Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Уравнения
Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Методы решения уравнений Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Системы и совокупности уравнений с одной переменной Иррациональные уравнения Простейшие тригонометрические уравнения Логарифмические уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Показательные уравнения Отбор корней с помощью тригонометрического круга Однородные уравнения Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Уравнения в целых числах
Параметр
Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром Функциональные методы решения
Неравенства
Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства
Числа и действия с ними
НОК и НОД Округление дробей Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Десятичные дроби и действия с ними Делимость Смешанные дроби и действия с ними Правила счёта Координатная прямая
Формулы и выражения
Разложение на множители. Группировка Тригонометрический круг Свойства степеней Формулы тригонометрии Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Формулы сокращённого умножения Одночлены Многочлены Степени Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ
Планиметрия
Ромб Подобие фигур Серединный перпендикуляр Высота Отношения в геометрии Теорема Пифагора Тригонометрия в геометрии Движения Четыре замечательные точки треугольника Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Трапеция Комбинации с окружностью Медиана Скалярное произведение векторов Метод координат на плоскости Векторы Прямые и углы на плоскости Треугольники. Площади Площадь круга и сектора круга Квадрат Элементы планиметрии Многоугольники Параллелограммы Площади четырёхугольников Прямоугольник Теорема Менелая и теорема Чевы Окружнoсть и круг Биссектриса Равенство фигур Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Средняя линия Простейшие расстояния на плоскости Виды треугольников Теорема синусов и теорема косинусов Симметрия
Стереометрия
Сечения в телах вращения Метод координат в пространстве Движения в пространстве Расстояние от прямой до плоскости Угол между прямой и плоскостью Призмы Угол между скрещивающимися прямыми Теорема о трёх перпендикулярах Расстояние от точки до плоскости Угол между плоскостями Параллельность прямых и плоскостей Тела вращения Расстояние между скрещивающимися прямыми Векторы в пространстве Сечения в многогранниках Перпендикулярность прямых и плоскостей Элементы и аксиомы стереометрии Двугранный угол Пирамиды
Анализ функций
Функции Квадратичная функция Интеграл Функция обратной пропорциональности Свойства функций Первообразная Координатная плоскость Преобразование графиков функции Функция квадратного корня Взаимное расположение графиков линейной функции Графики тригонометрических функций Правила дифференцирования Линейная функция Смысл производной Графическое применение производной Экстремумы Кусочная функция
Реальная математика
Введение в текстовые задачи Текстовые задачи на сплавы и смеси Единицы измерения Геометрическая прогрессия Экономические задачи. Вклады Диаграммы, графики и таблицы Текстовые задачи на движение по окружности Метод математической индукции Текстовые задачи на отношения Текстовые задачи на производительность Сложные проценты Текстовые задачи на проценты Вероятность Комбинаторика Прикладные задачи Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Ценные бумаги Множества Текстовые задачи на движение по прямой Основы комбинаторики Экономические задачи. Кредиты Основы математической статистики Текстовые задачи на доли и дроби Экономические задачи. Экономические показатели Арифметическая прогрессия Экономические задачи. Оптимизация

Угол между скрещивающимися прямыми

Скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не параллельны. Для таких прямых не существует плоскости, которая бы их содержала.

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно знать, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную второй прямой, при том только одну.

\(a ∸ b\) – скрещивающиеся прямые

\(a \in \alpha,\ b \in \beta\)

\(\alpha \parallel \beta\)

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно найти угол между одной прямой и проекцией другой прямой. Для этого нужно:

  1. Параллельным переносом перенести одну прямую на плоскость, содержащую вторую прямую.

  1. Найти угол между прямыми на этой плоскости:

Пример:

Дан куб \(\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Найдите угол между \(AD_{1}\) и \(B_{1}С\).

  1. Сделаем чертеж и обозначим прямые, между которыми нам нужно найти угол:

  1. Так как у куба стороны попарно параллельно, перенесем отрезок \(AD_{1}\) на плоскость \(BB_{1}C_{1}\).

Получим два пересекающихся отрезка \(B_{1}C\) и \(BC_{1}\), угол между которыми равен углу между \(AD_{1}\) и \(B_{1}С\).

  1. Найдем угол между \(B_{1}C\) и \(BC_{1}\) – это диагонали стороны куба \(BB_{1}C_{1}C\), а так как все стороны куба являются квадратами, угол между ними равен \(90{^\circ}\):

Ответ: 90°.