Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Параметр
Основы работы с параметром Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения
Формулы и выражения
Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Иррациональные выражения Одночлены Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Анализ функций
Экстремумы Свойства функций Интеграл Правила дифференцирования Координатная плоскость Смысл производной Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Функция обратной пропорциональности Взаимное расположение графиков линейной функции Первообразная Графики тригонометрических функций Линейная функция Функции Квадратичная функция Кусочная функция Графическое применение производной
Уравнения
Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Системы и совокупности уравнений с одной переменной Показательные уравнения Логарифмические уравнения Однородные уравнения Квадратные уравнения Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Линейные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Отбор корней с помощью тригонометрического круга Системы уравнений с двумя переменными Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Методы решения уравнений
Реальная математика
Экономические задачи. Экономические показатели Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Вероятность Единицы измерения Экономические задачи. Кредиты Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Текстовые задачи на производительность Основы математической статистики Текстовые задачи на доли и дроби Арифметическая прогрессия Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Сложные проценты Комбинаторика Экономические задачи. Вклады Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Оптимизация Метод математической индукции Геометрическая прогрессия Прикладные задачи Множества Текстовые задачи на движение по окружности
Неравенства
Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства
Числа и действия с ними
Модуль Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Округление дробей Делимость Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Обыкновенные дроби и действия с ними
Формат ЕГЭ
Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ
Планиметрия
Равенство фигур Площадь круга и сектора круга Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Серединный перпендикуляр Окружнoсть и круг Площади четырёхугольников Прямоугольник Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Отношения в геометрии Биссектриса Высота Движения Параллелограммы Теорема Менелая и теорема Чевы Векторы Медиана Квадрат Элементы планиметрии Трапеция Метод координат на плоскости Подобие фигур Простейшие расстояния на плоскости Четыре замечательные точки треугольника Прямые и углы на плоскости Комбинации с окружностью Скалярное произведение векторов Многоугольники Теорема Пифагора Треугольники. Площади Ромб Виды треугольников Тригонометрия в геометрии Симметрия Теорема синусов и теорема косинусов Средняя линия
Стереометрия
Элементы и аксиомы стереометрии Расстояние от прямой до плоскости Тела вращения Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей Угол между скрещивающимися прямыми Перпендикулярность прямых и плоскостей Сечения в телах вращения Угол между прямой и плоскостью Пирамиды Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Теорема о трёх перпендикулярах Метод координат в пространстве Движения в пространстве Призмы Двугранный угол Сечения в многогранниках Расстояние от точки до плоскости

Элементы планиметрии

Точка и прямая — элементы планиметрии, которым трудно дать определение, поэтому их принимают за данность.

Утверждения, которые НЕ требуют доказательств, называются аксиомами.

Утверждения, которые требуют доказательств, называются теоремами.

Аксиома: через любые две точки можно провести прямую, причём только одну.

Обозначения прямой и точки: точка обозначается заглавной латинской буквой (А), прямая – двумя заглавными латинскими буквами (ВС) или маленькой латинской буквой (а).

На данном чертеже мы видим несколько точек: А, В и С. Точки В и С образуют прямую a (по аксиоме №1). Тогда мы говорим, что В и С лежат на прямой a или принадлежат ей. В математике это обозначается как \(В \in а,\ С \in а\) или \(В,С \in а.\) Как мы видим, точка А не лежит на прямой а, тогда А не принадлежит или \(А \notin а\).

ПРЯМАЯ:

Прямая – это линия, которую можно бесконечно долго продлевать в обе стороны. Если мы будем «отрезать» эту линию одной или двумя точками, получим уже другие элементы планиметрии - отрезок и луч.

1. Расположение прямых на плоскости:

- Две прямые могут пересекаться \((а \cap b\)), тогда прямые будут иметь одну общую точку.

- Две прямые могут быть параллельны (\(p\| q\)), тогда прямые не имеют общих точек.

- Две прямые могут совпадать, тогда прямые накладываются друг на друга и все их точки совпадают.

2. Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой (\(М \notin а\)), можно провести на плоскости только одну прямую (\(М \in b)\), параллельную данной (\(a\| b\)):

ОТРЕЗОК:

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. Например BC, CD и BD – это отрезки, лежащие на прямой а. Прямую можно продлевать бесконечно в обе стороны, а отрезки - нет.

Каждый отрезок имеет свою длину, это значит, что отрезки можно сравнивать. Зная их длину, можно сказать, какой отрезок больше, а какой меньше. Отрезки называются равными, если у них одинаковая длина.

Сравнить длину можно, если мы уже знаем, чему равна длина каждого отрезка (например, измерили линейкой) или путем наложения: если один отрезок наложить на другой, то одинаковые отрезки совпадут. Равные отрезки отмечаются одинаковым количеством черточек (АВ=СD):

ЛУЧ:

Луч – это часть прямой, ограниченная одной точкой. Можно взять любую точку (М) на прямой (а), и, если бесконечно продлевать её только в одну сторону от этой точки, как раз получим луч.

Аксиома: на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

Аксиома: от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный заданному неразвернутому углу, и притом только один.

Эти аксиомы позволяют сравнивать отрезки и углы в привычном нам формате рассуждений (через наложение отрезков и углов друг на друга).

УГОЛ:

Угол - фигура, состоящая из точки (вершины угла) и двух различных лучей, исходящих из этой точки (сторон угла).


Углы обозначаются греческими буквами

(\(\alpha,\ \beta,\ \gamma\ldots\)), либо по точкам, которые принадлежат лучам (сторонам угла). Например, угол α состоит из двух лучей ОА и ОВ, исходящие из одной вершины – точки О. Значит угол α может назвать углом О (\(\angle\)О) или углом АОВ (\(\angle\)АОВ)

Виды углов:

В зависимости от градусной величины выделяют 4 вида углов.

  • Острый угол ( \(\alpha < 90⁰\) )

  • Прямой угол ( \(\beta = 90⁰\) )

  • Тупой угол ( \(\gamma > 90{^\circ}\) )

  • Развернутый угол ( \(\alpha = 180{^\circ}\) )

    Если два луча, которые образуют угол, лежат на одной прямой, то тогда такой угол равен 180⁰ и называется развернутым.

Биссектриса угла:

Биссектриса – это луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Например:

OL – биссектриса угла AOB. Значит \(\angle\)AOL = \(\angle\)LOB. Равные углы обозначаются одинаковым количеством черточек у вершины угла.

Важно помнить, что любая точка биссектрисы равноудалена (находится на равном расстоянии) от сторон угла.