Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Уравнения
Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Показательные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Уравнения в целых числах Квадратные уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью двойного неравенства Системы и совокупности уравнений с одной переменной Дробно-рациональные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения высших степеней
Неравенства
Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства
Числа и действия с ними
Правила счёта Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Модуль
Формулы и выражения
Многочлены Свойства степеней Степени Формулы тригонометрии Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Одночлены Разложение на множители. Группировка Формулы сокращённого умножения Тригонометрический круг Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции
Планиметрия
Виды треугольников Тригонометрия в геометрии Простейшие расстояния на плоскости Равенство фигур Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Серединный перпендикуляр Подобие фигур Квадрат Прямые и углы на плоскости Окружнoсть и круг Теорема Пифагора Теорема синусов и теорема косинусов Площади четырёхугольников Площадь круга и сектора круга Медиана Скалярное произведение векторов Отношения в геометрии Ромб Комбинации с окружностью Векторы Биссектриса Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Средняя линия Метод координат на плоскости Высота Элементы планиметрии Многоугольники Треугольники. Площади Трапеция Движения Теорема Менелая и теорема Чевы Симметрия Параллелограммы
Анализ функций
Интеграл Взаимное расположение графиков линейной функции Квадратичная функция Кусочная функция Функция обратной пропорциональности Координатная плоскость Смысл производной Линейная функция Свойства функций Экстремумы Правила дифференцирования Функции Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Графическое применение производной Первообразная Графики тригонометрических функций
Реальная математика
Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Комбинаторика Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на доли и дроби Арифметическая прогрессия Метод математической индукции Текстовые задачи на производительность Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на движение по прямой Единицы измерения Основы математической статистики Текстовые задачи на проценты Экономические задачи. Кредиты Сложные проценты Экономические задачи. Ценные бумаги Множества Основы комбинаторики Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Геометрическая прогрессия Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по воде
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Стереометрия
Пирамиды Расстояние от прямой до плоскости Параллельность прямых и плоскостей Движения в пространстве Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Тела вращения Расстояние от точки до плоскости Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Перпендикулярность прямых и плоскостей Двугранный угол Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Угол между плоскостями Призмы Угол между скрещивающимися прямыми Сечения в многогранниках Элементы и аксиомы стереометрии
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения

Подобие фигур

В подобных фигурах каждой точке одной из них можно сопоставить точку второй таким образом, что все линейные величины этих фигур будут относиться друг к другу с определённым коэффициентом подобия k, единственным для этих фигур.

Например:

\(\frac{\text{OM}}{OM_{1}} = k\) , где k – одно и то же положительное число для всех точек, если фигуры подобны, это отношение расстояний от фиксированной точки О до соответствующих точек этих фигур.

Также подобные фиуры можно представить как одинаковые фигуры, одну из которых уменьшили или увеличили как картинку на смартфоне. Таким образом все квадраты подобны меджу собой:

Подобным образом работает проекция фильма на полотно в кинотеатре. На экран выводится увеличенное изображение кадра на пленке, при этом визуально расстояние между объектами на экране остается такое же.

Подобие треугольников:

Чаще всего в задачах используется подобие треугольников.

1. Сохраняется подобие между линейными величинами:

\(\frac{a}{A} = \frac{b}{B} = \frac{c}{C} = \frac{h}{H}\)

2. Сохраняется внутреннее отношение длин:

\(\frac{А}{В} = \frac{a}{b}\) или \(\frac{H}{C} = \frac{h}{c}\)

Признаки подобия треугольников:

Существуют признаки, по которым можно утверждать, что треугольники подобны.

1. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними:

\(\frac{\text{ab}}{\text{AB}} = \frac{\text{ac}}{\text{AC}};\ \ \angle bac = \angle BAC\)

2. По двум равным углам (тогда и третьи тоже будут равны)

\(\angle bac = \angle BAC;\ \angle bca = \angle BCA\ \)

3. По трем пропорциональным сторонам:

\(\frac{\text{ab}}{\text{AB}} = \frac{\text{ac}}{\text{AC}} = \frac{\text{bc}}{\text{BC}}\)

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Из-за того, что у двух прямоугольных треугольников два угла по 90⁰ уже равны, те же признаки подобия треугольников можно адаптировать под прямоугольные треугольники:

  1. По двум катетам (угол между ними 90⁰ - вместо первого признака).

  2. По одному острому углу (второй угол 90⁰ - вместо второго признака).

  3. По катету и гипотенузе (по т. Пифагора третья сторона тоже будет пропорциональной – вместо третьего признака).