Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Числа и действия с ними
НОК и НОД Делимость Модуль Округление дробей Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Координатная прямая Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними
Формат ЕГЭ
Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ
Анализ функций
Первообразная Функции Экстремумы Смысл производной Функция обратной пропорциональности Квадратичная функция Правила дифференцирования Координатная плоскость Кусочная функция Взаимное расположение графиков линейной функции Графики тригонометрических функций Линейная функция Преобразование графиков функции Графическое применение производной Функция квадратного корня Интеграл Свойства функций
Реальная математика
Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на сплавы и смеси Экономические задачи. Кредиты Текстовые задачи на проценты Текстовые задачи на движение по воде Множества Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Оптимизация Текстовые задачи на движение по прямой Введение в текстовые задачи Геометрическая прогрессия Основы математической статистики Экономические задачи. Вклады Текстовые задачи на движение по окружности Метод математической индукции Основы комбинаторики Вероятность Единицы измерения Диаграммы, графики и таблицы Экономические задачи. Экономические показатели Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Комбинаторика Прикладные задачи
Уравнения
Показательные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Однородные уравнения Иррациональные уравнения Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Уравнения в целых числах Уравнения высших степеней Простейшие тригонометрические уравнения Дробно-рациональные уравнения Методы решения уравнений Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Системы и совокупности уравнений с одной переменной Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Отбор корней с помощью тригонометрического круга Квадратные уравнения
Планиметрия
Векторы Простейшие расстояния на плоскости Виды треугольников Биссектриса Метод координат на плоскости Подобие фигур Площади четырёхугольников Комбинации с окружностью Площадь круга и сектора круга Окружнoсть и круг Движения Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Серединный перпендикуляр Параллелограммы Теорема синусов и теорема косинусов Равенство фигур Прямоугольник Средняя линия Теорема Пифагора Симметрия Трапеция Ромб Теорема Менелая и теорема Чевы Медиана Отношения в геометрии Многоугольники Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Прямые и углы на плоскости Треугольники. Площади Тригонометрия в геометрии Высота Элементы планиметрии Четыре замечательные точки треугольника Скалярное произведение векторов Квадрат
Стереометрия
Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Движения в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Параллельность прямых и плоскостей Тела вращения Векторы в пространстве Расстояние от точки до плоскости Пирамиды Угол между прямой и плоскостью Перпендикулярность прямых и плоскостей Расстояние от прямой до плоскости Призмы Двугранный угол Сечения в многогранниках
Неравенства
Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства
Формулы и выражения
Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Формулы тригонометрии Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Одночлены Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней

Элементы планиметрии

Точка и прямая — элементы планиметрии, которым трудно дать определение, поэтому их принимают за данность.

Утверждения, которые НЕ требуют доказательств, называются аксиомами.

Утверждения, которые требуют доказательств, называются теоремами.

Аксиома: через любые две точки можно провести прямую, причём только одну.

Обозначения прямой и точки: точка обозначается заглавной латинской буквой (А), прямая – двумя заглавными латинскими буквами (ВС) или маленькой латинской буквой (а).

На данном чертеже мы видим несколько точек: А, В и С. Точки В и С образуют прямую a (по аксиоме №1). Тогда мы говорим, что В и С лежат на прямой a или принадлежат ей. В математике это обозначается как \(В \in а,\ С \in а\) или \(В,С \in а.\) Как мы видим, точка А не лежит на прямой а, тогда А не принадлежит или \(А \notin а\).

ПРЯМАЯ:

Прямая – это линия, которую можно бесконечно долго продлевать в обе стороны. Если мы будем «отрезать» эту линию одной или двумя точками, получим уже другие элементы планиметрии - отрезок и луч.

1. Расположение прямых на плоскости:

- Две прямые могут пересекаться \((а \cap b\)), тогда прямые будут иметь одну общую точку.

- Две прямые могут быть параллельны (\(p\| q\)), тогда прямые не имеют общих точек.

- Две прямые могут совпадать, тогда прямые накладываются друг на друга и все их точки совпадают.

2. Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой (\(М \notin а\)), можно провести на плоскости только одну прямую (\(М \in b)\), параллельную данной (\(a\| b\)):

ОТРЕЗОК:

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. Например BC, CD и BD – это отрезки, лежащие на прямой а. Прямую можно продлевать бесконечно в обе стороны, а отрезки - нет.

Каждый отрезок имеет свою длину, это значит, что отрезки можно сравнивать. Зная их длину, можно сказать, какой отрезок больше, а какой меньше. Отрезки называются равными, если у них одинаковая длина.

Сравнить длину можно, если мы уже знаем, чему равна длина каждого отрезка (например, измерили линейкой) или путем наложения: если один отрезок наложить на другой, то одинаковые отрезки совпадут. Равные отрезки отмечаются одинаковым количеством черточек (АВ=СD):

ЛУЧ:

Луч – это часть прямой, ограниченная одной точкой. Можно взять любую точку (М) на прямой (а), и, если бесконечно продлевать её только в одну сторону от этой точки, как раз получим луч.

Аксиома: на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

Аксиома: от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный заданному неразвернутому углу, и притом только один.

Эти аксиомы позволяют сравнивать отрезки и углы в привычном нам формате рассуждений (через наложение отрезков и углов друг на друга).

УГОЛ:

Угол - фигура, состоящая из точки (вершины угла) и двух различных лучей, исходящих из этой точки (сторон угла).


Углы обозначаются греческими буквами

(\(\alpha,\ \beta,\ \gamma\ldots\)), либо по точкам, которые принадлежат лучам (сторонам угла). Например, угол α состоит из двух лучей ОА и ОВ, исходящие из одной вершины – точки О. Значит угол α может назвать углом О (\(\angle\)О) или углом АОВ (\(\angle\)АОВ)

Виды углов:

В зависимости от градусной величины выделяют 4 вида углов.

  • Острый угол ( \(\alpha < 90⁰\) )

  • Прямой угол ( \(\beta = 90⁰\) )

  • Тупой угол ( \(\gamma > 90{^\circ}\) )

  • Развернутый угол ( \(\alpha = 180{^\circ}\) )

    Если два луча, которые образуют угол, лежат на одной прямой, то тогда такой угол равен 180⁰ и называется развернутым.

Биссектриса угла:

Биссектриса – это луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Например:

OL – биссектриса угла AOB. Значит \(\angle\)AOL = \(\angle\)LOB. Равные углы обозначаются одинаковым количеством черточек у вершины угла.

Важно помнить, что любая точка биссектрисы равноудалена (находится на равном расстоянии) от сторон угла.