Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Формулы и выражения
Тригонометрический круг Свойства степеней Формулы тригонометрии Формулы сокращённого умножения Одночлены Разложение на множители. Группировка Многочлены Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Планиметрия
Отношения в геометрии Биссектриса Теорема Менелая и теорема Чевы Векторы Серединный перпендикуляр Квадрат Средняя линия Трапеция Площадь круга и сектора круга Теорема Пифагора Виды треугольников Теорема синусов и теорема косинусов Площади четырёхугольников Симметрия Параллелограммы Равенство фигур Четыре замечательные точки треугольника Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Окружнoсть и круг Ромб Тригонометрия в геометрии Высота Движения Прямоугольник Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Скалярное произведение векторов Прямые и углы на плоскости Простейшие расстояния на плоскости Подобие фигур Комбинации с окружностью Медиана Элементы планиметрии Многоугольники Треугольники. Площади Метод координат на плоскости
Уравнения
Квадратные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Системы уравнений с двумя переменными Уравнения в целых числах Иррациональные уравнения Показательные уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Системы и совокупности уравнений с одной переменной Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Дробно-рациональные уравнения
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Числа и действия с ними
Десятичные дроби и действия с ними Делимость Смешанные дроби и действия с ними Модуль Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Правила счёта
Формат ЕГЭ
Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ
Стереометрия
Расстояние между скрещивающимися прямыми Угол между прямой и плоскостью Движения в пространстве Призмы Параллельность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Тела вращения Перпендикулярность прямых и плоскостей Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Расстояние от прямой до плоскости Угол между плоскостями Двугранный угол Пирамиды Векторы в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии
Анализ функций
Первообразная Экстремумы Квадратичная функция Смысл производной Преобразование графиков функции Свойства функций Функции Правила дифференцирования Линейная функция Взаимное расположение графиков линейной функции Координатная плоскость Функция квадратного корня Функция обратной пропорциональности Графики тригонометрических функций Кусочная функция Интеграл Графическое применение производной
Реальная математика
Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на сплавы и смеси Основы математической статистики Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Множества Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Экономические показатели Вероятность Текстовые задачи на производительность Единицы измерения Метод математической индукции Основы комбинаторики Экономические задачи. Ценные бумаги Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на отношения Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Прикладные задачи Текстовые задачи на проценты Арифметическая прогрессия Введение в текстовые задачи Комбинаторика Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по воде
Неравенства
Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств

Текстовые задачи на движение по окружности

При решении задач на движение по окружности нужно учитывать направление движения объектов и их направление движения аналогично задачам на движение по прямой.

  • Если объекты движутся в одном направлении, то их общая скорость будет являться результатом разности их скоростей.

  • Если объекты движутся в разном направлении, то их общая скорость будет являться результатом суммы их скоростей.

Также нужно учитывать, что при прохождении длины окружности объект возвращается в точку старта.

При круговом движении между двумя встречами расстояние между объектами увеличивается на длину трассы за счет общей скорости. Таким образом общая скорость объектов равна отношению длины трассы ко времени между встречами объектов.

\(\vartheta_{общ} = \frac{Длина\ трассы}{Общее\ время\ между\ встречами}\)

Пример:

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 16 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 32 км/ч больше скорости другого?

  1. Чтобы выразить время между встречами двух мотоциклистов на круговой трассе, нужно знать их общую скорость и длину этой трассы.

\(\vartheta_{общ} = \frac{S_{трассы}}{t_{между\ встречами}}\)

\(t_{между\ встречами} = \frac{S_{трассы}}{\vartheta_{общ}}\)

  1. Найдем общую скорость. Пусть скорость одного мотоциклиста равна \(x\) км\ч, тогда скорость второго мотоциклиста равна \(x + 32\) км\ч. Мотоциклисты движутся в одном направлении, значит их общая скорость равна разнице их скоростей:

\(\vartheta_{общ} = \vartheta_{2}\ –\vartheta_{1} = x\ + 32\ –x = 32\)

  1. Нужно учитывать, что мотоциклисты находятся на диаметрально противоположных точках трассы, тогда на момент начала движения между ними не целая трасса, а только её половина. Значит за длину трассы для нахождения времени между встречами будем принимать не 16 км, а 8 км:

\(t_{между\ встречами} = \frac{8\ км}{32\ км\backslash ч} = 0,25\ ч\)

  1. Ответ нас просят дать в минутах, значит переведем 0,25 ч в минуты домножив часы на 60:

\(0,25\ ч \bullet 60 = 15\ мин\)

Ответ: 15.