одной переменной Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Простейшие тригонометрические уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах
Параметр
Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения
Неравенства
Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства
Формат ЕГЭ
Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ
Анализ функций
Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Графики тригонометрических функций Функции Квадратичная функция Смысл производной Функция квадратного корня Первообразная Интеграл Графическое применение производной Правила дифференцирования Координатная плоскость Линейная функция Преобразование графиков функции Экстремумы Кусочная функция Свойства функций
Реальная математика
Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Прикладные задачи Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Экономические показатели Единицы измерения Сложные проценты Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Диаграммы, графики и таблицы Множества Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Оптимизация Основы комбинаторики Вероятность Экономические задачи. Кредиты Комбинаторика Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Основы математической статистики Введение в текстовые задачи Геометрическая прогрессия Арифметическая прогрессия Метод математической индукции

Теорема о трёх перпендикулярах

ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ

Сокращенно записывают как «ТТП» или «теорема о 3-х \(\bot\)- ах»:

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна самой наклонной.

Если AM – наклонна к плоскости α, а АН – перпендикуляр к этой плоскости, то МН – проекция АМ на плоскость α. В таком случае, если провести прямую m так, что М\(\ \in \ \)m и m \(\bot\ \)МН, то m \(\bot\) АМ.

Поэтому теорема и называется теоремой о трёх перпендикулярах, т.к. получается, что проведенная прямая m перпендикулярна всем трём сторонам треугольника АМН.

ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТТП

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной, перпендикулярно ей, перпендикулярна её проекции на эту плоскость.

Если AM – наклонна к плоскости α, а АН – перпендикуляр к этой плоскости, то МН – проекция АМ на плоскость α. В таком случае, если провести прямую m так, что М\(\ \in \ \)m и m \(\bot\) АМ, то m \(\bot\ \)МН.

Пример №1:

Из точки Н проведен перпендикуляр НВ к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что треугольники AHD и CDH прямоугольные.

  1. Докажем, что треугольник AHD – прямоугольный. Рассмотрим треугольник AHB. АН – наклонная к плоскости прямоугольника ABCD, HB – перпендикуляр к этой же плоскости, следовательно АВ – проекция АН на плоскость АВС.

  2. В таком случае DA \(\bot\) АВ как стороны прямоугольника, тогда AD перпендикулярна к проекции на плоскости, а следовательно, перпендикулярна и самой наклонной АН по ТТП. Значит в треугольнике AHD DA \(\bot\) AH, следовательно треугольник прямоугольный:

Ч и т. д.

  1. Аналогично докажем, что треугольник CDH – прямоугольный. В треугольнике CBH СН – наклонная к плоскости АВС, BH – перпендикуляр, следовательно CB – проекция CH на плоскость.

  2. DC \(\bot\) CB как стороны прямоугольника, тогда по ТТП DC \(\bot\) самой наклонной, то есть CН. Тогда в треугольнике DCH \(\angle\)С – прямой следовательно треугольник прямоугольный:

Ч и т. д.