Экономические задачи. Вклады

Задачи на вклады – это блок экономических задач в реальной математике. Для решения этих задач необходимо понимать суть некоторых экономических операций, которые в свою очередь тесно связаны с формулой сложного процента.

ЧТО ТАКОЕ ВКЛАД:

Суть вклада в том, что человек отдает банку свои деньги на хранение. Это можно делать для разных целей, например, чтобы накопить на что-то. Иногда банк предлагает такой вклад, с которого вы не сможете снять свои же деньги на протяжении заранее оговорённого времени. Так вы точно не потратите ничего лишнего.

Итак, люди кладут деньги в банк, чтобы получить с них проценты, потому что банк платит людям за то, что те доверяют банку и позволяют ему на некоторый период пользоваться этими деньгами. Банк как бы занимает деньги, а потом отдает их с процентами.

При этом существуют некоторые условия начисления процента. Он чаще всего накладывается не на ту сумму, которую вы положили в самом начале, а рассчитывается каждый день, месяц или год на ту сумму, которая фактически лежит на вкладе. То есть если вы доложите на вклад с деньгами еще столько же, то через определенный расчётный период вам начислят процент на бόльшую сумму, а следовательно ваша прибыль со вклада вырастет.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ВКЛАДА:

Так как каждый последующий год процент начисляется не на исходную сумму, а на ту сумму, которая уже лежит на вкладе, тогда процент может начисляться на вклад с уже начисленным процентом. Здесь нам пригодится формула сложного процента:

Алексей хочет в начале года открыть вклад на 100 000 рублей под 10% годовых. Процент начисляется в начале каждого года, начиная со второго. Через какое минимальное количество сколько лет Алексею можно снять деньги с вклада, чтобы сумма на нём была больше 133 000?

СПОСОБ 1

Найдем, чему будет равна сумма на вкладе через 1 год, через 2 года и т. д., пока сумма не станет больше 130 000.

1. Через один год на вкладе будет лежать сумма:

\(S_{1} = 100\ 000 \bullet \left( 1 + \frac{10}{100} \right) = 100\ 000 \bullet 1.1 = 110\ 000\)

2. Через два года процент будет налагаться уже на полученную сумму:

\(S_{2} = 110\ 000 \bullet 1.1 = 121\ 000\)

3. Аналогично наложим проценты на второй год, чтобы получить третий:

\(S_{3} = 121\ 000 \bullet 1.1 = 133\ 100\)

4. Видим, что, если Алексей заберет деньги после трёх лет, он снимет сумму, превышающую 133 000 рублей. Запишем ответ.

Ответ: 3.

СПОСОБ 2

Мы можем сразу использовать формулу сложного процента и составить неравенство, не рассчитывая каждый год по отдельности.

1. Запишем все известные нам данные в формулу сложного процента. Так как нам нужно найти количество лет, за которое на вклад будет накладываться процент, \(n\) будет неизвестной искомой величиной:

\(S_{n} = 100\ 000\left( 1 + 0,1 \right)^{n}\)

2. При этом у нас есть условие, что через некоторое количество лет, когда Алексей снимет деньги, сумма на вкладе будет больше 133 000, а значит\(\text{\ S}_{n} > 133\ 000\). Составим неравенство:

\(100\ 000{\bullet 1,1}^{n} > 133\ 000\)

3. Решим неравенство относительно \(n\):

\({1,1}^{n} > 1,33\)

Возведем 1,1 по порядку во вторую, третью и т. д. степень:

\({1,1}^{2} = 1,21\)

\({1,1}^{3} = 1,331\)

То есть, чтобы \({1,1}^{n}\) должно быть больше, чем 1,33, \(n\) должно быть равно 3:

\({1,1}^{3} > 1,33\)

Значит Алексей должен снять деньги минимум через три года, чтобы сумма на вкладе была больше 133 000. Запишем ответ.

Ответ: 3.

Анастасия открыла вклад на 100 000 на три года под 20% годовых. Процент начисляется в начале каждого года, начиная со второго. Сколько денег будет лежать на вкладе Анастасии через три года, если в середине второго года она снимет 10 000 ?

1. Составим таблицу, отображающую сумму на вкладе в начале и в конце каждого года:

В начале первого года процент не накладывается. При этом до начала второго года сумма на вкладе не поменяется. Запишем это в таблицу:

2. Уже в начале второго года на сумму на вкладе начислится 20%:

При этом в задаче есть условие – Анастасия снимет со вклада 10 000 в середине второго года. Значит, к концу второго года вклад уменьшится на эту сумму:

3. В начале третьего года снова на оставшуюся сумму наложится 20%:

За год вклад никак не поменяется, значит, в конце третьего года на вкладе так и останется 132 000 рублей:

Запишем ответ.

Ответ: 132 000.

Известно, что вклад составляет целое количество миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 25% по сравнению с началом года. На какую сумму нужно открыть вклад, чтобы через два года на нём лежало больше 6 миллионов рублей?

1. Составим уравнение по формуле сложного процента. Мы не знаем, чему равна изначальная сумма, положенная на вклад, но мы знаем процентную ставку и количество лет:

\(S_{2} = S_{0} \bullet \left( 1 + 0,25 \right)^{2}\)

2. При этом сумма через два года должна быть больше 6 миллионов, тогда получаем неравенство:

\(S_{0} \bullet \left( 1 + 0,25 \right)^{2} > 6\)

3. Решим это неравенство относительно \(S_{0}\):

\(S_{0} > \frac{6}{{1,25}^{2}}\)

Представим 1,25 как дробь \(\frac{5}{4}\):

\(S_{0} > \frac{6}{\frac{5^{2}}{4^{2}}}\)

\(S_{0} > \frac{6 \bullet 16}{25}\)

\(S_{0} > \frac{96}{25}\)

4. Если \(S_{0}\) по условию равно целому количеству миллионов, определим. Между какими целыми числами находится дробь \(\frac{96}{25}\). Так как \(S_{0}\) должно быть больше этой дроби, выберем большее целое число:

\(3 < \frac{96}{25} < 4\)

Значит \(S_{0} = 4\) млн. Запишем ответ.

Ответ: 4.