Учебник MAXIMUM Education

Интернет-энциклопедия по школьным предметам от Maximum Education. Учебник поможет решить домашнее задание, подготовиться к контрольной и вспомнить прошлые темы.

11 класс
Математика
Анализ функций
Квадратичная функция Линейная функция Функция квадратного корня Функция обратной пропорциональности Графики тригонометрических функций Функции Экстремумы Преобразование графиков функции Взаимное расположение графиков линейной функции Правила дифференцирования Свойства функций Кусочная функция Интеграл Графическое применение производной Первообразная Координатная плоскость Смысл производной
Параметр
Функциональные методы решения Аналитические методы решения Графические методы решения Основы работы с параметром
Числа и действия с ними
Смешанные дроби и действия с ними Координатная прямая Десятичные дроби и действия с ними НОК и НОД Делимость Модуль Обыкновенные дроби и действия с ними Округление дробей Правила счёта
Планиметрия
Высота Скалярное произведение векторов Элементы планиметрии Многоугольники Ромб Биссектриса Прямоугольник Четыре замечательные точки треугольника Параллелограммы Серединный перпендикуляр Отношения в геометрии Окружнoсть и круг Метод координат на плоскости Подобие фигур Теорема Менелая и теорема Чевы Площадь круга и сектора круга Квадрат Прямые и углы на плоскости Площади четырёхугольников Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках Треугольники. Площади Комбинации с окружностью Соотношение между сторонами и углами в треугольнике Медиана Теорема Пифагора Трапеция Простейшие расстояния на плоскости Виды треугольников Равенство фигур Симметрия Средняя линия Теорема синусов и теорема косинусов Тригонометрия в геометрии Движения Векторы
Стереометрия
Теорема о трёх перпендикулярах Движения в пространстве Элементы и аксиомы стереометрии Двугранный угол Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми Расстояние от точки до плоскости Метод координат в пространстве Сечения в телах вращения Расстояние от прямой до плоскости Угол между плоскостями Тела вращения Пирамиды Сечения в многогранниках Векторы в пространстве Перпендикулярность прямых и плоскостей Угол между прямой и плоскостью Призмы Параллельность прямых и плоскостей
Реальная математика
Текстовые задачи на движение по прямой Текстовые задачи на сплавы и смеси Текстовые задачи на производительность Геометрическая прогрессия Текстовые задачи на движение по окружности Текстовые задачи на отношения Основы комбинаторики Вероятность Единицы измерения Сложные проценты Комбинаторика Прикладные задачи Экономические задачи. Ценные бумаги Текстовые задачи на доли и дроби Текстовые задачи на проценты Введение в текстовые задачи Экономические задачи. Кредиты Арифметическая прогрессия Метод математической индукции Множества Экономические задачи. Экономические показатели Экономические задачи. Оптимизация Основы математической статистики Текстовые задачи на движение по воде Экономические задачи. Вклады Диаграммы, графики и таблицы
Уравнения
Системы и совокупности уравнений с одной переменной Простейшие тригонометрические уравнения Методы решения уравнений Отбор корней с помощью тригонометрического круга Уравнения высших степеней Дробно-рациональные уравнения Уравнения с модулем Логарифмические уравнения Показательные уравнения Линейные уравнения Системы уравнений с двумя переменными Однородные уравнения Квадратные уравнения Отбор корней с помощью графиков тригонометрических функций Иррациональные уравнения Отбор корней с помощью двойного неравенства Уравнения в целых числах
Неравенства
Метод рационализации неравенств Системы и совокупности неравенств Иррациональные неравенства Рациональные неравенства Простейшие неравенства Неравенства с модулем Показательные и логарифмические неравенства Тригонометрические неравенства
Формулы и выражения
Формулы сокращённого умножения Разложение на множители. Группировка Степени Формулы тригонометрии Логарифмические выражения и свойства логарифмической функции Показательные выражения и свойства показательной функции Прямая и обратная пропорциональность. Пропорция Иррациональные выражения Одночлены Многочлены Тригонометрический круг Свойства степеней
Формат ЕГЭ
Задание 13 в ЕГЭ Задание 19 в ЕГЭ Задание 17 в ЕГЭ Задание 15 в ЕГЭ Задание 16 в ЕГЭ Задание 18 в ЕГЭ Задание 14 в ЕГЭ

Угол между скрещивающимися прямыми

Скрещивающиеся прямые – это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не параллельны. Для таких прямых не существует плоскости, которая бы их содержала.

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно знать, что через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную второй прямой, при том только одну.

\(a ∸ b\) – скрещивающиеся прямые

\(a \in \alpha,\ b \in \beta\)

\(\alpha \parallel \beta\)

Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, нужно найти угол между одной прямой и проекцией другой прямой. Для этого нужно:

  1. Параллельным переносом перенести одну прямую на плоскость, содержащую вторую прямую.

  1. Найти угол между прямыми на этой плоскости:

Пример:

Дан куб \(\text{ABCD}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Найдите угол между \(AD_{1}\) и \(B_{1}С\).

  1. Сделаем чертеж и обозначим прямые, между которыми нам нужно найти угол:

  1. Так как у куба стороны попарно параллельно, перенесем отрезок \(AD_{1}\) на плоскость \(BB_{1}C_{1}\).

Получим два пересекающихся отрезка \(B_{1}C\) и \(BC_{1}\), угол между которыми равен углу между \(AD_{1}\) и \(B_{1}С\).

  1. Найдем угол между \(B_{1}C\) и \(BC_{1}\) – это диагонали стороны куба \(BB_{1}C_{1}C\), а так как все стороны куба являются квадратами, угол между ними равен \(90{^\circ}\):

Ответ: 90°.