Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика

Угол между скрещивающимися прямыми

Скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не параллельны. Для таких прямых не существует плоскости, которая бы их содержала.

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно знать, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную второй прямой, при том только одну.

\(a ∸ b\) – скрещивающиеся прямые

\(a \in \alpha,\ b \in \beta\)

\(\alpha \parallel \beta\)

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно найти угол между одной прямой и проекцией другой прямой. Для этого нужно:

  1. Параллельным переносом перенести одну прямую на плоскость, содержащую вторую прямую.

  1. Найти угол между прямыми на этой плоскости:

Пример:

Дан куб \(\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Найдите угол между \(AD_{1}\) и \(B_{1}С\).

  1. Сделаем чертеж и обозначим прямые, между которыми нам нужно найти угол:

  1. Так как у куба стороны попарно параллельно, перенесем отрезок \(AD_{1}\) на плоскость \(BB_{1}C_{1}\).

Получим два пересекающихся отрезка \(B_{1}C\) и \(BC_{1}\), угол между которыми равен углу между \(AD_{1}\) и \(B_{1}С\).

  1. Найдем угол между \(B_{1}C\) и \(BC_{1}\) – это диагонали стороны куба \(BB_{1}C_{1}C\), а так как все стороны куба являются квадратами, угол между ними равен \(90{^\circ}\):

Ответ: 90°.